Mathématiques et Statistiques

Mathématiques et Statistiques
D.Moreaux
15 mars 2016
Table des matières
I
Mathématiques de l’Assurance
iii
1 Introduction
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Catégories d’assurances . . . . . . .
1.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 2 branches . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Assurance vie individuelle . . . . . . . . .
1.2.1 Intervenants à un contrat individuel
1.2.2 Principaux contrats individuels . .
1.3 Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . .
2 Assurances sur la vie
2.1 Rappels de mathématiques financières .
2.1.1 Intérêts composés . . . . . . . .
2.1.2 Capitalisation - Actualisation .
2.1.3 Annuité certaine . . . . . . . .
2.2 Probabilités viagères de base . . . . . .
2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tables de mortalité . . . . . . .
2.3 Valeur actuelle probable . . . . . . . .
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3 Operations viagères sur une seule tête
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Assurances en cas de vie . . . . . . . . . .
3.2.1 Assurance de capital différé . . . .
3.2.2 Rentes Viagères (annuités viagères)
i
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7
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13
ii
4 Assurances en cas de décès
4.1 Assurance ordinaire immédiate . . . . .
4.2 Assurance décès temporaire immédiate
4.3 Assurance décès ordinaire différée . . .
4.4 Assurance décès temporaire différée . .
4.5 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Assurance mixte ordinaire
21
II
23
Probabilités
6 Analyse Combinatoire
6.1 Permutations . . . . . . . . .
6.2 Arrangements . . . . . . . . .
6.3 Combinaisons . . . . . . . . .
6.4 Triangle de Pascal . . . . . . .
6.5 Nombre de sous-ensembles . .
6.6 Permutations avec répétition .
6.7 Arrangements avec répétitions
6.8 Combinaisons avec répétitions
7 probabilités simples
7.1 Définitions de base . . . . .
7.2 Les probabilités . . . . . . .
7.3 Probabilités conditionnelles
7.4 événements indépendants . .
7.5 Théorème de Bayes . . . . .
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37
Première partie
Mathématiques de l’Assurance
iii
Chapitre 1
Introduction
1.1
1.1.1
Généralités
Catégories d’assurances
Il existe deux grandes catégories d’assurance qui se distinguent par l’objet même de l’assurance, à savoir les biens d’un individu ou sa personne
physique :
Assurances dommages biens d’un individu et dommages qu’il pourrait
causer à autrui
assurances de personne intégrité physique d’un individu et conséquences
d’un décès prématuré ou d’une vieillesse prolongée
L’assurance sur la vie appartient à la catégorie assurances de personne
(tout comme l’assurance maladie, l’assurance accident,. . .)
1.1.2
Définitions
contrat d’assurance vie contrat par lequel en échange d’une prime, l’assureur s’engage à verser à l’assuré des sommes en cas de décès de la
personne assurée ou de la survie de la personne assurée à une époque
déterminée.
assurance vie scénario aléatoire de flux financier où
— une partie s’engage à verser à l’autre des sommes prédéfinies selon
un échéancier connu à l’avance
— l’autre partie fait fructifier les sommes versées par le bénéficiaire
Remarques :
— le principe de l’assurance vie est forfaitaire (par opposition à indemnitaire)
1
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
2
— gestion par capitalisation (et non par répartition)
1.1.3
2 branches
— Grande branche (branche individuelle)
— Branche collective (souscription par des personnes physiques ou morales au profit des membres d’un groupe)
1.2
1.2.1
Assurance vie individuelle
Intervenants à un contrat individuel
assureur
souscripteur (contractant, stipulant, preneur d’assurance) personne
morale ou physique qui s’engage juridiquement envers l’assureur (au
niveau du paiement des primes notemment)
assuré personne physique dont le décès ou la survie déclenche le paiement
par l’assureur des prestations prévue dans le contrat. C’est l’élément
principal du contrat car c’est son âge et son état de santé qui permet
de déterminer le montant de la prime
bénéficiaire personne physique ou morale qui recevra les prestations prévues dans le contract en cas de réalisation du risque
1.2.2
Principaux contrats individuels
— traditionnels (ceux étudiés ici)
— contrat en cas de vie
— contrat en cas de décès
— contrat mixte
— modernes
Assurance en cas de vie Elles garantissent le paiement d’un capital ou
d’une rente à un bénéficiaire désigné si l’assuré est en vie à une date donnée.
L’événement aléatoire est la survie de l’assuré à un âge donné (ou à une
date donnée ce qui revient au même).
Les formules principales sont
— assurance de capital différé
— rentes viagères
1.3. CAPITALISATION
3
Assurance en cas de décès Elles garantissent le paiement d’un capital
ou d’une rente si l’assuré vient à décéder avant une date fixée ou à n’importe
quel moment.
L’événement aléatoire est le décès de l’assuré avant une date fixée
1.3
1.3.1
Capitalisation
Définition
Opération purement financière dans laquelle, en échange d’une prime
unique ou de primes périodiques, une société dite de capitalisation s’engage
de manière contractuelle à remettre au porteur (du titre, du contrat, du bien,
. . .) un capital déterminé à une échéance fixée à l’avance.
Le capital versé est égal au cumul des primes augmenté des intérêts (calculés en intérêts composés).
1.3.2
Remarques
— La capitalisation est une opération purement financière qui exclu donc
la notion de risque (les engagements ne dépendent pas de la durée de
vie)
— la branche capital n’est pas la même que la branche vie mais les compagnies d’assurance à la vie peuvent la pratiquer
— la branche vie est gérée par la technique de capitalisation
4
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Chapitre 2
Assurances sur la vie
Les opérations d’assurances sur la vie sont constituées d’engagements
financiers à long terme et liés à la durée de vie.
Cela implique un contexte aléatoire et donc demande de combiner des
mathématiques financières et des probabilités.
2.1
2.1.1
Rappels de mathématiques financières
Intérêts composés
Un intérêt est une rémunération d’une somme d’argent prêtée pendant
un certain temps. Deux principales méthodes de calcul existent :
intérêts simples utilisés pour des opérations de courtes durées
intérêts composés utilisés pour des opérations sur de plus longues durées
On parle d’intérêts composés lorsque les intérêts produits par un capital
viennent s’ajouter à ce capital pour également rapporter des intérêts.
