Loi de probabilité 1) Loi de BERNOULLI Définition * Une épreuve de Bernoulli est une épreuve à deux issues : succès noté S et échec noté S avec respectivement les probabilités p et 1 – p * La loi de Bernoulli est la variable aléatoire X telle que X = 1 si le succès est réalisé ou 0 sinon. p correspond à P( X = 1 ) et est appelé le paramètre de X. La loi de probabilité de X est donc : Propriété Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p , alors E ( X ) = p et V(X) = p ( 1 – p) 2) Schéma de Bernoulli et loi binomiale Définition En répétant n fois et de façon indépendante une épreuve de Bernoulli, on définit un schéma de Bernoulli Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de fois où le succès S est réalisé au cours de ces n répétitions. On dit alors que X suit une loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi est parfois notée B(n ;p) Propriété Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors : pour tout 0 ≤ k ≤ n , P( X = k ) = n k n –k p 1 – p k , E(X) = np , V(X) = n p (1 – p) Démonstration : 1 2 3 4 5 6 ……k , k+1 , ……………n–1 n p p p p p p p 1–p 1–p 1–p Si l’on suppose que l’on a obtenu S lors des k premières épreuves la probabilité d’obtenir X = k dans ce cas est pk (1–p )n–k car ces épreuves sont indépendantes donc on utilise le principe multiplicatif. Reste à déterminer le nombre de façons d’obtenir ces k succès et ces (n – k ) échecs. Cela revient à placer k éléments parmi n places possibles. Il y en a n k d’où le résultat : P( X = k ) = n p k 1 – pn – k k n Remarque : Vérifier que l’on a ∑ P X= k =1 k=1 M. Philippe 25/03/13 Page 1 / 5 3) Lois de probabilité continue 3. a) Densité et loi de probabilité Définition : densité de probabilité Soit I un intervalle . On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f continue et positive sur I telle que : ∫ f t d t =1 I Remarque : • Si I = [a ; b], alors la quantité ∫ f t d t désigne simplement : I • Si I est un intervalle non borné, par exemple [ a ; + ∞ [ alors la quantité ∫ f t d t désigne lorsqu’elle existe, la I limite suivante : ∫ f t d t I x ∫ f t d t x ∞ = lim a Exemples : 1. Déterminer la valeur du réel a tel que la fonction f définie sur [0 ;1 ] par f(x) = x +a soit une densité de probabilité sur [0 ; 1] 2. Soit f une fonction constante sur un intervalle [a ;b ].Quelle doit être la valeur de la constante f pour qu’elle soit une densité? 3. Soit λ un réel strictement positif. Démontrer que la fonction f définie sur ℝ+ par f(t) = e – t est un densité de probabilité sur ℝ+ M. Philippe 25/03/13 Page 2 / 5 3. b) Loi de probabilité Définition :Loi de probabilité Soit I un intervalle et f une densité de probabilité sur I. b L’application P qui à tout sous intervalle [ a ; b ] de I associe la quantité P( [a ;b] ) = ∫ f t d t est a appelée loi de probabilité sur I • Puisque [a ;b] est inclus dans I et que f est positive sur I, on a bien p([a ;b]) ∈ [0;1] • La probabilité d’un intervalle réduit à un point est . En effet : P({ x 0 }) = P( [ x 0 ; x 0 ] ) = • la définition s’étend à des intervalles non bornés lorsque la limite de l’intégrale existe Cas particulier : • Si f est constante sur [a ;b] ( égale à d’après un calcul précédent ) on dit que P est la loi uniforme • Si f est de la forme f(t) = e – t sur ℝ+ avec 0 , on dit que P est la loi exponentielle de paramètre λ 3. c) Variables aléatoires continues. Loi uniforme. Loi exponentielle Sont dites continues les variables aléatoires qui prennent des valeurs dans un intervalle I Définition : Loi de probabilité d’une variable aléatoire - Soit P une loi de probabilité sur un intervalle I de densité f. On dit qu’une variable aléatoire X, à valeurs dans I, suit une loi de probabilité P lorsque pour tout sous intervalle [ ; β ] de I, on a : P ≤ X ≤ =∫ f t d t - La fonction F définie par F(x) = P( X ≤ x ) = P( X ∈ ]–∞;x[ ) est appelée la fonction de répartition de la variable aléatoire X Exemples : • Cas de la loi uniforme sur un intervalle [ a ; b ] : P ≤ X ≤ =∫ 1 dt = b−a Ainsi, si X suit une loi uniforme sur un intervalle I, la probabilité d’un sous intervalle J de I est donnée par la formule : M. Philippe 25/03/13 P(J) = longueur de J longueur de I Page 3 / 5 Cas d’une loi exponentielle de paramètre λ > 0 sur ℝ+ • x P0 ≤ X ≤ x=∫ e−t d t = 0 et par complémentarité , P( X > x ) = Exemples : 1) Dans la journée, un métro passe toutes les 6 minutes à la station n°14. Soit X le temps d’attente d’une personne à cette station. On suppose que X suit loi uniforme sur [0;6] Quelle est la probabilité que cette personne attende entre 3 et 5 minutes ? 2) On suppose que la durée de vie X d’une voiture suit une loi exponentielle de paramètre 0,1. a) Calculer la probabilité qu’une voiture dépasse 10 ans de durée de vie b) On sait qu’une voiture a duré déjà 10 ans. Quelle est la probabilité qu’elle dépasse 12ans de durée de vie ? c) Comparer le résultat précédent avec la probabilité que la durée de vie de la voiture dépasse 2 ans On constate que la probabilité que la voiture dure deux ans de plus ne dépend pas de son âge. On dit que X suit une loi de durée de vie sans vieillissement Définition Soit T la variable aléatoire correspondant à la durée de vie d’un individu ou d’un objet. On dit que T suit une loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité que l’individu ( ou l’objet ) soit vivant ( ou fonctionne ) à l’instant t + h sachant qu’il est vivant (ou fonctionne) à l’instant t ne dépend pas de son âge t P(T≥t) ( T ≥ t + h ) = P ( T ≥ h ) Remarque : Une loi de durée de vie sans vieillissement pour les humains n’est pas très pertinente. En effet, un bébé à la naissance peut espérer vivre une dizaine d’année alors qu’on ne peut en dire autant d’un vieillard. Ce modèle semble plus proche de la réalité lorsque h est petit (par exemple 1 minute) Cette loi s’applique plutôt pour des composants électroniques par exemple. M. Philippe 25/03/13 Page 4 / 5 Propriété Une variable aléatoire T suit une loi de durée de vie sans vieillissement si et seulement si elle suit une loi exponentielle 3. d) Espérance d’une variable aléatoire continue Définition Soit X une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans un intervalle I et dont la densité associée est notée f On appelle espérance mathématique de X la quantité : E(X) = ∫ t f t d t ( sous réserve I d’existence si I n’est pas borné) 1. Cas d’une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur I = [ a , b ] 2. Cas d’une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ sur I On pourra penser à dériver la fonction t M. Philippe 25/03/13 te – t Page 5 / 5