Partiel Arithmétique, Correction Questions

Partiel Arithmétique, Correction
Questions
I. Questions simples (2,5 points par question)
1. Ecrivez le nombre décimal 321 en notation binaire, donnez aussi son
double en notation binaire.
2. Factorisez 9990. Donnez en détail les étapes de votre factorisation (pas
seulement le résultat).
3. Simplifiez la fraction
437
.
1178
4. Donnez la solution générale de l’équation indéterminée 35x − 8y = 1
II. Questions (2,2,1 points)
1. Donnez et expliquez une méthode qui peut déterminer pour un nombre
entier quelconque N , si ce nombre N est un multiple pair de onze, ou
pas.
2. Calculez, en utilisant le calcul des restes, (2324×6949)439538+5 (mod 23)
3. Donnez la solution de l’équation de congruence 70x67 + 52 x − 1 ≡ 0
(mod 23)
III. Questions (1,2,2 points)
1. Donnez les coefficients du binôme (a + b)5 .
2. Pour quels nombres entiers N est-ce que (1 + N )5 est divisible par
5 ? Donnez leur forme générale sous la forme N ≡ r (mod 5). (tuyau,
pensez modulo)
3. Pour quels nombres entiers N est-ce que (2 + N )5 est divisible par 10 ?
Donnez leur forme générale comme N ≡ r (mod 10) (tuyau, pensez
modulo et binôme)
IV. Réponses
I.a 101000001 et 1010000010 (fois 2, c’est ajouter un zéro à la fin, comme
fois 10 dans le système décimal)
I.b 2.33 .5.37 (tests par 2,3 et 5 répétés)
I.c 23/62 (chercher d’abord le pgcd (437, 1178)=19, puis deux divisions
par 19)
1
I.d x=-3+8n et y=13+35n (algorithme d’Euclide étendu pour résoudre
Bachet-Bezout : 35=4.8+3 ; 8=2.3+2 ; 3=1.2+1, et alors inverter)
II.a Il est demandé de construire un test de divisibilité pour 22 (mutiple
pair de 11), il faut donc d’abord tester par 11 (alternativement +-++-+ des chiffres d’un nombre de droite à gauche) alors par 2 (dernier
chiffre doit être pair) ; ou vice versa
II.b 2324 (=23.100+23+1) mod 23, ca se voit devient 1 ; 6949 (=3.23.100+2.23+3)
devient 3 mod 23 ; puis pour la puissance il faut faire modulo 22 (p1=23-1) et on peut donc appliquer le résultat de II.a ; il se montre que
439538 est divisible par 22, il ne reste donc le plus 5 ; il s’ensuit : (1
fois 3) au puissance 5 ce qui égale 243 ≡ 13 mod 23
II.c 70 devient 1 modulo 23 ; la puissance 67 doit être vu modulo 22
(23-1) et devient puissance 1 ; 52 est 25 ≡ 2 modulo 23, et donc on
a finalement la congruence plus simple : 3x ≡ 1 mod 23 ; ici il faut
chercher et essayer un peu des nombres moindre que 23 pour x, et on
trouve : x ≡ 8 mod 23
III.a Ou bien par la formule avec les factoriels, ou bien avec le triangle
de Pascal ou bien par dur calcul, on obtient : 1.a5 + 5a4 .b + 10a3 .b2 +
10a2 .b3 + 5a.b4 + 1b5
III.b Il faut résoudre (1+N )5 ≡ 0 mod 5, par le petit théorème de Fermat
on sait que ap ≡ a mod p ; alors simplement il s’ensuit ici : 1 + N ≡ 0
mod 5, ou bien N ≡ 4 mod 5. Autre manière, on utilise le binôme,
1 + 5N + 10N 2 + 10N 3 + 5N 4 + N 5 ≡ 0 mod 5, tout disparaı̂t mod
5, sauf 1 + N 5 . Maintenant on peut chercher un N qui donne 4 (ou 9,
14, 19 ...) en puissance 5, ou bien on utilise petit Fermat, et on obtient
1 + N ≡ 0.
III.c Il faut résoudre (2+N )5 ≡ 0 modulo 10. Le petit théorème de Fermat
ne peut pas être appliqué ici, mais le binôme peut aider. On obtient
alors 1.25 + 5.24 .N + 10.23 .N 2 + 10.22 .N 3 + 5.2.N 4 + N 5 ≡ 0 mod 10. Ici
tous les termes sont divisibles par 10 (par 5 et 2) sauf le premier et le
dernier, alors : 25 + N 5 ≡ 0 modulo 10, ou bien 2 + N 5 ≡ 0 modulo 10.
Maintenant il faut chercher par essai un N qui un 5e puissance donne
-2 (ou 8, 18 etc), il se trouve que N ≡ 8 mod 10.
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