Formule des intérêts composés :
Cn = C0 (1 + i)n
C0 est le capital de départ, Cn la valeur acquise, i le taux d’intérêt sur
une période et n la durée en nombre de périodes
2.1.2
Capitalisation - Actualisation
Lorsque l’on évalue la valeur d’un montant à un moment futur à partir
d’un montant actuel C0 , on parle de capitalisation financière.
La formule des intérêts composés permet de calculer directement cette
valeur.
5
6
CHAPITRE 2. ASSURANCES SUR LA VIE
Lorsque l’on évalue une valeur actuelle qui, après un certain nombre d’années donnera un montant futur donné Cn , on parle d’actualisation financière.
Pour calculer l’actualisation, on utilisera la formule
C0 = Cn (1 + i)−n
2.1.3
Annuité certaine
Une annuité est une suite de montants versés périodiquement. Ces montants sont appelés termes de l’annuité. L’annuité est qualifiée de certaine
dans la mesure où le nombre total de versements est fixé à l’avance.
L’annuité peut être payable à l’avance (en début de chaque période, les
intérêts prendront en compte le montant versé en début de période) ou à
terme échu (en fin de période, le montant ne générant des intérêts qu’à oartir
de la période suivante).
Il est possible de calculer la valeur équivalente à cette annuité au temps
présent (valeur actuelle) ou après la dernière période (on parle de valeur
acquise).
Les formules qui permettent de calculer la valeur d’une annuité se basent
sur le principe d’un versement unitaire à terme échu. Pour un versement
supérieur, il est nécessaire de multiplier la valeur obtenue par le montant
d’un versement.
Valeur actuelle :
1 − (1 + i)−n
An =
i
Valeur acquise :
(1 + i)n − 1
Sn =
i
Si le versement est effectué à l’avance, il faudra multiplier ces valeurs par
(1 + i).
Exemple : valeur acquise d’une annuité sur 5 ans avec un taux de 3% et
des paiements de 1000e à terme échu :
(1 + 0.03)5 − 1
= 5309.14
1000.
0.03
valeur actuelle d’une annuité sur 5 ans avec un taux de 3% et des paiements de 1000e payables à l’avance :
1 − (1 + 0.03)−5
1000.
.(1 + 0.03) = 4717.10
0.03
2.2. PROBABILITÉS VIAGÈRES DE BASE
2.2
7
Probabilités viagères de base
Pour mettre en œuvre des opérations d’assurance sur la vie, on établi des
probabilités viagères à partir des statistiques de mortalité.
Remarque : on ne parlera ici que des probabilités viagères sur une tête.
2.2.1
Définitions
probabilité de survie probabilité qu’un individu d’âge x soit vivant dans
n années ou encore, qu’un individu d’âge x atteigne l’âge x + n. Cette
probabilité est notée n px
La probabilité qu’un individu soit vivant l’année suivante 1 px s’écrit
aussi px .
probabilité de décès probabilité qu’un individu d’âge x décède dans les n
années à venir ou encore, qu’un individu d’âge x décède avant d’atteindre l’âge x + n. Cette probabilité est notée n qx
Comme ces deux probabilités sont complémentaires, on a
n px
2.2.2
+ n qx = 1
Tables de mortalité
Tables de vie Afin d’évaluer les valeurs de n px , on se base sur des données statistiques. En Belgique, ces statistiques sont réalisées sur base des
registres de population et les tables qui en résultent sont publiées au niveau
du moniteur belge.
Cette table reprend pour une population de base de 1000000 habitants le
nombre de personnes sensées arriver à un âge x. Ce nombre de personnes est
représenté par lx . Ces tables permettent de déterminer le nombre de décès
(ou de survie) pour un âge donné.
L’âge à partir duquel il ne reste plus de survivants sera noté ω.
lx est aussi appelé nombre de survivants. Le nombre de décès à l’âge x
sera noté dx et sera égal à
dx = lx − lx+1
De la même manière, on pourra calculer que la probabilité de survie n px
peut être calculée comme suit 1
n px
=
lx+n
lx
1. Il s’agit de la probabilité conditionnelle P(vit à l’âge x+n | vit à l’âge x)
8
CHAPITRE 2. ASSURANCES SUR LA VIE
Pour construire cette table, on regardera le nombre de personnes d’âge x
en vie en début de l’année d’observation (Lx ) et le nombre de décès en fin
d’année (Dx ). Cela permettra de calculer le taux de mortalité
qx =
Dx
Lx
Cette courbe présente quelques irrégularités qui sont dues
— au nombre limité d’observations dont on dispose
— aux erreurs dans l’établissement des statistiques et du recensement
— à la présence de mouvement migratoires
— au fait que comme on prend en compte des âges différents les personnes ont été éprouvées de façons différentes (en particulier dans les
premières années de leur vie)
— aux changements de mode de vie, de conditions de travail, de milieu
social, . . .
On remplacera donc cette courbe par une courbe théorique qui s’en rapprochera le plus possible.
Modèle de Makeham Le modèle le plus utilisé en Belgique est le procédé
de Makeham.
On part du principe qu’à partir d’un certain âge x, le taux instantané de
mortalité est
Mx = α + β.cx
Le terme α est indépendant de l’âge est est lié à la mortalité accidentelle.
Le second terme est une valeur qui croît exponentiellement avec l’âge.
On cherchera donc à adapter les valeurs de α, β et c afin de se rapprocher
un maximum des valeurs théoriques.
Après intégration de la mortalité, on obtient pour la valeur lx
lx = k.sx .g c
x
La valeur de k est calculée pour que l0 = 1000000 et vaut donc k =
1000000/g, les autres valeurs sont calculées pour se rapprocher le plus possible
de la situation réelle (s < 1, c > 1 et g < 1)
On trouvera par exemple les valeurs k = 1000266.63, s = 0.999441704,
g = 0.999733441 et c = 1.101077536 (pour les hommes belges rente)
phénomène d’anti-sélection Une assurance sur la vie sera généralement
prise par des gens qui considèrent qu’ils ont de bonnes chances de toujours
être en vie à l’échéance du contrat. Dès lors, on assiste à un phénomène de
sélection par la personne qui contracte l’assurance.
