ARITHMÉTIQUE P.G. 2010/2011 1 §1. Généralités Trois axiomes

ARITHMÉTIQUE P.G. 2010/2011
1
§1. Généralités
Trois axiomes fondamentaux pour l’arithmétique
(Ils ne se démontrent pas mais doivent se comprendre parfaitement.)
Axiome 1 : toute partie non vide de N admet un plus petit élément. Cela est faux dans Z.
Axiome 2 : toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément.
Axiome 3 : toute suite d’entiers naturels strictement décroissante est finie. Faux dans Z.
Définition : a et b étant deux entiers, a est un multiple de b si et seulement si : il existe un entier
q tel que a = bq.
Si de plus b ≠ 0, on dit que b divise a, ou que b est un diviseur de a, ou que a est
divisible par b et on note : b | a.
Exemples :
B
BB
B Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, n
3
− 8 est multiple de n − 2.
On utilise l'identité remarquable :
()()
333 2 2 2
82(2)22(2)24nn nnn nnn−= − = − + + = − + +
Quel que soit l'entier n, n
2
+ 2n + 4 est un entier donc n
3
− 8 est multiple de n − 2.
C
CC
C Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3.
Trois entiers consécutifs peuvent s'écrire : n, n + 1 et n + 2.
Leur somme est : n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1) donc divisible par 3.
Remarque : A noter que, pour des raisons de symétrie et de simplification, on a souvent
intérêt à prendre n – 1, n et n + 1, dont la somme est : n – 1 + n + n + 1 = 3n.
D
DD
D Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 5
2n
− 7
n
est divisible par 18.
On utilise une identité remarquable.
Pour tout entier naturel n
≥ 2 :
()
22 12 21
5 7 5 7 25 7 (25 7)(25 25 7 25 7 7 )
n
nn n nn n n n n−− −−
−= −= −= − + ×++× +…
212 21
5718(25257 257 7)
nn n n n n−− −−
−=× + ×++× +… donc divisible par 18.
Pour n = 1 :
21 1
5 7 25718
×−=−= donc divisible par 18.
Enfin pour
n = 0 : 20 0 57110
×−=−= donc divisible par 18.
Théorème : Pour tout entier relatif a , 1 divise a et −1 divise a .
Démonstration : a = 1× a et a = −1×(− a ).
Théorème : Pour tout entier relatif a non nul, a divise a et − a divise a .
Démonstration : a = a ×1 et a = − a ×(−1).
entiers
entiers
entier
entier

ARITHMÉTIQUE P.G. 2010/2011
2
Théorème : Si a divise b (avec b ≠ 0), alors |a | ≤ |b |.
(En valeur absolue, le diviseur est plus petit que le dividende.)
Démonstration : a divise b , donc il existe un entier q tel que b = aq , ce qui implique que
|b | = |a|×|q |. Et comme b ≠ 0, alors |q| ≠ 0. q étant entier, |q| ≥ 1. D’où la propriété
en multipliant par
|a| qui est positif : |a|×|q | ≥ |a|, c'est-à-dire |b | ≥ |a |.
Théorème : a et b étant deux entier relatifs non nuls, si a divise b et b divise a , alors |a | = |b |
(ce qui signifie que a et b sont égaux ou opposés).
Démonstration :
D’après le théorème précédent :
Si
a divise b , alors |a | ≤ |b |
Si
b divise a , alors |b | ≤ |a |
Théorème : a et b étant deux entier naturels non nuls, si a divise b et b divise a , alors a = b .
Démonstration :
D’après le théorème précédents,
a et b sont égaux ou opposés mais comme ils sont
tous les deux strictement positifs, ils ne peuvent plus qu’être égaux.
Théorème de transitivité : Si a divise b et b divise c , alors a divise c .
Démonstration :
Si
a divise b , alors il existe un entier q tel que b = a × q .
Si
b divise c , alors il existe un entier q ' tel que c = b × q '.
En remplaçant :
c = ( a × q )× q ' = a ×( q × q ') donc a divise c .
Théorème : Si a divise à la fois b et c , alors a divise b + c , b − c et plus généralement kb + k ' c
où k et k ' sont des entiers (toute combinaison linéaire à coefficients entiers de b et c ).
Démonstration :
Si
a divise b , alors il existe un entier q tel que b = a × q .
Si
a divise c , alors il existe un entier q ' tel que c = a × q '.
En remplaçant :
kb + k ' c = kaq + k ' aq ' = a ×( kq + k ' q ') donc a divise kb + k ' c .
d’où
|b | = |a |
entier puisque produit de deux entiers
entier

