Lois de probabilités continues I. Lois à densité sur

Lois de probabilités continues
I. Lois à densité sur un intervalle
1. densité de probabilité
On appelle densité de probabilité sur l’intervalle [a ; b] toute fonction continue et positive telle que
Application : pour montrer qu’une fonction  est une densité de probabilité il faut montrer que  vérifie les
trois propriétés ci-dessus à savoir :
1.  est continue
2.  es p est positive
3. 
On appelle densité de probabilité sur l’intervalle ] toute fonction continue et positive telle que
Application : pour montrer qu’une fonction est une densité de probabilité il faut montrer que f vérifie les
trois propriétés ci-dessus à savoir :
1. f est continue
2. f es p est positive
3. 
2. Variable aléatoire continue
Une variable aléatoire continue  est une fonction qui à chaque issue de l’univers Ω associe un nombre réel
d’un intervalle I sur .
3. Loi de probabilité à densité
Dire que la variable aléatoire continue  suit une loi de probabilité P de densité f sur  signifie pour toute
intervalle J inclus dans : 
Si 
Si , alors
Si  , alors

Lois de probabilités continues
II. La loi uniforme sur 
1. définition
Dire qu’une variable  suit la loi uniforme sur l’intervalle   signifie que la densité de probabilité
de est une fonction constante
Application 1 : Si
 ,
alors
Application 2 : Choisir un nombre au hasard sur un intervalle  , c’est choisir ce nombre selon la
loi uniforme sur  .
Application 3 : cas particulier : Loi uniforme sur 
Pour la loi uniforme sur , la probabilité de choisir un nombre au hasard entre c et d est égale à la
longueur de l’intervalle .
2. Fonction de répartition
Si suit la loi uniforme sur , alors la fonction de répartition de  est
Application1 : on exprime p(X) avec la fonction de répartition F :
Si  , alors
3. Espérance : l’espérance d’une variable aléatoire  de densité de probabilité f est
4. Espérance la loi uniforme sur 

Lois de probabilités continues
III. loi exponentielle
1. définition
est un réel strictement positif. On dit que la variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre  si la
varaible X admet pour densité la fonction  définie par
sur
On définit aussi  comme :
Propriété
car
Propriété
car
2. Fonction de répartition
Propriété
3. Propriété : loi de durée de vie sans vieillissement
4. Espérance mathématique
L’espérance d’une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle est :

RESUME : Lois de probabilités continues
I. Lois à densité sur un intervalle
La Densité de probabilité est toute fonction continue et positive telle que
sur [a ; b] ou
sur ]
Une variable aléatoire continue  est une fonction qui à chaque issue de l’univers Ω associe un nombre réel
d’un intervalle I sur .
la variable aléatoire continue  suit une loi de probabilité  de densité f sur  si  inclus dans :
Si  , alors
Espérance : l’espérance d’une variable aléatoire  de densité de probabilité f est
II. La loi uniforme sur 
SI  suit la loi uniforme sur l’intervalle   , alors la densité de probabilité de est une fonction constante
Si
 ,
alors
Choisir un nombre au hasard sur un intervalle , c’est choisir ce nombre selon la loi uniforme sur 
Loi uniforme sur 
Pour la loi uniforme sur , la probabilité de choisir un nombre au hasard entre c et d est égale à la longueur de .
Si suit la loi uniforme sur , alors la fonction de répartition de  est
Si  , alors
Espérance de la loi uniforme sur 
III. loi exponentielle
Densité de probabilité :
sur 
ou aussi
Fonction de répartition
loi de durée de vie sans vieillissement
Espérance mathématique