PGCD et FRACTIONS I – DIVISEURS Un nombre a plusieurs diviseurs, c’est à dire plusieurs nombres avec lesquels la division donne un nombre entier. Exemple : 5 est un diviseur de 45 car 45 ÷ 5 = 9 qui est entier Remarques : - On dit aussi que 45 est un multiplie de 5. - 9 est aussi un diviseur de 45 - Tout nombre a au moins 2 diviseurs : 1 et lui-même II – PGCD 2 nombres peuvent avoir des diviseurs en commun. Le PGCD est le plus grand d’entre eux ( Plus Grand Commun Diviseur ) Exemple : Les diviseurs de 15 sont : 1-3-5-15 Les diviseurs de 18 sont : 1-2-3-6-9 Leurs diviseurs communs sont donc 1 et 3. Le PGCD est donc : 3 Algorithme d’Euclide : Il s’agit d’une méthode qui permet de trouver le PGCD de 2 nombres en effectuant des divisions euclidiennes ( c’est à dire sans virgules ) successives. Exemple : Recherche du PGCD de 738 et 287 : 738 - 574 164 287 2 287 - 164 123 164 1 164 - 123 41 123 1 123 - 123 0 41 3 Chaque division suivante est composée du diviseur et du reste. Le diviseur de la dernière division ( celle dont le reste est 0 ) est le PGCD. Donc le PGCD de 738 et 287 est : 41 Remarque : * On dit que deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1. * Il existe une autre méthode par soustractions successives III – UTILISATIONS DU PGCD 1°) Simplification de fractions Le fait de trouver le PGCD de deux nombres permet de simplifier une fraction ( composée de ces 2 nombres ) en une seule simplification. La fraction ainsi simplifiée est dite irréductible ( on ne peut pas plus la simplifier ) Exemple : 738 41 x 18 18 = = 287 41 x 7 7 Remarque : Si une fraction est formée de deux nombres premiers entre eux, c’est qu’elle est irréductible 2°) Autres exemples Le PGCD est également utilisé dans des énoncés comme celui-ci : ENONCE : Un philatéliste possède 429 timbres français et 273 timbres étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques, c’est à dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres français et étrangers. 1°) Calculer le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser. 2°) Quel est le nombre minimum de lots qu’il pourra réaliser ? ( autre que 1 ) 3°) Quelle sera la composition des lots dans chaque cas ? REPONSE : 1°) Recherche du PGCD de 429 et 273 : - 429 273 156 273 1 273 - 156 117 156 1 156 - 117 39 117 1 117 - 117 0 39 3 Le PGCD est 39, donc il pourra réaliser 39 lots au maximum 2°) En cherchant les diviseurs de 39, le plus petit, autre que 1 est 3 donc il peut faire au minimum 3 lots. 3°) Avec 39 lots : 429 ÷ 39 = 11 et 273 ÷ 39 = 7 donc chaque lot aura 11 timbres français et 7 timbres étrangers. Avec 3 lots : 429 ÷ 3 = 143 et 273 ÷ 3 = 91 donc chaque lot aura 143 timbres français et 91 timbres étrangers.