2.2. PROBABILITÉS VIAGÈRES DE BASE
9
Les valeurs de l’espérance de vie de ces personnes sont généralement plus
élevées que la moyenne (personnes qui se savent en bonne santé, dont les
ascendants ont eu une longue espérance de vie,. . .)
De même, on verra une sélection dans l’autre sens pour les gens qui
prennent une assurance en cas de décès. Ces personnes considèrent que leur
risque de décès est plus élevé que la moyenne, que ce soit pour des raisons
médicales ou autres.
Dès lors, on utilisera deux tables dont les paramètres seront ajustés en
conséquence pour les deux situations.
Les tables réglementaires Belges sont les tables suivantes :
Vie Décès
Homme MR MK
Femme FR FK
Table 2.1 – Tables officielles Belges
Les valeurs des paramètres pour ces tables réglementaires belges sont
publiés au moniteur à intervalle régulier. On peut trouver un exemple de ces
valeurs à la table 2.2.
MK
k 1 000 450.59
s 0.999106875782
g 0.999549614043
c 1.103798111448
MR
1 000 266.63
0.999441703848
0.999733441115
1.101077536030
FK
1 000 097.39
0.999257048061
0.999902624311
1.118239062025
FR
1 000 048.56
0.999669730996
0.999951440172
1.116792453830
Table 2.2 – Paramètres Makeham officiels belges
On parlera généralement de tables K et de table R, les premières pour
les risques de décès et les secondes pour les risques de survie. Ces tables
reprennent les valeurs de lx , px et quelques autres valeurs
Ces tables étaient en vigueur depuis 1992 mais, depuis le 19 décembre
2012, un arrêté royal (publié le 29 Janvier 23013) interdit la discrimination
homme-femme et on doit désormais utiliser des tables XR et XK, indépendantes du sexe.
On peut trouver ces tables à l’URL
http ://www.ejustice.just.fgov.be/mopdf/2013/02/08_2.pdf#Page12
Les valeurs de ces nouvelles tables sont les moyennes des valeurs des
anciennes tables.
10
2.3
CHAPITRE 2. ASSURANCES SUR LA VIE
Valeur actuelle probable
Le problème de l’assureur vie est de pouvoir déterminer à la date de
souscription d’un contrat la valeur d’un engagement à long terme dont la
réalisation est incertaine. On parlera dès lors de valeur actuelle probable qui
est une combinaison de mathématiques financières et de probabilités.
La formule des intérêts composés sera dès lors modifiée en multipliant le
capital obtenu par un facteur correctif qui permettra de tenir compte de la
probabilité de réalisation.
Ct = C0 (1 + i)n p
Chapitre 3
Operations viagères sur une seule
tête
3.1
Introduction
Assurance sur la vie Opérations financières dont les effets dépendent de
la vie humaine et où interviennent deux contractants : un assureur,
s’engageant à payer des rentes ou des capitaux à certaines époques et
un assuré s’engageant à payer une prime unique ou plusieurs sommes
à des intervalles périodiques (primes annuelles, semestrielles, trisemestrielles, mensuelles,. . .)
Police Documents relatifs aux contrats passés entre l’assureur et l’assuré
Opérations viagères Ces opérations sont classées en
— Assurances en cas de vie (assurance de capital différé, rentes viagères,. . .)
— Assurances en cas de décès, parfois appelées assurances-vie
3.2
3.2.1
Assurances en cas de vie
Assurance de capital différé
Capital différé Un capital différé est un capital payable à une échéance
fixée d’avance si la personne est encore vivante.
Le capital évalué après n années sera égal à
Ct = C0 (1 + i)n .
11
lx
lx+n
12
CHAPITRE 3. OPERATIONS VIAGÈRES SUR UNE SEULE TÊTE
On sait que lx > lx+n et donc, le facteur correctif sera supérieur à 1. Les
personnes encore vivantes en terme de contrat profitent du décès des autres.
L’équilibre financier correspond à la situation
l Ct
|x+n
{z }
=
valeur des obligations de l’assureur
C0 .(1 + i)n lx
{z
}
|
valeur des sommes placées
Exemple Un homme de 25 ans souscrit à une assurance en payant un
montant de 100000e. Le contrat prend fin 20 ans plus tard et le taux d’intérêt
est de 4,75% 1 .
La table R donne l25 = 987273 et l45 = 967127 (45=25+20). On aura
donc un capital final de
Ct = 100000e(1 + 0.0475)20
987273
= 258246.46e
967127
Le taux de placement bancaire équivalent serait de
258246.46 = 100000(1 + i)20
258246, 46
= (1 + i)20
100000
r
20 258246, 46
− 1 = 0.04858
i =
100000
Ce qui donne un taux équivalent de 4.86%
Prime Unique Lorsque l’on désire calculer le montant de la prime à verser
en fonction du montant prévu au terme du délai, on utilisera la formule
suivante :
lx+n
C0 = Ct (1 + i)−n
= Ct (1 + i)−n .n px
lx
La prime unique pour assurer un capital de 1e sera notée n Ex . Si on pose
que v = (1 + i)−1 , on aura
n Ex
= (1 + i)−n .n px = v n .n px
Comme la valeur de i est fixée à 4.75%, la valeur de v est donc fixée à
0.9546539379
Example
1. le taux d’intérêt officiel pour les assurances est de 4.75%)
3.2. ASSURANCES EN CAS DE VIE
13
Quelle est la prime unique que doit payer une femme de 30 ans pour que,
dans 20 ans, si elle est encore en vie, elle reçoive 100000e ?
Pu = 100000e.20 E30 = 100000e1.0475−20
l50
= 38429.27e
l30
Une autre manière de calculer n Ex est la suivante :
n Ex
lx+n
lx
x
n v lx+n
= v x
v lx
v x+n lx+n
=
v x lx
Dx+n
=
Dx
= vn
avec Dx = v x lx qui est inclus dans la table pour plus de facilité de calculs.
