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X 2011-MP
´epreuve A Dur´ee : 4 heures
Valeurs singuli`eres d’une matrice et in´egalit´es de trace
Notations et conventions
Dans ce probl`eme l’espace vectoriel Cnest muni du produit scalaire hermitien
usuel not´e ., .; on rappelle qu’il est lin´eaire `a droite, semi-lin´eaire `a gauche et
que la base canonique (e1,...,e
n)de Cnest orthonormale. On note Mn(C)
l’espace vectoriel sur Cdes matrices `anlignes et ncolonnes `a coefÀcients
complexes qu’on identiÀe`a l’espace vectoriel des endomorphismes de Cnet
Inla matrice identit´edeMn(C). Le coefÀcient de la i`eme ligne et j`eme colonne
d’une matrice Aest not´e Ai,j . On note A∗, appel´ee adjointe de la matrice Ade
Mn(C), la matrice d´eÀnie pour tous 1i, j npar A∗
i,j =Aj,i.
On d´eÀnit les sous-ensembles de Mn(C)suivants :
Hn={A∈M
n(C)/A
∗=A}
H+
n={A∈H
n/∀x∈Cn,x, Ax0}
Un={A∈M
n(C)/∀x, y ∈Cn,Ax, Ay=x, y}
Nn={A∈M
n(C)/AA
∗=A∗A}
Dnd´esigne l’ensemble des matrices diagonales dans Mn(C).
EnÀn, pour tout sous-espace vectoriel Fde Cn,F⊥d´esigne le sous-espace
orthogonal pour le produit hermitien usuel.
Le probl`eme a pour but l’´etude de quelques in´egalit´es de traces sur les matrices
carr´ees `a coefÀcients complexes via l’introduction de la d´ecomposition en
valeurs singuli`eres et le calcul de la distance minimale pour la norme de
Frobenius entre deux matrices de Hnd´eÀnies `a´equivalence pr`es par des
changements de bases dans Un.
Premi`ere partie : ´etude de Nn
1◦)Soit Aune matrice de Mn(C). Montrer que pour tout couple (x, y)de
vecteurs de Cn×Cn:A∗x, y=x, Ay.
2◦)a)Montrer que A∈U
nsi et seulement si A∗A=AA∗=In.
b) Montrer que A∈U
nsi et seulement si les colonnes de Aforment une base
orthonorm´ee de Cn.
3◦)a)Montrer que si A∈N
n,A((Ker A)⊥)⊂(Ker A)⊥.End´eduire que si
λest une valeur propre de Aet si Eλest le sous-espace propre associ´e, alors
A(E⊥
λ)⊂E⊥ λ.
b) En d´eduire que Nn={UDU∗,U ∈U
n,D ∈D n}.
4◦)Soit Aune matrice de Mn(C). On note λ1,λ
2,...,λ nles racines du
polynˆome caract´eristique (non n´ecessairement distinctes) de A.

8 X-11-MP A
Montrer que si A∈N
n, alors
n
i=1
|λi|2=
n
i,j=1
|Ai,j |2. (On pourra calculer la
trace de AA∗.)
5◦)a)Soit Aune matrice de Mn(C). Montrer que si A∈N
n, alors Aet A∗
ont le mˆeme noyau.
b) Montrer que les deux propositions suivantes sont ´equivalentes :
(i)A∈N
n.
(ii)Tout vecteur propre de Aest vecteur propre de son adjointe A∗.
Pour (ii)=⇒(i), on pourra proc´eder par r´ecurrence sur la dimension net pour
un vecteur propre xde Aconsid´erer l’orthogonal de l’espace vectoriel engendr´e
par x.
6◦)a)Prouver que si la matrice Aappartient `aNn, son adjointe A∗peut s’´ecrire
comme un polynˆome en A`a coefÀcients complexes. (On pourra utiliser les
polynˆomes interpolateurs de Lagrange).
b) Prouver que si Aet Bsont dans Nnet commutent, alors AB ∈N
n.
7◦)Prouver que si Aest une matrice de Mn(C)les deux propositions suivantes
sont ´equivalentes :
(i)A∈N
n.
(ii)Il existe une matrice U∈U
ncommutant avec Atelle que A∗=AU.
On pourra construire U`a partir des valeurs propres de Aet raisonner dans une
base orthonormale bien choisie.
Deuxi`eme partie : valeurs singuli`eres d’une matrice
8◦)Montrer que A∈H
n(resp. H+
n) si et seulement si Aest diagonalisable
dans une base orthonormale et ses valeurs propres sont r´eelles (resp. r´eelles
positives).
