Devoir 2 A14 Solutions

ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE
GTS 502
Automne 2014
Devoir # 2
Probabilités et statistique
SOLUTIONS
1)
Pour chacune des paires d’évènements, (A) et (B), suivants, lesquelles
sont mutuellement exclusives :
Selon l’acétate 5.12, 2 évènements sont mutuellement exclusifs ou incompatibles
s’il ne peuvent exister (survenir) en même temps.
a) (A) Le cours de l’action d’Apple a baissé aujourd’hui; (B) Le cours de l’action
d’Apple a monté aujourd’hui.
On comprend que dans cette question, on veut dire que le cours de l’action de
Apple a monté ou a baissé à la fin de la journée. Car, bien sûr, une action en
bourse peut fluctuer au cours de la journée.
Donc, A et B sont incompatibles car soit que l’action a monté ou elle a baissé,
pas les deux.
b) Dans un lot de relais électriques (A) Exactement un relais est trouvé
défectueux; (B) deux relais sont trouvés défectueux.
Si on a trouvé exactement (c’est le mot clé) un relais défectueux, on ne peut pas
en avoir trouvé 2. Donc, incompatibles.
c) Trois personnes J, K et L postulent pour deux emplois. (A) J est engagé; (B)
K est engagé.
Si J est engagé, K peut être aussi engagé car on peut la préférer à L. Donc,
compatibles.
d) Dans deux jets d’un dé (A) un 6 apparaît ; (B) la somme des deux faces est 5.
Si un 6 apparaît sur un dé, on ne peut obtenir une somme de 5. Donc,
incompatibles.
e) Dans deux jets d’un dé (A) un 4 apparaît; (B) la somme des deux faces est 6.
Si un 4 apparait, on peut obtenir un 2 sur le 2ième jet et donc obtenir une somme
de 6. Donc, compatibles.
2)
Soit P(A) = 0.5; P(B) = 0.4; P(A ∩ B) = 0.2
a) Est-ce que A et B sont mutuellement exclusifs? Pourquoi?
Si A et B sont incompatibles, P(A ∩ B) = 0. Or, ici, P(A ∩ B) = 0.2. Donc, non, ils
ne sont pas incompatibles.
b) Est-ce que A et B sont des évènements indépendants? Pourquoi?
Pour qu’ils soient indépendants P(A ∩ B) = P(A)*P(B).
Or, ici, P(A ∩ B) = 0.2 = 0.5 * 0.4. Donc, oui, indépendants.
3)
Soit les évènements A et B ayant la structure de probabilités suivante :
P( A  B) = 1 / 6
~
P( A  B ) = 2 / 9
~
P( A  B) = 1 / 3
~ ~
a) Quelle est la probabilité de A  B ?
On peut utiliser l’acétate 5.23 :
P( ~A ∩ ~ B) = 1 – P (A U B)
On sait aussi que :
P(A U B) = P(A) + P(B) –P(A ∩ B)
On peut aussi utiliser l’acétate 5.25 :
P(B) = P(A ∩ B) + P(~A ∩ B)
P(A) = P(B ∩ A) + P(~B ∩ A)
Alors :
P( ~A ∩ ~ B) = 1 – P (A U B)= 1 - P(A) - P(B) + P(A ∩ B)
= 1 - P(A ∩ B) - P(~A ∩ B) - P(B ∩ A) - P(~B ∩ A) + P(A ∩ B)
= 1- 1/6 – 2/9 – 1/3
= 5/18
On peut également solutionner de façon graphique :
Donc, on voit aussi visuellement que :
P( ~A ∩ ~ B) = 1 - P(A ∩ B) - P(~B ∩ A) - P(~A ∩ B)
b) Est-ce que A et B sont des évènements indépendants?
Non car :
P(A) = P(B ∩ A) + P(~B ∩ A) = 5/18 + 2/9 = 1/2
P(B) = P(A ∩ B) + P(~A ∩ B) = 5/18 + 1/3 = 11/18
P(A ∩ B) = 1/6 ≠ P(A) * P(B) = 1/2 * 11/18 = 11/36
4) Une personne vient de s’initier au tir à l’arc. Comme elle est une novice, la
probabilité qu’elle touche la cible est estimée à seulement 1/3. Vrai ou faux :
«Comme elle touche la cible une fois sur trois, si elle tire trois fois, elle est sûre à
100% de toucher la cible.»
Faux! Car chaque tir est indépendant. De plus, la probabilité de toucher la cible
sur trois tirs est le produit des probabilités et non la somme.
