Matrices sur un anneau euclidien

A
φ:A\ {0} −→ N
a, b ∈A\ {0}b|a φ(b)≤φ(a)
a∈A b ∈A\ {0}q, r ∈A a =bq +r r = 0 φ(r)< φ(b)
A
M. f M= (M)If M
M M ∈n(A) (M)
An(A)n
m,n(A)A A m n
m(A)×n(A)m,n(A)
(m(A)×n(A)) ×m,n(A)−→ m,n(A)
((U, V ), M)−→ U M V −1
M∈m,n(A)
{M0∈m,n(A)/ U ∈m(A)V∈n(A)M0=U M V }
M, M 0∈m,n(A)
M∈m,n(A)m n k
1≤k≤(m, n)dk(M)k M (M)
k dk(M)6= 0 k
M
dk(M)6= 0 1 ≤k≤(M)dk−1(M)dk(M) 2 ≤k≤(M)
dk(M)A A =Z
dk(M)∈NA=K[X]dk(M)
dk(A)
(M)M K = (A)
A

Odk(M)6= 0 k= (M)M
k k M
A k −1dk−1(M)6= 0
dk−1(M)k−1M
k dk(M)M
m, n ∈NRm,n(R)R
R m n m, n, q ∈N
m,n(R)×n,q(R)−→ m,q (R)
C=AB A = (ai,k)1≤i≤m,1≤k≤nB= (bk,j )1≤k≤n,1≤j≤q
C= (ci,j )1≤i≤m,1≤j≤q1≤i1<· · · < ip≤m1≤j1<· · · < jp≤q p ≤(m, q)
Ci1,· · · , ip
j1,· · · , jp
C=A.B A ∈m,n(R)B∈n,q(R)C∈m,q (R)
Ci1,· · · , ip
j1,· · · , jp=X
1≤k1<···<kp≤n
Ai1,· · · , ip
k1,· · · , kpBk1,· · · , kp j1,· · · , jp
O
ci1,j1· · · ci1,jp
cip,j1· · · cip,jp
=
ai1,1· · · ai1,n
aip,1· · · aip,n
b1,j1· · · b1,jp
bn,j1· · · bn,jp
C p
A B
C=
c1,1· · · c1,p
cp,1· · · cp,p
=
a1,1· · · a1,n
ap,1· · · ap,n
| {z }
=A
b1,1· · · b1,p
bn,1· · · bn,p
| {z }
=B
(C) = |ci,j |1≤i,j≤p
=|
n
X
k=1
ai,kbk,j |1≤i,j≤p
=
n
X
k1,··· ,kp=1
bkj,j |ai,kj|1≤i,j≤p
=
n
X
k1,··· ,kp=1
bk1,1· · · bkp,pA1,· · · , p
k1,· · · , kp
p>n (C) = 0
p≤n
1≤k1<· · · < kp≤n
C i1,· · · , ipj1,· · · , jp

p!
X(k1,· · · , kp)A1,· · · , p
k1,· · · , kpbk1,1· · · bkp,p =A1,· · · , p k1,· · · , kpBk1,· · · , kp 1,· · · , p 
(k1,· · · , kp)1 2 · · · p
k1k2· · · kp
(C) = X
1≤k1<···<kp≤n
A1,· · · , p
k1,· · · , kpBk1,· · · , kp 1,· · · , p 
M
1≤p≤nΛ(p, n)i= (i1,· · · , ip)
1≤i1<· · · < ip≤n
A∈m,n(R)p≤(m, n)
p A
Λp(A)=(Ai
j)i∈Λ(p,m),j∈Λ(p,n)∈Cp
m,Cp n(K)
Λp(C)=Λp(A) Λp(B)
M, M 0∈m,n(A)dk(M)dk(M0)
k≥1 (M) = (M0)
OM0=M V V ∈n(A) ∆0
k M0∆0=P
i
∆iΞi∆iΞi
k M V dk(M) = 0 ∆i= 0 i∆0= 0
dk(M0)=0 dk(M)6= 0 dk(M)|∆ii dk(M)||∆0= 0
dk(M)|dk(M0)
M=M0V−1dk(M)=0 dk(M0)=0 dk(M0)Idk(M)dk(M0)6= 0
dk(M)6= 0 dk(M0)6= 0 dk(M)dk(M0) (M) =
(M0)
M0=U M U ∈m(A)M
S∈m,n(A)
Si,j = 0 i6=j
Si,i 6= 0 1 ≤i≤r
Si,i |Si+1,i+1 1≤i≤r−1
Si,i = 0 r < i ≤(m, n)
dk(M0) = u dk(M)u A dk(M0) = dk(M)
A=ZS Si,i ≥0A=K[X]Si,i

