Lois de probabilités continues I. Lois à densité sur

Lois de probabilités continues
I. Lois à densité sur un intervalle
1. densité de probabilité
On appelle densité de probabilité sur l’intervalle [a ; b] toute fonction continue et positive telle que
∫ ( )
Application : pour montrer qu’une fonction
trois propriétés ci-dessus à savoir :
1.
est continue
2.
es p est positive
est une densité de probabilité il faut montrer que
3. ∫ ( )
On appelle densité de probabilité sur l’intervalle
vérifie les
] toute fonction continue et positive telle que
∫ ( )
Application : pour montrer qu’une fonction est une densité de probabilité il faut montrer que f vérifie les
trois propriétés ci-dessus à savoir :
1. f est continue
2. f es p est positive
∫
3.
( )
2. Variable aléatoire continue
Une variable aléatoire continue
d’un intervalle I sur ℝ.
est une fonction qui à chaque issue de l’univers Ω associe un nombre réel
3. Loi de probabilité à densité
Dire que la variable aléatoire continue
intervalle J inclus dans :
(
∫ ( )
)
(
)
(
Si
(
)
], alors
Si
Si
suit une loi de probabilité P de densité f sur signifie pour toute
]
]
, alors
)
(
)
(
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
∫
)
( )
∫
( )
Lois de probabilités continues
II. La loi uniforme sur
]
1. définition
] signifie que la densité de probabilité
Dire qu’une variable suit la loi uniforme sur l’intervalle
de est une fonction constante
( )
]
{
]
Application 1 : Si
,
(
alors
)
∫
( )
∫
Application 2 : Choisir un nombre au hasard sur un intervalle
loi uniforme sur
].
Application 3 : cas particulier : Loi uniforme sur
]
(
2. Fonction de répartition
] , c’est choisir ce nombre selon la
)
] , alors la fonction de répartition de est
suit la loi uniforme sur
( )
(
)
{
Application1 : on exprime p(X) avec la fonction de répartition F :
Si
, alors
]
], la probabilité de choisir un nombre au hasard entre c et d est égale à la
].
Pour la loi uniforme sur
longueur de l’intervalle
Si
[
(
)
( )
( )
3. Espérance : l’espérance d’une variable aléatoire de densité de probabilité f est
( )
4. Espérance la loi uniforme sur
( )
∫
( )
]
Lois de probabilités continues
III. loi exponentielle
1. définition
est un réel strictement positif. On dit que la variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre
varaible X admet pour densité la fonction définie par
( )
sur
On définit aussi
{
comme :
( )
( )
(
Propriété
car
Propriété
car
(
)
)
∫
(
(
( )
∫
[
]
(
)
(
)
)
2. Fonction de répartition
( )
Propriété
(
(
)
)
{
( )
( )
3. Propriété : loi de durée de vie sans vieillissement
(
)
(
4. Espérance mathématique
L’espérance d’une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle est :
( )
)
)
si la
RESUME : Lois de probabilités continues
I. Lois à densité sur un intervalle
La Densité de probabilité est toute fonction
∫ ( )
sur [a ; b]
continue et positive telle que
∫ ( )
ou
sur
]
Une variable aléatoire continue est une fonction qui à chaque issue de l’univers Ω associe un nombre réel
d’un intervalle I sur ℝ.
la variable aléatoire continue suit une loi de probabilité de densité f sur si inclus dans :
(
(
]
Si
∫( )
)
)
(
]
)
(
(
, alors
)
Espérance : l’espérance d’une variable aléatoire
( )
)
(
]
est une fonction constante
]
{
]
,
(
alors
)
( )
∫
∫
Pour la loi uniforme sur
]
], la probabilité de choisir un nombre au hasard entre c et d est égale à la longueur de
] , alors la fonction de répartition de
suit la loi uniforme sur
( )
Si
[
], c’est choisir ce nombre selon la loi uniforme sur
Choisir un nombre au hasard sur un intervalle
(
)
Loi uniforme sur
]
Si
( )
de densité de probabilité f est
] , alors la densité de probabilité de
suit la loi uniforme sur l’intervalle
Si
∫
( )
∫
( )
( )
)
II. La loi uniforme sur
SI
∫
(
(
, alors
)
{
)
( )
( )
]
Espérance de la loi uniforme sur
est
( )
III. loi exponentielle
Densité de probabilité :
ou aussi
( )
( )
{
( )
sur
(
)
Fonction de répartition
(
( )
(
loi de durée de vie sans vieillissement
Espérance mathématique
(
)
)
(
( )
(
)
{
( )
( )
)
(
)
)
].
]