Loi de probabilité

Loi de probabilité
1) Loi de BERNOULLI
Définition
* Une épreuve de Bernoulli est une épreuve à deux issues : succès noté S et échec noté
S
avec respectivement les probabilités p et 1 – p
* La loi de Bernoulli est la variable aléatoire X telle que X = 1 si le succès est réalisé ou 0 sinon.
p correspond à P( X = 1 ) et est appelé le paramètre de X.
La loi de probabilité de X est donc :
Propriété Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p , alors E ( X ) = p et V(X) = p ( 1 – p)
2) Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définition
En répétant n fois et de façon indépendante une épreuve de Bernoulli, on définit un schéma de
Bernoulli
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de fois où le succès S est réalisé au cours de ces n répétitions.
On dit alors que X suit une loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi est parfois notée B(n ;p)
Propriété Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors :
pour tout 0 ≤ k ≤ n , P( X = k ) =
n
k
pk1 – pn – k
, E(X) = np , V(X) = n p (1 – p)
Démonstration :
1 2 3 4 5 6 ……k , k+1 , ……………n–1 n
p p p p p p p 1–p 1–p 1–p
Si l’on suppose que l’on a obtenu S lors des k premières épreuves la probabilité d’obtenir X = k dans ce cas est
pk (1–p )n–k car ces épreuves sont indépendantes donc on utilise le principe multiplicatif.
Reste à déterminer le nombre de façons d’obtenir ces k succès et ces (n – k ) échecs. Cela revient à placer k
éléments parmi n places possibles. Il y en a
n
k
d’où le résultat :
P( X = k ) =
n
k
pk1 – pn – k
Remarque : Vérifier que l’on a
∑
k=1
n
PX=k
= 1
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3) Lois de probabilité continue
3. a) Densité et loi de probabilité
Définition : densité de probabilité
Soit I un intervalle . On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f continue et positive
sur I telle que :
∫
I
ftd t
= 1
Remarque :
•Si I = [a ; b], alors la quantité
∫
I
ftd t
désigne simplement :
•Si I est un intervalle non borné, par exemple [ a ; + ∞ [
alors la quantité
∫
I
ftd t
désigne lorsqu’elle existe, la
limite suivante :
∫
I
ftd t
=
lim
x∞ ∫
a
x
ftd t
Exemples :
1. Déterminer la valeur du réel a tel que la fonction f définie sur [0 ;1 ] par f(x) = x +a soit une densité de
probabilité sur [0 ; 1]
2. Soit f une fonction constante sur un intervalle [a ;b ].Quelle doit être la valeur de la constante f pour qu’elle
soit une densité?
3. Soit
λ
un réel strictement positif.
Démontrer que la fonction f définie sur ℝ+ par f(t) =
e–t
est un densité de probabilité sur ℝ+
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3. b) Loi de probabilité
Définition : Loi de probabilité
Soit I un intervalle et f une densité de probabilité sur I.
L’application P qui à tout sous intervalle [ a ; b ] de I associe la quantité P( [a ;b] ) =
∫
a
b
ftd t
est
appelée loi de probabilité sur I
•Puisque [a ;b] est inclus dans I et que f est positive sur I, on a
bien p([a ;b]) ∈ [0;1]
•La probabilité d’un intervalle réduit à un point est .
En effet : P({
x0
}) = P(
[x0; x0]
) =
•la définition s’étend à des intervalles non bornés lorsque
la limite de l’intégrale existe
Cas particulier :
•Si f est constante sur [a ;b] ( égale à d’après un calcul précédent ) on dit que P est la loi
uniforme
•Si f est de la forme f(t) =
e–t
sur ℝ+ avec
0
, on dit que P est la loi exponentielle de paramètre
λ
3. c) Variables aléatoires continues. Loi uniforme. Loi exponentielle
Sont dites continues les variables aléatoires qui prennent des valeurs dans un intervalle I
Définition : Loi de probabilité d’une variable aléatoire
- Soit P une loi de probabilité sur un intervalle I de densité f.
On dit qu’une variable aléatoire X, à valeurs dans I, suit une loi de probabilité P lorsque pour tout
sous intervalle [ ;
β
] de I, on a :
P ≤ X ≤ =∫ ftd t
- La fonction F définie par F(x) = P( X ≤ x ) = P( X ∈ ]–∞;x[ ) est appelée la fonction de
répartition de la variable aléatoire X
Exemples :
•Cas de la loi uniforme sur un intervalle [ a ; b ] :
P ≤ X ≤ =∫
1
b−ad t
=
Ainsi, si X suit une loi uniforme sur un intervalle I, la probabilité d’un sous intervalle J de I est donnée
par la formule : P(J) =
I delongueur
J delongueur
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•Cas d’une loi exponentielle de paramètre
λ
> 0 sur ℝ+
P0 ≤ X ≤ x=∫
0
x
e−td t
=
et par complémentarité , P( X > x ) =
Exemples :
1) Dans la journée, un métro passe toutes les 6 minutes à la station n°14.
Soit X le temps d’attente d’une personne à cette station. On suppose que X suit loi uniforme sur
[ 0 ; 6 ]
Quelle est la probabilité que cette personne attende entre 3 et 5 minutes ?
2) On suppose que la durée de vie X d’une voiture suit une loi exponentielle de paramètre 0,1.
a) Calculer la probabilité qu’une voiture dépasse 10 ans de durée de vie
b) On sait qu’une voiture a duré déjà 10 ans.
Quelle est la probabilité qu’elle dépasse 12ans de durée de vie ?
c) Comparer le résultat précédent avec la probabilité que la durée de vie de la voiture dépasse 2 ans
On constate que la probabilité que la voiture dure deux ans de plus ne dépend pas de son âge.
On dit que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement
Définition
Soit T la variable aléatoire correspondant à la durée de vie d’un individu ou d’un objet.
On dit que T suit une loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité que l’individu
( ou l’objet ) soit vivant ( ou fonctionne ) à l’instant t + h sachant qu’il est vivant (ou fonctionne) à
l’instant t ne dépend pas de son âge t P(T≥t) ( T ≥ t + h ) = P ( T ≥ h )
Remarque :
Une loi de durée de vie sans vieillissement pour les humains n’est pas très pertinente. En effet, un bébé à
la naissance peut espérer vivre une dizaine d’année alors qu’on ne peut en dire autant d’un vieillard. Ce
modèle semble plus proche de la réalité lorsque h est petit (par exemple 1 minute)
Cette loi s’applique plutôt pour des composants électroniques par exemple.
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Propriété
Une variable aléatoire T suit une loi de durée de vie sans vieillissement si et seulement si elle suit une
loi exponentielle
3. d) Espérance d’une variable aléatoire continue
Définition
Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I et dont la densité
associée est notée f
On appelle espérance mathématique de X la quantité : E(X) =
∫
I
t f td t
( sous réserve
d’existence si I n’est pas borné)
1. Cas d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur I = [ a , b ]
2. Cas d’une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre
λ
sur I
On pourra penser à dériver la fonction t
te–t
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