5) En 1693, le célèbre auteur anglais Samuel Pepys a posé la question suivante
à l’illustre savant Isaac Newton :
Trois personnes A, B et C lancent des dés indépendamment. Quelles sont les
probabilités que :
A obtienne au moins un 6 en lançant 6 dés ?
B obtienne au moins deux 6 en lançant 12 dés ?
C obtienne au moins trois 6 en lançant 18 dés ?
Apparemment, M. Pepys avait offert la réponse suivante à Newton :
«Puisque B lance 2 fois plus de dés que A, il a 2 fois plus de chances
(probabilité) d’obtenir deux 6 et, de même, C aura 3 fois plus de chances
d’obtenir 3 six».
Calculer les probabilités en question et dites si Newton avait donné raison à M.
Pepys.
Expliquons la logique derrière ce problème en commençant par le cas B.
Calculons la probabilité = P( au moins deux 6 sur 12 lancers).
Cette probabilité est égale à la probabilité d’obtenir deux 6 + la probabilité
d’obtenir trois 6 + …+ la probabilité d’obtenir six 6.
Ce calcul est long. Pour simplifier la tâche, on peut utiliser le principe que la
probabilité de A = 1 – probabilité du complément de A.
Donc,
P(au moins deux 6 sur 12 lancers) = 1 – P( zéro six sur 12 dés) –P(un six sur 12
dés).
Calculons P(un 6 sur 12 dés).
Cette probabilité revient à celle de trouver une séquence telle que la suivante :
Dé no.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Résultat x
x
6
x
x
x
x
x
x
x
x
x
où : x= obtenir autre chose qu’un 6.
Sur cette séquence on a obtenu 6 sur le 3ième lancer.
La probabilité de cette séquence est = (prob. d’avoir x au 1er lancer)(prob. d’avoir
x au 2ième lancer)(prob. d’un 6 sur le 3ième dé)(prob. d’un x au 4ième dé)…( prob.
d’un x au 12ième dé) = 5/6*5/6*1/6*…*5/6 ou de façon générale :
p1(1-p)12-1 (p= 1/6).
Mais il y a 12 séquences semblables car il y a 12 façons d’avoir un 6.
De façon générale, il y a un nombre de telles combinaisons C(1,12) = 12!/11!*1!.
Donc, P(un 6 sur 12 dés) = C(1,12) p1(1-p)12-1
(p= 1/6 = probabilité d’obtenir un 6 sur un lancer de dé)
Donc, réponse pour B :
P(au moins deux 6 sur 12 lancers) = 1 – P( aucun six sur 12 dés) –P(un six
sur 12 dés) = 1 - C(0,12) p0(1-p)12-0 - C(1,12) p1(1-p)12-1 = 0,6186
De la même manière,
Pour A : P(obtenir au moins un 6 sur 6 lancers) = 1- P(obtenir aucun 6 sur 6
lancers) = 1 – C(0,6)*(1/6)0 * (5/6)6.= 0,6651.
Pour C : P(au moins trois 6 sur 18 lancers) = 1 – P( zéro six sur 18 dés) –
P(un six sur 18 dés) – P(trois six sur 18 dés)= 1 - C(0,18) p0(1-p)18-0 - C(1,18)
p1(1-p)18-1 – C(2, 18)*p2(1-p)18-2 = 0,5973
6) (Un exercice sur les dénombrements) Un professeur à l’ÉTS enseigne le
même cours une session par année. Afin de combattre l’ennui, il décide de
raconter trois blagues à chacune des sessions. Il se donne comme règle de ne
jamais répéter les mêmes trois blagues d’une année à l’autre. Il peut cependant
répéter une ou deux blagues d’une session à l’autre. Combien d’années peut-il
«durer» avec un modeste répertoire de 7 blagues. (Le nombre est étonnamment
élevé).
Cette question demandait simplement de calculer le nombre de combinaisons de
3 items choisis parmi 7 = C(3,7) = 7!/4!*3! = 35. Donc, 35 années.
Il y avait cependant une erreur dans le phrasé de cette question, erreur relevée
par deux étudiants dans la classe.
J’ai écrit : Il se donne comme règle de ne jamais répéter les mêmes trois blagues
d’une année à l’autre. »Ceci voudrait dire que, par exemple, une année il dit les
blagues A,B,C . L’année suivante, il peut choisir ABD car ainsi il ne répète pas
les trois mêmes blagues d’une année à l’autre. Et ainsi de suite, l’année
suivante, il peut revenir avec ABC ensuite avec ABD etc., jusqu’à l’infini.