ARITHMÉTIQUE P.G. 2010/2011
3
Exemples :
E
EE
E Montrer que, si un entier naturel divise à la fois les entiers 2 n + 3 et 3 n + 4, cet entier ne
peut qu’être égal à 1.
Si un entier
p divise à la fois les entiers 2 n + 3 et 3 n + 4, alors p divise toute combinaison
linéaire, à coefficients entiers, de ces deux nombres.
p divise donc, entre autres : 3×(2 n + 3) – 2×(3 n + 4) = 1.
Comme 1 n'a qu'un diviseur positif,
p ne peut qu'être égal à 1.
F
FF
F n désigne un entier relatif. Démontrer que si un entier relatif a divise les entiers
n
2 + 3
n + 13 et n + 2, alors a divise 11.
Si un entier
a divise à la fois n
2 + 3
n + 13 et n + 2, il divise, par théorème, toute
combinaison linéaire à coefficients entiers de ces deux nombres.
a divise donc entre
autres : 1×(
n
2 + 3
n + 13) − ( n + 1)×( n + 2) = n
2 + 3
n + 13 − n
2 − 2
n − n − 2 = 11.
G
GG
G Déterminer les entiers relatifs n tels que n − 1 divise n + 17, en remarquant que :
n + 17 = ( n − 1) + 18.
Si
n − 1 divise n + 17, comme il divise n − 1, il divise leur différence : n + 17 − ( n − 1) = 18.
Réciproquement, si
n − 1 divise 18, comme il divise n − 1, il divise leur somme :
18 + (
n − 1) = n + 17.
Conclusion :
n − 1 divise n + 17 si et seulement si n − 1 divise 18.
18 a pour diviseurs : −18 ; −9 ; −6 ; −3 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18.
Par suite :
n − 1 ∈ {−18 ; −9 ; −6 ; −3 ; −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18}, ce qui donne
finalement :
n ∈ {−17 ; −8 ; −5 ; −2 ; −1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 ; 10 ; 19}.
Théorème : Si a divise b , alors ac divise bc pour tout entier c non nul.
Démonstration :
Si
a divise b , alors il existe un entier q tel que b = a × q . Par suite, bc = ac × q , donc
ac divise bc .

ARITHMÉTIQUE P.G. 2010/2011
4
§2. Types de raisonnement
1. Raisonnement par disjonction des cas
Exemple :
1
11
1^
^^
^ Montrer que, quel que soit l’entier naturel n , le nombre n ( n + 3) est divisible par 2.
On envisage deux cas :
• ou bien
n est pair, il s’écrit alors n = 2 k ( k ∈N). On a alors n ( n + 3) = 2 k (2 k + 3)
donc divisible par 2.
• ou bien
n est impair, il s’écrit alors n = 2 k + 1 ( k ∈N).
On a alors
n ( n + 3) = (2 k + 1)(2 k + 1 + 3) = (2 k + 1)(2 k + 4) = 2(2 k + 1)( k + 2)
donc divisible par 2.
On constate que dans tous les cas, n ( n + 3) est divisible par 2.
2. Etude exhaustive
Exemple :
1
11
1&
&&
& Déterminer tous les entiers naturels x et y tels que ( x − 1)2 y = 18.
On sait que 18 = 1×18 = 2×9 = 3×6 et que parmi ses diviseurs figurent deux carrés
parfaits : 1 et 9.
(
x − 1)2 y = 18 ⇔
22
(1)1 (1)9
ou
18 2
xx
yy
−= −=
==
(x − 1)
2
y = 18 ⇔
11 11 13 13
ou ou ou
18 18 2 2
xxxx
yyyy
−=− −= −=− −=
====
(x − 1)2y = 18 ⇔ 02 24
ou ou ou
18 18 2 2
xxxx
yyyy
===−=
====
x et y devant être positifs, les couples solutions sont donc : (0 ; 18), (2 ; 18) et (4 ; 2).
3. Raisonnement par l'absurde
Exemple :
1
11
1*
**
* n désignant un entier relatif quelconque, montrer que 7 ne divise pas 6 + 14n.
Supposons que 7 divise 6 + 14n, alors 7 diviserait (6 + 14n) − 7×2n comme différence
de deux nombres divisibles par 7. On aboutirait donc à 7 divise 6, ce qui est faux.
La supposition était donc fausse. 7 ne divise pas 6 + 14n.
4. Raisonnement par contraposition
Ce raisonnement est basé sur le principe suivant :
Les affirmations : si P
PP
P alors Q
QQ
Q et si non Q
QQ
Q alors non P
PP
P sont équivalentes, c'est-à-
dire que démontrer que l'une est vraie démontre que l'autre l'est également.
Exemple :
1
11
1(
((
( Montrer que, si a2 + b2 est impair, alors a et b ne sont pas de même parité.
Si a et b sont de même parité, alors a2 et b2 le sont aussi car un nombre et son carré sont
de même parité. La somme a2 + b2 serait donc paire.
On vient de démontrer que :
Si a et b sont de même parité, alors a2 + b2 n'est pas impaire.
Par contraposition :
Si a2 + b2 est impair, alors a et b ne sont pas de même parité
entier
entier

