Collège Notre Dame de Sion – Boulevard Beaumarchais – 38000 Grenoble – Cours de Mathématiques - P.Chevallier -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3éme Classe : Chapitre : N4 Titre : RACINES CARREES. 1) Racines carrées d’un nombre positif 1.1) Utilisation de la calculatrice Pour calculer correctement une racine carrée avec une calculatrice, il est impératif de placer correctement les parenthèses. Exemple : 9+16 = 5 on tape ( 9 + 16 ) 10+5 = 2,23 on tape 10-5 ( ( 10 + 5 ) ( 10 – 5 ) ) 1.2) Définition d’une racine carrée Définition : Soit A un nombre positif. On appelle « racine carrée de A », Exemple : 4 est la « racine carrée de 16 » car : 4² = 16 9 est la « racine carrée de 81 » car : 9² = 81 Autres cas : 0 = 0 car 0² = 0 1 = 1 car 1² = 1 le nombre positif A tel que : ( A)² = A -5 n’existe pas : aucun nombre négatif n’admet une racine. 12² = 144 = 12 : tout nombre au carré est sa propre racine Formules : Pour tout nombre positif A, ( A)² = A et A² = A Vocabulaire : le symbole .... s’appelle « radical » ou « racine » 2) Formules de calcul des racines carrées d’un nombre positif Addition : Il n’existe aucune formule d’addition de 2 racines Soustraction : Il n’existe aucune formule de soustraction de 2 racines Exemple : 25 + 49 = 74 = 8,60 (juste) ALORS QUE 25 + 49 25+ 49 49 – 25 = 24 = 4,89 (juste) ALORS QUE 49 – 25 49 - 25 Multiplication : Division (faux) Il existe 2 formules pour la multiplication des racines Pour tout nombre positif A, B Exemple : (faux) 40 = AB= A B et AB² = B A 410 = 2²10 = 2² 10 = 2 10 = 6,32 : Il existe 2 formules pour la division des racines Pour tout nombre positif A, B (B non nul) Exemple : 80 = 5 80 = 5 165 = 5 A = B 16 5 = 16 = 5 5 A B et 1 1 = A A Collège Notre Dame de Sion – Boulevard Beaumarchais – 38000 Grenoble – Cours de Mathématiques - P.Chevallier -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3) Simplification des calculs de racines 3.1) Simplifier un radical Pour simplifier un radical au maximum, on utilise la formule de nombres au carrés sous le radical. Exemple : 75 = AB² = B A en formant le plus possible 325 = 35² = 5 3 3.2) Simplifier une somme de racines Pour simplifier une somme au maximum, on utilise la formule AB² = B A en formant le plus possible de nombres au carrés sous le radical et en les regroupant entre eux. Exemple : 75+ 42- 12 = 325+ 316- 43 = 35²+ 34²- 32² = 5 3 + 4 3 - 2 3 = (5+4-2) 3 = 7 3 3.3) Simplifier une fraction comportant des racines Simplifier une fraction comportant des racines, signifie « supprimer » les radicaux du dénominateur de manière à ce que celui ci devienne entier. On utilise la technique de la « quantité conjuguée » 1er cas : si on a une forme A ¨on multiplie par B B B Exemple : 6 = 6 3 3 2ème cas : si on a une forme Exemple : A ¨on multiplie par B- C B+ C B- C 2 = 2 1- 3 = 2(1- 3) = 2-2 3 = 2-2 3 = -1+ 3 –2 1+ 3 1+ 3 1- 3 (1+ 3)(1- 3) 1²-( 3)² 3ème cas : si on a une forme Exemple : 3 = 6 3 = 6 3 =2 3 3 3 ( 3)² A ¨on multiplie par B+ C B- C B+ C 2 = 2 1+ 3 = 2(1+ 3) = 2+2 3 = 2+2 3 = -1- 3 -2 1- 3 1- 3 1+ 3 (1- 3)(1+ 3) 1²-( 3)² 4) Développer et réduire une expression avec des racines carrées Principe général : Rappel formules : on utilise les mêmes formules que pour le développement du calcul littéral (distributivité, identités remarquables, etc .......) (A+B)(C+D) = AC + AD + BC + BD (A + B)² = (A + B)(A + B) = A² + 2AB + B² (A - B)² = (A - B)(A - B) = A² - 2AB + B² (A + B) (A - B) = A² - B² Exemple 1 : (2+ 3)² = 2² + 22 3 + ( 3)² = 4 + 4 3 + 3 = 7 + 4 3 Exemple 2 : (2- 3)² = 2² - 22 3 + ( 3)² = 4 - 4 3 + 3 = 7 - 4 3 Exemple 3 : (2- 3)(2+ 3) = 2² - ( 3)² = 4 - 3 = 1