Partiel Arithmétique, Correction Questions

Partiel Arithm´etique, Correction
Questions
I. Questions simples (2,5 points par question)
1. Ecrivez le nombre d´ecimal 321 en notation binaire, donnez aussi son
double en notation binaire.
2. Factorisez 9990. Donnez en d´etail les ´etapes de votre factorisation (pas
seulement le r´esultat).
3. Simplifiez la fraction 437
1178 .
4. Donnez la solution g´en´erale de l’´equation ind´etermin´ee 35x−8y= 1
II. Questions (2,2,1 points)
1. Donnez et expliquez une m´ethode qui peut d´eterminer pour un nombre
entier quelconque N, si ce nombre Nest un multiple pair de onze, ou
pas.
2. Calculez, en utilisant le calcul des restes, (2324×6949)439538+5 (mod 23)
3. Donnez la solution de l’´equation de congruence 70x67 + 52x−1≡0
(mod 23)
III. Questions (1,2,2 points)
1. Donnez les coefficients du binˆome (a+b)5.
2. Pour quels nombres entiers Nest-ce que (1 + N)5est divisible par
5 ? Donnez leur forme g´en´erale sous la forme N≡r(mod 5). (tuyau,
pensez modulo)
3. Pour quels nombres entiers Nest-ce que (2 + N)5est divisible par 10 ?
Donnez leur forme g´en´erale comme N≡r(mod 10) (tuyau, pensez
modulo et binˆome)
IV. R´eponses
I.a 101000001 et 1010000010 (fois 2, c’est ajouter un z´ero `a la fin, comme
fois 10 dans le syst`eme d´ecimal)
I.b 2.33.5.37 (tests par 2,3 et 5 r´ep´et´es)
I.c 23/62 (chercher d’abord le pgcd (437, 1178)=19, puis deux divisions
par 19)
1

I.d x=-3+8n et y=13+35n (algorithme d’Euclide ´etendu pour r´esoudre
Bachet-Bezout : 35=4.8+3 ; 8=2.3+2 ; 3=1.2+1, et alors inverter)
II.a Il est demand´e de construire un test de divisibilit´e pour 22 (mutiple
pair de 11), il faut donc d’abord tester par 11 (alternativement +-+-
+-+ des chiffres d’un nombre de droite `a gauche) alors par 2 (dernier
chiffre doit ˆetre pair) ; ou vice versa
II.b 2324 (=23.100+23+1) mod 23, ca se voit devient 1 ; 6949 (=3.23.100+2.23+3)
devient 3 mod 23 ; puis pour la puissance il faut faire modulo 22 (p-
1=23-1) et on peut donc appliquer le r´esultat de II.a ; il se montre que
439538 est divisible par 22, il ne reste donc le plus 5 ; il s’ensuit : (1
fois 3) au puissance 5 ce qui ´egale 243 ≡13 mod 23
II.c 70 devient 1 modulo 23 ; la puissance 67 doit ˆetre vu modulo 22
(23-1) et devient puissance 1 ; 52est 25 ≡2 modulo 23, et donc on
a finalement la congruence plus simple : 3x≡1 mod 23 ; ici il faut
chercher et essayer un peu des nombres moindre que 23 pour x, et on
trouve : x ≡8 mod 23
III.a Ou bien par la formule avec les factoriels, ou bien avec le triangle
de Pascal ou bien par dur calcul, on obtient : 1.a5+ 5a4.b + 10a3.b2+
10a2.b3+ 5a.b4+ 1b5
III.b Il faut r´esoudre (1+N)5≡0 mod 5, par le petit th´eor`eme de Fermat
on sait que ap≡amod p; alors simplement il s’ensuit ici : 1 + N≡0
mod 5, ou bien N≡4 mod 5. Autre mani`ere, on utilise le binˆome,
1 + 5N+ 10N2+ 10N3+ 5N4+N5≡0 mod 5, tout disparaˆıt mod
5, sauf 1 + N5. Maintenant on peut chercher un Nqui donne 4 (ou 9,
14, 19 ...) en puissance 5, ou bien on utilise petit Fermat, et on obtient
1 + N≡0.
III.c Il faut r´esoudre (2+N)5≡0 modulo 10. Le petit th´eor`eme de Fermat
ne peut pas ˆetre appliqu´e ici, mais le binˆome peut aider. On obtient
alors 1.25+5.24.N +10.23.N2+10.22.N3+5.2.N4+N5≡0 mod 10. Ici
tous les termes sont divisibles par 10 (par 5 et 2) sauf le premier et le
dernier, alors : 25+N5≡0 modulo 10, ou bien 2 + N5≡0 modulo 10.
Maintenant il faut chercher par essai un Nqui un 5e puissance donne
-2 (ou 8, 18 etc), il se trouve que N≡8 mod 10.
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