ARITHMÉTIQUE P.G. 2010/2011
5
5. Raisonnement par récurrence
Soit P une propriété portant sur un entier naturel n et définie sur N ou à partir d’un certain
entier.
Si P est vraie pour l’entier n0 (on dit qu’elle est initialisée au rang n0, ce qui se note :
P(n0) est vraie)
et si P est héréditaire à partir du rang n0, ce qui se note : ∀n≥ n0 P(n) ⇒ P(n+1)
alors P est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à n0..
Exemples :
2
22
2)
))
) Montrer que, quel que soit l’entier naturel n, 7 divise 32n+1 + 2n+2.
Initialisation : La propriété 7 divise 3
2n+1 + 2n+2 est vraie pour n = 0 car 32×0+1 + 20+2 = 7,
7 divise bien 32×0+1 + 20+2.
Hérédité : Soit n un entier naturel quelconque.
Commençons par remarquer que :
3
2(n+1)+1 + 2(n+1)+2 = 32n+1+2 + 2n+2+1 = 32n+1×9 + 2n+2×2 = 32n+1×(7+2) + 2n+2×2 donc
32(n+1)+1 + 2(n+1)+2 = 32n+1+2 + 2n+2+1 = 32n+1×9 + 2n+2×2 = 32n+1×7+(32n+1 + 2n+2)×2
Si 7 divise 32n+1 + 2n+2, alors 7 divise 32n+1×7+2×(32n+1 + 2n+2)
comme combinaison linéaire à coefficients entiers de nombres divisibles par 7.
donc 7 divise 32(n+1)+1 + 2(n+1)+2.
Conclusion : La propriété 7 divise 3
2n+1 + 2n+2 est vraie pour n = 0 et héréditaire à partir
de n = 0. Le principe de récurrence permet d’affirmer qu’elle est vraie pour tout entier n
à partir de 0.
2
22
2!
!!
! Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n ≥ 1, le nombre 22n + 6n − 1 est
divisible par 9.
Initialisation : La propriété 9 divise 2
2n + 6n − 1 est vraie pour n = 1 car 22×1 + 6×1 − 1 = 9,
9 divise bien 22×1 + 6×1 − 1.
Hérédité : Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 quelconque.
Commençons par remarquer que :
2
2(n+1) + 6(n+1) − 1 = 22n+2 + 6n + 6 − 1 = 22n×4 + 6n + 6 − 1
22(n+1) + 6(n+1) − 1 = 22n×4 + 6n×4 − 6n×3 + 6 − 1×4 + 1×3
22(n+1) + 6(n+1) − 1 = (22n + 6n – 1)×4 − 18n + 9 = (22n + 6n – 1)×4 + 9×(1 − 2n)
Si 9 divise 22n + 6n − 1, alors 9 divise (22n + 6n – 1)×4 + 9×(1 − 2n)
comme combinaison linéaire à coefficients entiers de nombres divisibles par 9.
donc 9 divise 22(n+1) + 6(n+1) − 1.
Conclusion : La propriété 9 divise 2
2n + 6n − 1 est vraie pour n = 1 et héréditaire à partir de
n = 1. Le principe de récurrence permet d’affirmer qu’elle est vraie pour tout entier n à partir
de 1.