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Université Paris XII
Examen Statistiques – Probabilités
2005 – 2006
ISBS 2° Année
Partie « Probabilités »
GL
1) On modélise le temps qu’il fait à Nancy de la façon suivante : s’il fait beau le jour numéro n, alors la probabilité
qu’il fasse beau le jour numéro (n+1) est 1/2 ; s’il pleut le jour numéro n, alors la probabilité qu’il fasse beau le jour
numéro (n+1) est 1/4. On démarre au jour 0, où il pleut.
a. Calculer la probabilité qu’il fasse beau le jour numéro 1.
b. Calculer la probabilité qu’il pleuve le jour numéro 2.
c. Sachant qu’il pleut le jour numéro 2, calculer la probabilité qu’il ait plu le jour numéro 1.
d. On note pn la probabilité qu’il pleuve le jour numéro n. Trouver une relation de récurrence entre pn+1 et pn, et
déterminer la valeur de pn. La suite pn converge-t-elle?
2) On note X le rang du « premier pile » d’une suite infinie de tirages binaires indépendants et de même loi
équiprobable (proba 1/2 pour pile comme pour face).
a) Déterminer la loi de X.
b) Soit Y le rang du « second pile ». Trouver PB ( A ) avec : A = ( Y = 4 ) et B = ( X = 2 ).
c) De même qu’en b) avec A = ( Y = n ) et B = ( X = m ), où m et n sont des entiers naturels avec m  n.
3) U désigne une v.a. de loi uniforme sur [ 0 ; 1 ] et par X son carré : X = U2. Déterminer :
a) la loi de la v.a. X = U2 b) les valeurs de E ( X ) et  ( X ) c) p = P ( 8 U2 – 6 U + 1  0 ).
Formulaire
PB ( A ) =
P ( A  B ) / P ( B )
FX ( x ) =
P ( X  x )
kk xpE(x)
dx(x)pxE(x) X
V ( X ) =
E ( X2 ) –
E ( X )2
Probabilité
conditionnelle
Fonct de
Répartition
Esp. Math v.a.
discr., pk =P(X= xk)
Esp. Math v.a. cont.
densité pX ( ) = F ’ ( x )
Variance