S∈m,n(A)k≥1
dk(S) = S1,1· · · Sk,k
(S) = r0≤r≤(m, n)Sr,r 6= 0
O∆ = Si1,· · · , ik
j1,· · · , jkk S ∆
(i1,· · · , ik)6= (j1,· · · , jk) ∆ ∆ = 0
∆ = Si1,· · · , ik
i1,· · · , ikij> r ∆ = 0
k > r dk(S)=0 k≤r
1≤i1<· · · < ik≤r S1,1|Si1,i1,· · · , Sk,k|Sik,ikS1,1· · · Sk,k|∆ =
Si1,i1· · · Sik,ikdk(S) = S1,1· · · Sk,k 6= 0 M
M∈m,n(A)S
A
OS
M(M) = (S) = r dk(M) = dk(S) 1 ≤k≤r
S1,1=d1(M)Sk,k =dk(M)
dk−1(M)2≤k≤r
M
M∈m,n(A)S1,1,· · · , Sr,r S
M M
M, M 0∈m,n(A)M M0
dk(M)dk(M0)k≥1
O(M) = (M0) = r dk(M) = dk(M0) 1 ≤k≤r
A M M0
M
1≤i<j≤n a, b, c, d ∈A
n
X(n)
i,j a b
c d =
1· · · 0· · · 0· · · 0
0a· · · b· · ·
0c· · · d· · ·
0· · · 0· · · 0· · · 1
S
A

a, b i c, d j a, c i b, d j
a, d
X(n)
i,j a b
c d ad −bc
2(A)−→ n(A)
a b
c d −→ X(n)
i,j a b
c d 
M∈m,n(A) 1 ≤i≤m Li(M)i
M1≤j≤n Cj(M)j M
1≤i<r≤m k 6=i, r
Li(X(m)
i,r a b
c d M) = aLi(M) + bLr(M)
Lr(X(m)
i,r a b
c d M) = cLi(M) + dLr(M)
Lk(X(m)
i,r a b
c d M) = Lk(M)
1≤j < s ≤n k 6=j, s
Cj(M X(n)
j,s a c
b d ) = aCj(M) + bCs(M)
Cs(M X(n)
j,s a c
b d ) = cCj(M) + dCs(M)
Ck(M X(n)
j,s a c
b d ) = Ck(M)
A M
M
M
M∈m,n(A)Mi,j 6= 0 V∈n(A)
M0=M V
M0
i,j |Mi,j
M0
i,s = 0 s>j
Mi,j |Mi,s s≥j Cj(M0) = Cj(M)M0
i,j =Mi,j
M0
i,j Mi,j
Os j < s ≤n Mi,s 6= 0 x=Mi,j y=Mi,s z x
y a, b ∈A ax +by =z
c=−y/z d =x/z V =X(n)
j,s a c
b d (V) = ad −bc = 1
Cj(M0) = aCj(M) + bCs(M)M0
i,j =ax +by =z|Mi,j
Cs(M0) = cCj(M) + dCs(M)M0
i,s =cx +dy = 0
x=Mi,j |y=Mi,s z=x a = 1 b= 0 Cj(M0) = Cj(M)
M0
i,j =z Mi,j =xM