9◦)Montrer que si A∈H
+
nil existe une unique matrice S∈H
+
ntelle que
S2=A. (Pour l’unicit´e, on pourra se ramener au cas o`uAest un multiple de
l’identit´e en consid´erant les sous-espaces propres de A.)
Si Sest une matrice de Mn(C),onditqueA=US est une d´
ecomposition
polaire de Asi S∈H
+
net U∈U
n. Dans la suite du probl`
eme, on admettra
l’existence d’une d´ ecomposition polaire pour toute matrice Ade Mn(C).
Si Aest une matrice de Mn(C)on dit que A=UDW est une d´
ecomposition
en valeurs singuli` eres de Asi U, W ∈U
net D∈D nest `
a coefÀcients r´ eels
positifs ou nuls.
10◦)Prouver que toute matrice Ade Mn(C)admet une d´ecomposition en
valeurs singuli`eres. (On pourra commencer par ´ecrire une d´ecomposition polaire
de A.)
11◦)Soit A∈M
n(C). Montrer qu’il existe une d´ecomposition en valeurs
singuli`eres de Apour laquelle les coefÀcients diagonaux αi=Di,i de D
v´eriÀent α1···αnet que ces coefÀcients sont alors d´etermin´es de fa¸con

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unique. On les appellera les valeurs singuli`eres de A.
Troisi`eme partie : in´egalit´es de traces
12◦)Soit P∈M
n(C)une matrice v´eriÀant
(Pk)P2=P=P∗,rang P=k
a) Montrer que les coefÀcients de Pv´eriÀent :
(i)0Pi,i 1pour tout entier ientre 1et n,
(ii)
n
i=1
Pi,i =k.
b) Soit λ1λ2··· λndes r´eels et Dla matrice diagonale telle que
Di,i =λipour tout entier ientre 1et n. Montrer que tr(PD)
k
i=1
λi.
Trouver une matrice Pv´eriÀant les conditions (Pk)telle que tr(PD)=
k
i=1
λi.
c) Montrer que si P1,P
2sont deux matrices v´eriÀant les conditions (Pk),il
existe U∈U
ntelle que P2=UP1U∗.
En d´eduire que
k
i=1
λi=max
U∈Un
tr(UPU∗D)o`uPest une matrice v´eriÀant (Pk).
On dit qu’une matrice Ade Mn(C)est doublement stochastique si Aest `
a
coefÀcients r´ eels positifs et v´ eriÀe
n
i=1
Ai,k =1et
n
j=1
Ak,j =1, pour tout
entier kcompris entre 1et n. On note DSnl’ensemble des matrices doublement
stochastiques dans Mn(C).
13◦)Montrer que si U∈U
n, la matrice dont les coefÀcients sont les |Ui,j |2est
doublement stochastique.
14◦)Soit Aune matrice doublement stochastique de Mn(C)et soient
α1α2···αn,β
1β2···βn
des r´eels. On suppose que An’est pas la matrice identit´eInet on note kle plus
petit entier tel que Ak,k =1.
a) Montrer qu’il existe deux entiers met v´eriÀant k<mn, k <  n
et tels que Am,k =0,Ak, =0,Am, =1
b) Construire une matrice doublement stochastique Ade Mn(C)v´eriÀant :
(i)A
i,j =Ai,j si (i, j)/∈{(k, k),(m, k),(k, ),(m, )},
(ii)A
m,k ou A k, est nul,
(iii)
n
i,j=1
A
i,j αiβj
n
i,j=1
Ai,j αiβj
En d´eduire que max
A∈DSn
n
i,j=1
Ai,j αiβj=
n
i=1
αiβi.
15◦)Soient Aet Bdeux matrices dans Mn(C).
a) Soit Dla matrice diagonale dont les coefÀcients diagonaux αi=Di,i sont

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les valeurs singuli`eres de Aet soit Tla matrice diagonale dont les coefÀcients
diagonaux βi=Ti,i sont les valeurs singuli`eres de Btelles que
α1α2···αn,β
1β2···βn
Montrer qu’il existe Uet Vdans Untelles que tr(AB)=tr(UDVT).
b) Montrer que tr(AB)=
n
i,j=1
Ui,j Vj,iαjβiet en d´eduire que
|tr(AB)|
n
i=1
αiβi
c) Soient A, B dans H+
n. Montrer que |tr(AB)|tr(A)tr(B).
16◦)Soient Aet Bdans Hnet soient
α1α2···αn,β
1β2···βn
leurs valeurs propres.