3.2.2
Rentes Viagères (annuités viagères)
Définition C’est l’ensemble des termes d’annuités versés par une compagnie tant qu’une personne est vivante.
Elle peut être (comme pour les annuités certaines) constante (rente de
montant constant) ou variable. Dans le cadre de ce cours, nous nous limiterons aux rentes de montant constant.
Une rente peut être ordinaire (ou vie entière) si le paiement des termes
est exigible pendant toute la vie de l’assuré (en d’autres termes du rentier)
ou temporaire si le nombre de termes est fixé d’avance.
Elle peut être immédiate, si elle prend cours à la signature du contrat
ou différée d’un certain nombre d’années si elle ne prend cours que n années
après la signature du contrat. On parlera alors temps du différé le temps
compris entre la conclusion du contrat et l’instant où la rente prend cours.
Elle peut être payable d’avance (ou par anticipation) lorsque chaque terme
est payable en début de période (on parle de date anniversaire par rapport à
la date de signature du contrat) ou payable à terme échu lorsque le paiement
est effectué en fin de période.
On s’intéressera aux cas où l’assuré aura payé une prime unique.
Termes payables à l’avance Si on envisage une rente ordinaire différée,
le montant de la prime unique sera la somme des montants de la première
année à l’année maximale (ω)
14
CHAPITRE 3. OPERATIONS VIAGÈRES SUR UNE SEULE TÊTE
On aura donc pour un montant payé par période de 1e
Pu =
Dx+n Dx+n+1
Dω
+
+ ··· +
Dx
Dx
Dx
Ou encore, si on pose Nx+n = Dx+n + Dd+n+1 + · · · + Dω
Pu =
Nx+n
=n| ax
Dx
n| ax indique le montant de la prime unique d’une rente de 1e par an pour
la vie entière, différée de n années, payable par anticipation et reposant sur
une tête d’âge x.
Si le montant de la rente est différent de 1e, il suffira de multiplier n| ax
par le montant de la rente.
Si on envisage une rente temporaire différée, payée pendant m années, le
montant sera
Pu =
Dx+n Dx+n+1
Dx+n+m−1
+
+ ··· +
Dx
Dx
Dx
En utilisant la définition de Nx+n , on peut aussi exprimer cela sous la
forme
Nx+n − Nx+n+m
=n|m ax
Pu =
Dx
On peut imaginer cela comme des rentes payée à partir de l’année x + n
auxquelles on soustrait les rentes qui auraient été payées après la meme
année.
Pour une rente immédiate (ordinaire ou temporaire), les mêmes raisonnements peuvent être faits en considérant que n = 0.
On a donc pour une rente ordinaire immédiate
ax =
Nx
Dx
et pour une rente temporaire immédiate,
|m ax
=
Nx − Nx+m
Dx
Termes payables à terme échu Si le terme est payé en fin de période,
cela correspond à la situation où il aurait été payé en début de la période
suivante.
Les formules peuvent donc aisément adaptées en augmentant de 1 les
indices de Nx .
En particulier, cela donne les relations suivantes :
3.2. ASSURANCES EN CAS DE VIE
15
1. Rente ordinaire différée
n| ax
=
Nx+n+1
Dx
2. Rente temporaire différée
n|m ax
Nx+n+1 − Nx+n+m+1
Dx
=
3. Rente ordinaire immédiate
ax =
Nx+1
Dx
4. Rente temporaire immédiate
|m ax
=
Nx+1 − Nx+m+1
Dx
En résumé Les huit possibilités sont résumées dans la table ci-dessous
(pour une rente de 1e)
Rente Ordinaire
immédiate différée
anticipation
terme échu
Nx
Dx
Nx+1
Dx
Nx+n
Dx
Nx+n+1
Dx
Rente temporaire
immédiate
différée
Nx −Nx+m
Dx
Nx+1 −Nx+m+1
Dx
Nx+n −Nx+n+m
Dx
Nx+n+1 −Nx+n+m+1
Dx
On peut constater que pour les rentes à terme échu, il faut ajouter des
+1 aux termes Nx , pour les rentes immédiates, n = 0 et pour les rentes
temporaires, il faut retirer un terme de la forme Nx+m au numérateur.
16
CHAPITRE 3. OPERATIONS VIAGÈRES SUR UNE SEULE TÊTE
Chapitre 4
Assurances en cas de décès
Pour des raisons de simplifications, nous partirons sur le principe que les
décès au cours d’une année se répartissent uniformément tout au long de
cette année.
Cela impliquera que les décès se produiront en moyenne au milieu de
l’année d’assurance.
4.1
Assurance ordinaire immédiate
On notera Āx la prime unique d’une assurance décès de 1e payable si
le décès de la tête d’âge x à la signature du contrat survient dans un délai
d’une durée indéterminée compté à partir de la signature du contrat.
Sur la totalité des personnes d’âge x, le montant en valeur actuelle (au
moment de la signature) correspondant à une prime de 1e serait la somme
de
— La valeur actuelle du montant moyen payé pendant la 1ere année
multipliée par le nombre de décès qui auront lieu durant la première
année (1.(1 + i)−1/2 .dx dx étant le nombre de décès entre l’âge x et
l’âge x + 1)
— La valeur actuelle du montant moyen payé pendant la 2eme année
multipliée par le nombre de décès qui auront lieu durant cette seconde
année (1.(1 + i)−3/2 .dx+1 )
— ...
