Devoir spé math pour le 5 janvier Exercice 1 : Le produit de deux

Devoir spé math pour le 5 janvier
Exercice 1 : Le produit de deux entiers naturels a et b ( avec a < b) est 11340 et leur pgcd est noté d .
1) a) Pourquoi d² divise-t-il 11340 ?
b) Pourquoi
32
2d
avec
10 
et
20 
?
2) On sait de plus que a et b ont six diviseurs communs et que a est un multiple de 5.
a) Démontrer que d = 18
b) Déduisez-en a et b .
Exercice 2 : soit p un entier naturel non nul,
on note E la proposition « Si p et 8p-1 sont premiers alors 8p+1 est non premier ».
1) Vérifier que E est vraie pour p =3
2) En raisonnant modulo 3, démontrer que E est toujours vraie .
Exercice 3 : Un entier n a cinq diviseurs et n – 16 est le produit de deux entiers premiers .
1) Prouvez que
4
pn 
avec p premier.
2) Ecrivez n – 16 sous la forme d’un produit de trois facteurs dépendant de p.
3) Déduisez-en la valeur de n.
Exercice 4 :
1) Démontrer l’égalité de Sophie Germain :
2mn)2mn(2mn)2mn(4mn222244 
2) Soit n un entier naturel , pour quelles valeurs de n ,
4n4
est-il premier ?
3) Démontrer que
4545 4554 
n’est pas un nombre premier .
Exercice 5 : Soient p et q deux entiers premiers supérieurs ou égaux à 11
On note
)qp(1)(q 1)p(),( 6622 qpf
1) Remarquer que
)()( qp 42242266 qqppqp 
2) Démontrer que
1)p( 2
et
1)q( 2
sont congrus à 0 modulo 3 en déduire que
),( qpf
)()(3 42243 qqppdccd 
puis que
),( qpf
est divisible par
4
3
;
3) Démontrer que
1)p( 2
et
1)q( 2
sont de la forme 8a et 8b où a et b sont des entiers.
En déduire que
),( qpf
)()(8 42243 qqppbaab 
puis que
),( qpf
est divisible
par
10
2
.
4) Démontrer en utilisant un tableau de congruences que
qp 66 
est divisible par 7 .
5) Démontrer que
),( qpf
est divisible par 5.