Montrer que : min
U∈Un
A−U∗BU=n
i=1
(αi−βi)2,o`u la norme sur Mn(C)
est donn´ee par A2=tr(A∗A). On pourra commencer par d´eterminer
max
U∈Un
tr(AU∗BU)
Solution
On a A∗=tAet les rappels faits au d´ebut du texte de cette ´epreuve (semi-lin´earit´e
`a gauche ...) signiÀent que si x=(x1,...,x
n)et y=(y1,...,y n)sont deux
vecteurs de Cn, alors on a : x, y=
n
k=1
xkyk.
Si Xet Ysont les matrices colonnes canoniquement associ´ees `a ces vecteurs, on
a donc ´egalement : x, y=tXY .L’´enonc´epr´ecise que l’on confondra matrice
carr´ee et endomorphisme, donc dans la foul´ee on pourra confondre vecteur et
matrice colonne canoniquement associ´ee. Ainsi :
x, y=txy
Premi`ere partie
Question 1.
Comme ttM=M,M=M,ettM=tM,ona:A∗∗ =tA∗=t(tA)=Aet
puisque MN =M N, pour tous vecteurs xet y:
A∗x, y=t(A∗x)y=txA∗∗y=txAY =x, Ay
Tant que l’on est dans les banalit´es op´eratoires, notons que les propri´et´es de la
conjugaison et de la transposition donnent, pour toutes matrices et tout scalaire :
(A+λB)∗=A∗+λB∗:(AB)∗=B∗A∗
Question 2.
a) Si A∈U
n,ona:∀x, y ∈Cn,x, y=Ax, Ay=A∗(Ax),y, donc :
∀y∈Cn,x−A∗Ax, y=0

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Ainsi (I−A∗A)xest orthogonal `a Cnet `a ce titre est le vecteur nul. De plus,
ceci ´etant vrai pour tout x,onabienI=A∗A(et on sait qu’il est alors inutile de
calculer AA∗)
R´eciproquement si A∗A=I, alors on a :
∀x, y ∈Cn,Ax, Ay=A∗Ax, y=x, yet A∈U
n.
Bref :
A∈U
n⇐⇒ A∗A=I(= AA∗)
b) Soient C1,...,C
nles colonnes de A, alors les lignes de A∗sont tC1,...,tCn
et un calcul par blocs donne :
(A∗A)i,j =tCiCj
et puisque A∗A=I, cele s’´ecrit, en utilisant le symbole de Kronecker :
Ci,C
j=δi,j
Ce qui prouve que (C1,...,C
n)est une base orthonorm´ee de Cn, muni de son
produit scalaire hermitien canonique.
Notons que tout ceci permet d’afÀrmer que Unest un sous-groupe de GLn(C).
Question 3.
a) Soit A∈N
net x∈A((Ker A)⊥). Il existe donc y∈(Ker A)⊥tel que
x=Ay et il s’agit de prouver que xest dans (Ker A)⊥, donc que pour tout
z∈Ker A,onax, z=0.
Or, z∈Ker A=⇒Az =0 =⇒A∗Az =0 =⇒AA∗z=0(car Acommute
avec A∗)
Donc A∗z∈Ker Aet y∈(Ker A)⊥, ce qui s’´ecrit y, A∗z=0, ou encore
Ay, z=0,i.e. x, z=0; ce qu’il fallait.
A∈N
n=⇒A((Ker A)⊥)⊂(Ker A)⊥
Soit alors λ∈Spec Aet Eλ=Ker(A−λI)le sous-espace propre de Aassoci´e.
Comme A∈U
n,Acommute avec son adjoint A∗et comme Icommute avec tout
le monde, A−λI commute avec (A−λI)∗=A∗−λI.AinsiA−λI ∈U
net
par le r´esultat pr´ec´edent :
(A−λI)(E⊥
λ)⊂E⊥ λ
Donc x∈E⊥
λ=⇒(A−λI)x=Ax −λx ∈E⊥ λet comme λx ∈E⊥ λ, il vient
Ax ∈E⊥
λ, donc :
A(E⊥
λ)⊂E⊥ λ
b) Il s’agit de montrer que Aappartient `aNnsi et seulement si Aest semblable
`a une matrice diagonale, avec une matrice de changement de base appartenant `a
Un, donc qui est une matrice de changement de base orthonorm´ee ...Cela ne vous
rappelle rien ?
Si Aest de la forme A=UDU∗,avecU∈U
net D∈D n, alors :
AA∗=(UDU∗)(UDU∗)∗=UDU∗U∗∗D∗U∗=UDU∗UD∗U∗=UDD∗U∗
A∗A=(UDU∗)∗(UDU∗)=UD∗U∗UDU∗=UD∗DU∗