— La valeur actuelle du montant payé l’année où les personnes d’âge x
auront atteint l’âge ω multiplié par le nombre de décès cette année
(1.(1 + i)−(ω−x+1/2) .dω )
Sur la totalité des assurances (à supposer que toutes les personnes d’âge
17
CHAPITRE 4. ASSURANCES EN CAS DE DÉCÈS
18
x soient assurées, on aura
lx .Āx =
ω−x
X
1
dx+t .(1 + i)−(t+ 2 )
t=0
En utilisant le fait que (1 + i)−1 = v, on peut réécrire cette équation
lx .Āx =
ω−x
X
1
v t+ 2 .dx+t
t=0
En multipliant les deux côtés de l’équation par v x et en posant que Cx =
1
v x+ 2 .dx , cela donne
v x .lx .Āx =
ω−x
X
1
v x+t+ 2 dx+t =
ω−x
X
Cx+t
t=0
t=0
Pour finir, si on pose que M̄x = Cx + Cx+1 + · · · + Cω on obtient
M̄x = v x .lx .Āx = Dx .Āx
Et donc, la prime unique à payer à l’âge x pour toucher un montant de
1e en cas de décès sera de
M̄x
Āx =
Dx
Note : au niveau notation, on notera X (k) la valeur de X calculée en effectuant la moyenne des valeurs obtenues en divisant les années en k périodes.
La notation X̄ correspondra à la limite de X (k) quand k tend vers ∞.
Vu que l’on considère que les décès sont répartis uniforméments sur l’année, cette valeur moyenne X̄ sera égale à la valeur calculée à la moitié de
l’année.
4.2
Assurance décès temporaire immédiate
Dans le cas où on restreint la période assurée à une durée de m années,
le calcul précédent se limitera aux années 0 à m qui correspondent aux âges
de x à x + m − 1.
En suivant un raisonnement semblable à celui utilisé pour le calcul des
rentes temporaires, on en déduira qu’il faudra retirer à la valeur de M̄x la
valeur de M̄x+m correspondant aux années qui suivent les années assurées.
On aura donc, pour un montant payé de 1e en cas de décès dans les m
années qui suivent la conclusion du contrat
|m Āx
=
m Āx
=
M̄x − M̄x+m
Dx
4.3. ASSURANCE DÉCÈS ORDINAIRE DIFFÉRÉE
4.3
19
Assurance décès ordinaire différée
Si on ne considère pour le paiement de la prime que les décès qui surviennent dans des délais d’une durée indéterminée commençant n années
après la signature du contrat, les termes Cx+t ne commencent qu’à partir de
la nieme année et donc, leur somme vaudra M̄x+n .
On obtiendra donc
M̄x+n
n| Āx =
Dx
On remarquera que le cas de l’assurance immédiate correspond au cas où
n = 0.
4.4
Assurance décès temporaire différée
De la même manière, on pourra calculer le cas de l’assurance décès différée
en combinant les raisonnements précédents. On obtiendra donc comme prime
correspondant à 1e pour un décès se produisant lors d’une période de m
années commençant n années après la signature du contrat
n|m Āx
4.5
=
M̄x+n − M̄x+n+m
Dx
En résumé
Immédiate
Différée
Ordinaire
Temporaire
M̄x
Dx
M̄x+n
Dx
M̄x −M̄x+m
Dx
M̄x+n −M̄x+n+m
Dx
20
CHAPITRE 4. ASSURANCES EN CAS DE DÉCÈS
Chapitre 5
Assurance mixte ordinaire
Une assurance mixte ordinaire est une assurance reposant sur une tête
d’âge x et pour un délai de m années, payable avant ce délai si la personne
décède ou, au plus tard, à l’expiration de ce délai si l’assuré est encore en
vie.
Le montant de la prime unique pour une assurance de 1e et pour un
délai de m années vaudra la somme des montants d’une assurance décès
temporaire immédiate de m années (pour couvrir le risque de décès) et de
la prime correspondant à une assurance de capital différé m années après la
signature du contract (pour le cas de survie).
Āxm| =
m Āx
+
m Ex
=
M̄x − M̄x+m Dx+m
+
Dx
Dx
On parlera d’assurance mixte généralisée dans le cas où le montant payé
à l’issue des m années (en cas de survie) est de αe au lieu de 1e.
Ā′xm| =
m Āx
+α
m Ex
=
21
M̄x − M̄x+m
Dx+m
+α
Dx
Dx
22
CHAPITRE 5. ASSURANCE MIXTE ORDINAIRE
Deuxième partie
Probabilités
23
Introduction
Dans le monde actuel, on obtient de nombreux nombres. Parfois on reprend les nombres de tous les éléments de l’ensemble que l’on désire représenter, on parle de recensement, parfois, on se contente d’une partie de
l’ensemble, on parlera alors d’échantillons.
Tout ces nombres permettent de déterminer un ensemble de valeurs qui
forment un résumé telles que la moyenne, l’écart-type, les fréquences, . . .
Mais, bien souvent, ce qui intéresse la personne qui a demandé cette
récolte d’informations, ce n’est pas le passé (représenté par ces nombres)
mais bien le futur.
C’est à ce problème que répondent les probabilités. Parfois établies à
partir d’un modèle théorique (quand on lance un dé, on a une chance sur
six de tomber sur un 1), parfois à partir de grandeurs mesurées, parfois une
combinaison des deux.
Le cas le plus simple au niveau probabilités est le cas d’événements qui ont
chacun la même chance de produire (on parlera d’événements équiprobables).
La probabilité que l’un d’entre eux se produise sera simplement
1
nombre de cas possibles
Le calcul des probabilités se résume alors à un problème d’énumération,
compter le nombre de cas possibles. L’analyse combinatoire permet souvent
de répondre à cette question.
Si cela permet de résoudre des situations simples, dans de nombreux cas
il sera nécessaire d’utiliser des valeurs approximatives tirées de statistiques.
Dans cette situation, une grande prudence doit cependant être de rigueur
afin de s’assurer que l’on n’ait pas introduit de biais problématiques.
25
26
Chapitre 6
Analyse Combinatoire
Introduction
L’analyse combinatoire est la partie des mathématiques qui permet de déterminer le nombre de manières dont certains éléments peuvent être agencés.
Dans le calcul de probabilités, elle permet entre autres de calculer le nombre
de cas possibles ou favorables sans avoir besoin de les énumérer tous.
6.1
Permutations
Si on prend un nombre n d’éléments, de combien de manières peut-on les
ordonner ?
Le premier élément, a1 peut se placer à n positions.
