DM n°1

DM n°1
Exercice 1 :
On considère deux entiers naturels impairs a et b.
1) Démontrer que a 2  1 est divisible par 8.
2) Démontrer que a 2  b2 est divisible par 2 mais pas par 4.
Exercice 2 :
1) Démontrer que, pour tout entier naturel n, n3  5n est divisible par 6.
2) En déduire, que pour tout entier naturel n, n3  1789n est divisible par 6.
Exercice 3 :
On choisit un entier s’écrivant avec quatre chiffres, par exemple 7 892 puis on l’écrit « à
l’envers » : 2 987.
On ajoute les deux nombres obtenus. Obtient-on un multiple de 11 ?
Recommencez avec d’autres nombres à quatre chiffres. Expliquer le phénomène observé.
Exercice 4 :
Justifier que, pour tout entier relatif n, le nombre 35n  2 n’est pas divisible par 7.
Exercice 5 :
Deux entiers x et y sont tels que 5x  y  8 . Démontrer qu’ils ont la même parité.
Exercice6 :
245  754  999 et 245 754 est divisible par 999. Est-ce une coïncidence ?