Applications linéaires

Applications linéaires
Des exemples d'applications linéaires.
1 Démontrer que
R[X] → R[X]
P
7→ XP
est un endomorphisme de R[X]. En examinant son noyau et son image, conclure
sur la bijectivité de l'application.
2 Pour chacune des applications suivantes, dire s'il s'agit d'une application linéaire (justier). Si c'est le cas, préciser l'image et le noyau (on donnera une base
de ces s.e.v. de dimension nie).
R2
(x, y)
R2
c) h :
(x, y)
R2
e) j :
(x, y)
→
7→
→
7
→
→
7→
R2
,
(y, 2x)
R2
(x−y, 3x−3y)
R2
,
(xy, 0)
R3
→ R2
,
(x, y, z) 7→ (x − z, y + z)
R2
→ R3
d) i :
(x, y) 7→ (x−y, y−x, x + 2y)
R3
→ R2
f) k :
(x, y, z) 7→ (x − z, 1 + y)
b) g :
3 Soit E = D2 (R,
R) l'espace vectoriel des fonctions dérivables deux fois sur R.
Montrer que u :
noyau.
L ycée
Albert
S
chweitzer
6 Soit u un endomorphisme d'un espace vectoriel E . Montrer
Ker(u) = Ker(u2 ) ⇐⇒ Ker(u) ∩ Im(u) = {0E }.
f:
a) f :
PCSI 1
E → RR
f 7→ f 00 + 4f
est une application linéaire et préciser son
Noyau, image d'une application linéaire.
4 Soit un espace vectoriel E et soient f et g deux endomorphismes de E qui
commutent (f ◦ g = g ◦ f ). Montrer que Ker(f ) et Im(f ) sont stables par g .
5 Soient u et v deux endomorphismes d'un espace vectoriel E . Montrer que
v ◦ u = 0L (E)
Feuille d'exercices 15
si et seulement si Im(u) ⊂ Ker(v).
Rn [X] → Rn [X]
.
P
7→ P + (1 − X)P 0
Proposez une base de Ker(f ) et de Im(f ). Les sous-espaces Ker(f ) et Im(f ) sontils supplémentaires dans E ?
7 Soit E = Rn [X] et f
:
8 Soit u ∈ L (E), où E est un espace vectoriel. Montrer que pour tout k ≥ 0,
on a Ker(uk ) ⊂ Ker(uk+1 ) et
Ker(uk ) = Ker(uk+1 ) ⇒ Ker(uk+1 ) = Ker(uk+2 ).
9 Soit E = R3 [X]. On considère ϕ l'endomorphisme de E qui, à P , associe le
reste dans la division euclidienne de (X 4 − 1)P par X 4 − X .
a) Montrer que ϕ est bien un endomorphisme de R3 [X].
b) Trouver une base de Ker(ϕ) et de Im(ϕ).
Projecteurs, symétries.
10 Soient F1 et F2 deux sous-espaces supplémentaires. Soit p le projecteur sur F1
parallèlement à F2 et s la symétrie par rapport à F1 parallèlement à F2 . Exprimer
s à l'aide de p et de IdE (on pourra s'aider d'un dessin).
11 Montrer que si p est un projecteur et f un endomorphisme, p ◦ f = f ◦ p si
et seulement si Ker(p) et Im(p) sont stables par f .
12 Démontrer que f
: P 7→ X 3 P ( X1 ) est une symétrie de R3 [X].
13 (*) En utilisant une symétrie, retrouver que toute fonction de RR se décom-
pose de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction
impaire.
2016-2017
Dimension nie
18 Soit E un K-espace vectoriel et u un endomorphisme de E satisfaisant
14 Soit E un espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et u ∈ L (E), un endomor-
phisme non nul. On suppose u nilpotent, c'est à dire qu'un certain itéré de u est
nul, et on note p le plus petit entier tel que up = 0.
a) Soit x 6∈ Ker(up−1 ). Montrer que la famille
(x, u(x), u2 (x), . . . , up−1 (x))
est libre.
b) En déduire que un = 0.
15 Soit
a) Montrer que u est un automorphisme de E .
b) Montrer que E = Ker(u − IdE ) ⊕ Ker(u − 2IdE ).
c) Déduire de ce qui précède que si E est de dimension nie, il existe une base
(x1 , . . . , xn ) de E telle que ∀i ∈ J1, nK u(xi ) = xi ou u(xi ) = 2xi
Formule du rang.
E un espace vectoriel et u un endomorphisme de E . On dit que u est
pseudo-nilpotent
u2 − 3u + 2IdE = 0L (E) .
si
∀x ∈ E
∃p ∈ N up (x) = 0E .
19 Soit l'ensemble
G = {P ∈ R3 [X] : P (0) = P (1)}
a) Montrer que si E est de dimension nie, tout endomorphisme pseudo-nilpotent
est nilpotent.
b) Posons E = K[X]. Proposer un endomorphisme pseudo-nilpotent qui n'est pas
nilpotent.
Montrer que F est un hyperplan...
a) en montrant que G est un sous-espace vectoriel et en exhibant une base adéquate.
b) en voyant G comme un noyau et en utilisant la formule du rang.
Isomorphismes
20 Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n.
16 Soit f
:
R2
R2
→
.
(x, y) →
7
(x + y, x − y)
Montrer que f est un automorphisme, dont on précisera la réciproque.
17 Soient (a1 , . . . , an ) ∈ Rn deux à deux distincts. Soit
ϕ:
Rn−1 [X] → Rn
.
P
7→ (P (a1 ), . . . , P (an ))
1. Démontrer que ϕ est un isomorphisme d'espace vectoriel.
2. En déduire que pour tout n-uplet (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn , il existe un unique polynôme P dans Rn−1 [X] tel que
∀i ∈ J1, nK P (ai ) = bi .
(on l'appelle polynôme interpolateur de Lagrange, vu en DM).
Feuille d'exercices 15
1. Montrer que E = Ker(f ) ⊕ Im(f ) =⇒ Im(f ) = Im(f 2 ).
2. (a) Démontrer que Im(f ) = Im(f 2 ) ⇐⇒ Ker(f ) = Ker(f 2 ).
(b) Démontrer que Im(f ) = Im(f 2 ) =⇒ E = Ker(f ) ⊕ Im(f ).