Le second élément, a2 peut se placer à n − 1 positions.
Le troisième, a3 disposera de n − 2 positions.
L’élément ai pourra se placer à n − i + 1 position
L’élément an n’aura plus qu’une seule position.
Le nombre total de dispositions possibles sera de n.(n − 1).(n − 2). · · · .1.
On parlera de factorielle et cela se notera
n! = n.(n − 1).(n − 2). · · · .1
On trouve parfois une fonction gamma (Γx) qui est considérée comme une
extension de la factorielle à tous les nombres (pas uniquement aux nombres
entiers). En particulier,
Γ(n + 1) = n!
27
CHAPITRE 6. ANALYSE COMBINATOIRE
28
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
8!
9!
10!
1
2
6
24
120
720
5 040
40 320
362 880
3 638 800
Table 6.1 – Factorielles de 1 à 10
Pour les grandes valeurs, on dispose d’une approximation de la factorielle :
(attention, ce n’est vrai que pour n ≫ 1)
n! ≃
6.2
√
2πn
n n
e
Arrangements
Si on possède un ensemble de n éléments, de combien de manières peut-on
extraire m éléments en tenant compte de leur ordre de sortie ? Ces éléments
peuvent être des participants à une course pour laquelle on veut connaître le
nombre de podiums possibles par exemple.
Le premier des m éléments, a1 est choisi parmi n éléments
Le second, a2 sera choisi parmi les n − 1 éléments restants
Le meme sera choisi parmi les n − m + 1 éléments restants
Au final, on aura
Am
n = n.(n − 1).(n − 2). · · · .(n − m + 1)
En multipliant et divisant par (n − m)!, on arrive à l’expression
n.(n − 1).(n − 2). · · · .(n − m + 1).(n − m).(n − m − 1). · · · .1
(n − m)!
n!
=
(n − m)!
Am
=
n
6.3. COMBINAISONS
6.3
29
Combinaisons
Si on possède un ensemble de n éléments, de combien de manières peut-on
extraire m éléments sans tenir compte de leur ordre ? En d’autres termes, si
on a un ensemble de n éléments, de combien de manières peut-on créer des
ensembles de m éléments dans ce dernier ?
Ce nombre sera égal au nombre d’ensembles ordonnées (Am
n ) divisé par
le nombre de manières dont ces m éléments peuvent être triés (n!) et donc
Cnm =
6.4
Am
n!
n
=
m!
(n − m)!.m!
Triangle de Pascal
Si on prend un ensemble de n éléments et que l’on sélectionne m éléments,
on aura
— Les ensembles contenant l’élément a1
— Les ensembles ne contenant pas l’élément a1
Pour les premiers, il s’agira d’ensembles contenant a1 et m − 1 autres
éléments pris parmi les n−1 éléments restant : a2 , a3 , . . .Ils seront au nombre
de C m−1 n − 1
Pour les seconds, il s’agira d’ensembles contenant a1 et m autres éléments
m
pris parmis les n − 1 éléments restants. Ils seront au nombre de Cn−1
Au total, on aura
m
m−1
Cnm = Cn−1
+ Cn−1
Lorsque l’on veut compter les ensembles de 0 éléments, il n’y a qu’un
seul ensemble possible (l’ensemble vide ∅). De même, si on veut compter les
ensembles contenant tous les éléments, on ne trouvera qu’un seul ensemble
possible. On a donc
Cn0 = 1
Cnn = 1
En combinant ceci avec la relation précédente, on peut construire le tableau suivant
6.5
Nombre de sous-ensembles
Si on possède un ensemble de n éléments, on peut former 2n sous-ensembles
différents. En effet, pour chaque élément, on a deux choix : l’inclure ou ne
pas l’inclure.
CHAPITRE 6. ANALYSE COMBINATOIRE
30
m
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
3
6
10
15
21
28
36
3
4
5
6
7
8 9
1
4
1
10
5
1
20 15
6 1
35 35 21 7 1
56 70 46 28 8 1
84 126 126 84 36 9 1
Table 6.2 – Triangle de Pascal
On peut aussi dire que le nombre de sous-ensemble est le nombre de sousensembles de 0 éléments plus le nombre de sous ensemble de 1 élément plus
le nombre de sous-ensembles de 2 éléments, . . .jusqu’aux sous-ensembles de
n éléments
On a donc
n
X
n
2 =
Cni
i=0
Dans le cas du triangle de Pascal, cela signifie que la somme des éléments
de la neme ligne vaut 2n
6.6
Permutations avec répétition
Si on a un ensemble d’éléments où chaque élément ai peut apparaître
ni fois, le calcul du nombre de permutations doit tenir compte du fait que
permuter deux valeurs égales ne donne pas un ordre différent 1 .
Le nombre total d’éléments sera la somme des ni et donc
X
n=
ni
Pour calculer le nombre de permutations, on peut raisonner comme suit :
une fois un ordre établi, les ordres obtenus en permutant entre eux les ai
seront identiques. Il faudra donc diviser le nombre de possibilités par ni !.
1. Par exemple, on tire une à une des boules d’un sac contenant 5 boules bleues, 6
boules rouges et 3 boules vertes
6.7. ARRANGEMENTS AVEC RÉPÉTITIONS
31
Au final, on obtient :
Cnn1 ,n2 ,··· ,nk =
n!
n1 !.n2 !. · · · .nk !
Cette valeur est aussi appelée coefficient multinomial
A noter que cette formule permet de retomber sur la formule des combinaisons.
Supposons un ensemble de n éléments a1 ,. . ., an . On peut créer une liste
de n éléments prendre et laisser qui correspondront aux éléments ai .
Si le nombre d’éléments que l’on prends est m, le nombre d’éléments que
n!
= Cnm
l’on laissera sera n − m et on obtient m!(n−m)!
6.7
Arrangements avec répétitions
Si on a un ensemble de n éléments et que l’on choisi successivement k
éléments dans cet ensemble, l’élément choisi restant dans l’ensemble 2 , on
parle d’un arrangement avec répétition.
Le nombre de ces arrangements est de Apn = nk .
