Mathématiques et Statistiques

Mathématiques et Statistiques
D.Moreaux
15 mars 2016

Table des matières
I Mathématiques de l’Assurance iii
1 Introduction 1
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Catégories d’assurances . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 2 branches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Assurance vie individuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Intervenants à un contrat individuel . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Principaux contrats individuels . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Capitalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Assurances sur la vie 5
2.1 Rappels de mathématiques financières . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Intérêts composés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Capitalisation - Actualisation . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Annuité certaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Probabilités viagères de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.2 Tables de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Valeur actuelle probable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Operations viagères sur une seule tête 11
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Assurances en cas de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 Assurance de capital différé . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.2 Rentes Viagères (annuités viagères) . . . . . . . . . . . 13
i

ii
4 Assurances en cas de décès 17
4.1 Assurance ordinaire immédiate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Assurance décès temporaire immédiate . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Assurance décès ordinaire différée . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Assurance décès temporaire différée . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 En résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5 Assurance mixte ordinaire 21
II Probabilités 23
6 Analyse Combinatoire 27
6.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
6.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4 Triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5 Nombre de sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.6 Permutations avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.7 Arrangements avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.8 Combinaisons avec répétitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 probabilités simples 33
7.1 Définitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2 Les probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.3 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
7.4 événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.5 Théorème de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Première partie
Mathématiques de l’Assurance
iii