En réalité, je voulais écrire : Il se donne comme règle de ne jamais répéter les
mêmes trois blagues.
7) Le coordonnateur santé - sécurité d’une grande usine estime que le nombre
d’accidents du travail par mois est de 3.4, basé sur l’historique de la compagnie.
Quelle est la probabilité d’avoir 2 accidents le mois prochain? 3 ou plus? Quelle
hypothèse quant à la fonction de densité de la probabilité d’accidents devez-vous
faire?
On peut modéliser la situation par un processus de Poisson, car il s‘agit d’un
évènement qui peut survenir sur une unité de temps donnée, c’est-à-dire du
nombre d’accidents par mois, basé sur un historique qui, on assume, remonte à
longtemps. En théorie, un nombre d’échantillons infini. Voir l’acétate 5.37.
La loi de Poisson s’écrit :
Soit X= le nombre d’accidents de travail durant un mois.
λ = 3.4
e −λ * λx
P( X = 2) =
x!
P(X=2) = e-3.4* 3.42/2! = 0,1929
P(X≥3) = Probabilité de subir 3 accidents ou plus dans un mois =
1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2).
P(X ≥3) = 1 – P(X=0) – P(x =1) – P(x=2) = 1- e-3.4* 3.40/0!- e-3.4* 3.41/1!- e-3.4*
3.42/2! = 0,66026
8) On choisit un point au hasard à l’intérieur d’un cercle de rayon r. Quelle la
probabilité qu’il se situe plus près du centre que de la circonférence?
La probabilité se trouve en utilisant la définition de base de la probabilité
Probabilité d’un évènement A= nombre de cas où A survient / nombre de cas
total possible.
Donc,
Probabilité qu’un point soit plus proche du centre = (nombre de cas où le point
est dans l’aire de rayon r/2) / (aire totale du cercle de rayon r)
P = π (r/2)2 / π r2 = ¼.
9) Un homme marche jusqu’à son lieu de travail chaque matin. Se faisant, il doit
traverser trois rues achalandées. Le soir, il traverse les mêmes trois rues à son
retour à la maison. On estime que le risque d’être frappé par une automobile est
de 5 x 10-8 à chaque fois qu’il traverse une de ces rues. Il va au travail 200 jours
par année. Estimer la probabilité d’être frappé par une automobile au moins une
fois en 20 ans.
Probabilité d’être frappé au moins une fois en 20 ans = 1 – (Probabilité de ne
jamais être frappé en 20 ans)
Probabilité de ne jamais être frappé en 20 ans = (1-p) * …* (1- p) , multiplié 6
rues/j * 200 j/an * 20 ans = 24000 fois. Et où p= 5 x 10-8
Donc, P = 1 – (1 – p)24000 = 1 – (1 – 5 x 10-8) 24000 = 0.0012 = 0.12%
On peut également solutionner le problème plus simplement, en disant
Probabilité d’être frappé au moins une fois = 5 x 10-8 * 6*200*20 = 0.12%.
Cette solution suppose que l’accident où on est frappé par une automobile est
léger et on peut continuer. Donc, c’est un tirage sans remplacement.
La première solution est générale.
La deuxième solution représente en réalité de la valeur moyenne (0.0012) du
nombre d’accidents sur la période de 20 ans. En d’autres mots, c’est la valeur
espérée.
Les deux solutions sont égales parce que quand x est très petit :
(1 – x)n = 1 – nx.
Donc, P = 1 – (1-p)24000 = 1 – (1 – 24000*p) = 24000* p = 0.12%
10) 100 capteurs de pression sont testés et 14 d’entre eux échouent un test de
calibration. Faites un estimé de la probabilité de défaillance et utilisez ensuite
l’acétate 5.40 afin d’estimer l’intervalle de confiance de 90% et de 95%.
p +/ − = p ± Z *
1
N
* p * (1 − p )
p= 14 /100 = 0.14
N=100
Pour l’intervalle de confiance de 90% : Z=1.54
1
p + / − = 0.14 ± 1.54 *
* 0.14 * (1 − 0.14)
100
0.087 ≤ p ≤ 0.193
Pour l’intervalle de confiance de 95% : Z=1.96
p + / − = 0.14 ± 1.96 *
0.072 ≤ p ≤ 0.208
1
100
* 0.14 * (1 − 0.14)