6.8
Combinaisons avec répétitions
Dans le cas où on dispose d’un ensemble de n valeurs et que l’on tire k valeurs de cet ensemble, les éléments choisis restant dans l’ensemble 3 , le nombre
d’ensembles de valeurs obtenues est appelé combinaisons avec répétition.
Ce nombre de combinaisons se calcule par
Γkn =
(n + k − 1)!
k
= Cn+k−1
k!(n − 1)!
2. par exemple, on crée des mots de 5 lettres parmi les 26 lettres de l’alphabet
3. Par exemple, on lance k dés à n faces
32
CHAPITRE 6. ANALYSE COMBINATOIRE
Chapitre 7
probabilités simples
7.1
Définitions de base
— Une épreuve est une expérience dont le résultat est lié au hasard et
n’est pas connu à l’avance 1 .
— L’ensemble des résultats possibles d’une épreuve s’appelle l’univers et
est désigné par Ω. Cet ensemble peut être fini ou infini (dénombrable
ou non dénombrable).
— Le nombre d’éléments de cet ensemble est appelé cardinal de cet
ensemble et se note card(Ω).
— Un événement est une éventualité, une condition qui peut se réaliser
lors d’une épreuve. Sa réalisation dépend du hasard, on dira qu’il est
aléatoire 2 . Tout événement est un sous-ensemble de Ω et sera noté A,
B, . . .
— On dira qu’un événement E s’est réalisé lors d’une épreuve si le résultat de l’épreuve est un élément du sous-ensemble E. On dira donc
également qu’un événement est l’ensemble des cas favorables.
— Un événement qui ne correspond qu’à un élément de Ω est dit événement élémentaire. Les événements élémentaires appartenant à Ω
seront désignés par ω1 , ω2 ,... On écrira Ω = {ω1 , ω2 , · · · , ωn }
— Un événement impossible est un événement qui ne sera jamais réalisé quel que soit le résultat de l’épreuve. On le désigne par l’ensemble
vide ∅
— Un événement qui se produira toujours quel que soit le résultat de
l’épreuve est un événement certain et se représentera par l’univers
1. On considérera parfois qu’un événement dont les conditions de réalisation sont tellement complexes qu’elles sont incalculables pourra être associé à du hasard
2. du latin ALEA : sort, hasard, jeu de hasard, dé, jeu de dés
33
CHAPITRE 7. PROBABILITÉS SIMPLES
34
—
—
—
—
—
—
—
—
complet : Ω
La fréquence d’un événement est le nombre de fois où cet événement apparaît divisé par le nombre de mesures effectuées. Lorsque le
nombre de mesures augmente, cette fréquence se rapproche de la probabilité de l’événement. Cette fréquence sera généralement obtenue à
l’aide de l’analyse statistique.
Lorsque les événements élémentaires ont chacun les mêmes chances de
se produire, comme par exemple les faces d’un dé, on dit qu’ils sont
équiprobables.
Dans le cas d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement E pourra
être calculée en divisant le nombre d’événements élémentaires correspondant au dit événement par le nombre de cas possibles.
P (E) = card(E)
card(Ω)
la conjonction ou la intersection de deux événements est la situation où deux événements A et B se réaliseraient simultanément. Par
exemple, on peut envisager les événements nombre pair et nombre
multiple de 3 qui seraient réalisés par les valeurs 0, 6, 12,. . .
La conjonction de deux événements se notera A ∩ B et correspond aux
cas qui appartiennent aux deux sous-ensembles de Ω qui correspondent
aux ensembles A et B. On parlera donc aussi d’intersection des deux
ensembles A et B.
La réunion ou union de deux événements correspond à la situation
où au moins un des événements A et B se réaliserait. Par exemple,
pour les événements nombre pair et nombre multiple de 3 on aurait 0,
2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12,. . .
Cette réunion de deux événements se notera A ∪ B et correspond à
l’union des deux ensembles A et B
On parlera de la différence entre deux éléments A \ B pour désigner
les résultats qui appartiennent à A mais pas à B. Cela correspond à
la réalisation de A et la non-réalisation de B.
Si la réalisation de l’événement A implique la réalisation de l’événement B, on dira que A est inclus dans B, ce qui se notera A ⊂ B.
Ce sera par exemple le cas de l’événement multiple de 4 par rapport
à l’événement nombre pair
Si deux événements ne peuvent pas se produire en même temps, on
dira qu’ils sont disjoints ou incompatibles. Cela correspond à deux
événements dont l’intersection est vide.
Un partitionnage de l’ensemble Ω est un ensemble d’événements incompatibles dont l’union est égale à Ω. Un partitionnage possible est
de créer un événement pour chaque événement élémentaire de Ω (par
exemple les 6 événements le dé vaut i avec i de 1 à 6).
7.2. LES PROBABILITÉS
35
On dira aussi que les événements qui composent le partitionnage forme
un système complet d’événements.
7.2
Les probabilités
La probabilité d’un événement sera un nombre entre 0 (événement impossible, ∅) et 1 (événement certain Ω).
On note parfois la probabilité en pourcentage de chance que l’événement
se produise. Ce pourcentage est simplement la probabilité multipliée par 100.
L’événement contraire de E se notera Ē et se lira non-E.
E et Ē forment un partitionnage de Ω.
Si deux événements sont incompatibles, la probabilité de leur union est
la somme de leurs probabilités
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) si A ∩ B = ∅
Si on dispose d’un partitionnage E1 , E2 ,. . ., En de Ω, la probabilité de
l’union des événements de ce partitionnage est égale à 1.
En effet, E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En = Ω et p(Ω) = 1.
Plus spécifiquement, en utilisant le partitionnage E et Ē, la probabilité
de Ē vaudra :
p(Ē) = 1 − p(E)
La probabilité d’un événement E = {ω1 , ω2 , · · · } sera égale à la somme
des probabilités des événements élémentaires ωi qui le composent 3
On peut déterminer que A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) (l’ensemble A est composé
des éléments n’appartenant que à A auquel on ajoute les éléments appartenant à A et à B). Cela implique que p(A \ B) = p(A) − p(A ∩ B)
Si on a deux ensembles A et B, les ensembles A \ B, B \ A et A ∩ B sont
disjoints et leur union est l’union de A et B.
