1) Racines carrées d`un nombre positif

Collège Notre Dame de Sion – Boulevard Beaumarchais – 38000 Grenoble – Cours de Mathématiques - P.Chevallier
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Classe : 3éme Chapitre : N4 Titre : RACINES CARREES.
1) Racines carrées d’un nombre positif
1.1) Utilisation de la calculatrice
Pour calculer correctement une racine carrée avec une calculatrice, il est impératif de placer correctement les parenthèses.
 Exemple : 9+16 = 5 on tape ( 9 + 16 ) 10+5
10-5 = 2,23 on tape ( ( 10 + 5 )
( 10 – 5 ) )
1.2) Définition d’une racine carrée
 Définition : Soit A un nombre positif. On appelle « racine carrée de A », le nombre positif A tel que : ( A)² = A
 Exemple : 4 est la « racine carrée de 16 » car : 4² = 16
9 est la « racine carrée de 81 » car : 9² = 81
 Autres cas : 0 = 0 car 0² = 0 1 = 1 car 1² = 1
-5 n’existe pas : aucun nombre négatif n’admet une racine.
12² = 144 = 12 : tout nombre au carré est sa propre racine
 Formules :
 Vocabulaire : le symbole .... s’appelle « radical » ou « racine »
2) Formules de calcul des racines carrées d’un nombre positif
 Addition : Il n’existe aucune formule d’addition de 2 racines
 Soustraction : Il n’existe aucune formule de soustraction de 2 racines
 Exemple : 25 + 49 = 74 = 8,60 (juste) ALORS QUE 25 + 49  25+49 (faux)
49 – 25 = 24 = 4,89 (juste) ALORS QUE 49 – 25  49 - 25 (faux)
 Multiplication : Il existe 2 formules pour la multiplication des racines
 Exemple : 40 = 410 = 2²10 = 2²10 = 2 10 = 6,32
 Division : Il existe 2 formules pour la division des racines
 Exemple : 80
5 = 80
5 = 165 5 = 165 5 = 16 = 5
Pour tout nombre positif A, ( A)² = A et A² = A
Pour tout nombre positif A, B A  B = A  B et AB² = BA
Pour tout nombre positif A, B (B non nul) A
B = A
B et 1
A = 1
A

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3) Simplification des calculs de racines
3.1) Simplifier un radical
 Pour simplifier un radical au maximum, on utilise la formule AB² = BA en formant le plus possible
de nombres au carrés sous le radical.
 Exemple : 75 = 325 = 35² = 5 3
3.2) Simplifier une somme de racines
 Pour simplifier une somme au maximum, on utilise la formule AB² = BA en formant le plus possible
de nombres au carrés sous le radical et en les regroupant entre eux.
 Exemple : 75+42-12 = 325+ 316- 43 = 35²+ 34²- 32²
= 5 3 + 4 3 - 2 3 = (5+4-2) 3 = 7 3
3.3) Simplifier une fraction comportant des racines
 Simplifier une fraction comportant des racines, signifie « supprimer » les radicaux du dénominateur de
manière à ce que celui ci devienne entier.
 On utilise la technique de la « quantité conjuguée »
 1er cas : si on a une forme A
B ¨on multiplie par B B
 Exemple : 6
3 = 6 3  3 3 = 6 3 ( 3)² = 6 3
3 = 2 3
 2ème cas : si on a une forme A
B+ C ¨on multiplie par B- C B- C
 Exemple : 2
1+ 3 = 2 1+ 3  1- 3 1- 3 = 2(1- 3) (1+ 3)(1- 3) = 2-2 3 1²-( 3)² = 2-2 3
–2 = -1+ 3
 3ème cas : si on a une forme A
B- C ¨on multiplie par B+ C B+ C
 Exemple : 2
1- 3 = 2 1- 3  1+ 3 1+ 3 = 2(1+ 3) (1- 3)(1+ 3) = 2+2 3 1²-( 3)² = 2+2 3
-2 = -1- 3
4) Développer et réduire une expression avec des racines carrées
 Principe général : on utilise les mêmes formules que pour le développement du calcul littéral
(distributivité, identités remarquables, etc .......)
 Rappel formules : (A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD
(A + B)² = (A + B)(A + B) = A² + 2AB + B²
(A - B)² = (A - B)(A - B) = A² - 2AB + B²
(A + B)  (A - B) = A² - B²
 Exemple 1 : (2+ 3)² = 2² + 223 + ( 3)² = 4 + 4 3 + 3 = 7 + 4 3
 Exemple 2 : (2- 3)² = 2² - 223 + ( 3)² = 4 - 4 3 + 3 = 7 - 4 3
 Exemple 3 : (2- 3)(2+ 3) = 2² - ( 3)² = 4 - 3 = 1