On a donc
p(A ∪ B) =
=
=
=
p(A \ B) + p(B \ A) + p(A ∩ B)
p(A \ B) + p(A ∩ B) + p(B \ A) + p(A ∩ B) − p(A ∩ B)
p((A \ B) ∪ (A ∩ B)) + p((B \ A) ∪ (A ∩ B)) − p(A ∩ B)
p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
Cette formule est appelée formule des probabilités totales. Elle ne consiste
pas à retirer les événements qui correspondent à A et B mais plutôt à retirer
3. vu que les événements élémentaires sont par définition disjoints
CHAPITRE 7. PROBABILITÉS SIMPLES
36
une probabilité qui aurait été comptée deux fois.
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
Le même raisonnement permet d’obtenir la formule suivante pour trois
événements
p(A ∪ B ∪ C) = p(A) + p(B) + p(C)
−p(A ∩ B) − p(A ∩ C) − p(B ∩ C)
+p(A ∩ B ∩ C)
7.3
Probabilités conditionnelles
On suppose que lors d’une épreuve, un événement A s’est réalisé. La
probabilité conditionnelle p(B/A) est la probabilité que l’événement B se
soit également réalisé quand on sait que l’événement A s’est réalisé.
Prenons l’exemple d’un tirage d’une lettre de A à Z. Si l’événement A est
d’avoir une lettre de A à M (probabilité de 1 /2 ) et l’événement B est d’avoir
une voyelle (A, E, I, O, U 4 soit une probabilité de 5 /26 ), la probabilité d’avoir
B si on a A est de
p(B/A) =3 /13 =6 /26
Cette probabilité est légèrement supérieure (il y a plus de voyelles dans
la première moitié de l’alphabet que dans la seconde).
On peut noter quatre cas :
— A et B sont disjoints. Dans ce cas, si A s’est réalisé, B est impossible
et la probabilité conditionnelle est de 0
— A est inclus dans B. Dans ce cas, si A s’est réalisé, on est certain que
B sera aussi réalisé et la probabilité conditionnelle est de 1
— B est inclus dans A. Dans ce cas, la probabilité conditionnelle est p(B)
p(A)
(on sait que p(B) sera plus petit que p(A) vu que B est inclus dans
A)
— A et B ne sont pas disjoints ni inclus l’un dans l’autre. Les seules
parties de B qui peuvent se réaliser sont celles qui sont également
présentes dans A. On a donc
p(B/A) = p((A ∩ B)/A)
Ce qui nous ramène au cas précédent (puisque A ∩ B est inclus dans
A) et donc
p(A ∩ B)
p(B/A) =
p(A)
4. pour cet exercice, on considérera que Y est une semi-voyelle et non une voyelle
7.4. ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS
37
en gros, calculer une probabilité conditionnelle revient à restreindre l’univers Ω à l’ensemble des éléments de l’événement connu A.
ATTENTION la notation B/A n’est PAS un événement. On ne peut
donc pas utiliser les opérations prévues sur les événements sur cette probabilité conditionnelle.
On peut également transformer l’équation précédente en
p(A ∩ B) = p(A).p(B/A) = p(B).p(A/B)
Cela correspond au fait que la probabilité de réalisation de A et de B
correspond à la probabilité de A multipliée par la probabilité de B quand on
sait que A s’est réalisé (et vice-versa).
Les deux axiomes principaux des probabilités deviennent
p(Ω/B) = 1
p((A ∪ B)/C) = p(A/C) + p(B/C)
7.4
si A ∩ B = ∅
événements indépendants
Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un ne
change rien à la réalisation ou non de l’autre.
Cela peut s’écrire
p(A) = P (A/B)
p(B) = P (B/A)
Dans le cas de deux événements indépendants, la probabilité de réalisation
des deux événements A et B se simplifie en
p(A ∩ B) = p(A).(p(B/A) = p(A).p(B)
Il ne faut pas confondre deux événements disjoints (si l’un se réalise,
l’autre est impossible) et deux événements indépendants (la réalisation de
l’un ne change rien à la probabilité de réalisation de l’autre).
7.5
Théorème de Bayes
Une série d’événements aléatoires disjoints A1 , A2 ,. . .,An (que l’on appellera causes )peuvent toutes aboutir à un résultat B. Les événements Ai
partitionnent Ω.
CHAPITRE 7. PROBABILITÉS SIMPLES
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On connaît les probabilités des événéments Ai (p(Ai )) et, pour chaque
événement Ai on connaît la probabilité que B se produise (p(B/Ai ), probabilité de B si on sait que Ai s’est réalisé) 5
Le Théorème de Bayes permet de déterminer les probabilités que l’événement Ai soit la cause si on sait que B s’est réalisé.
Comme les Ai partitionnent Ω, on sait que B sera totalement inclus dans
l’union des Ai .
[
B⊂
Ai
i
On peut donc partitionner B en une série d’événements B ∩ Ai . On a
donc
[
(Ai ∩ B)
B =
i
p(Ai /B) =
p(Ai ∩ B) =
P (Ai /B) =
p(B) =
p(Ai ∩ B)
formule probabilités conditionnelles
p(B)
p(Ai )p(B/Ai )
p(Ai )p(B/Ai )
p(B)
X
X
p(Ai ∩ B) =
p(Ai )p(B/Ai )
i
i
Et donc, on obtient le résultat suivant :
p(Ai )p(B/Ai )
p(Ai /B) = P
i p(Ai )p(B/Ai )
Après être resté pendant près de deux siècles inutilisée, cette formule
est maintenant utilisée dans de nombreux cas tels que détection de spam,
reconnaissance des formes, sécurité industrielle,. . .
5. Ce sera par exemple le cas si on dispose d’un ensemble de machines, l’événement
Ai indiquant que la pièce vient de la machine i et l’événement B représente une pièce
défectueuse, p(B/Ai ) étant la probabilité que la machine i produise une pièce défectueuse