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GÉOMÉTRIE PLANE
Pour démarrer
I
Vocabulaire de la géométrie
• Droite, demi-droite, segment
Droite
Figure
Demi-droite
Bⴙ
(d)
A
A
ⴙ
(AB) ou (d)
Notations
Bⴙ
Segment
B
x
A
[AB) ou [Ax)
[AB]
• Angle
x
A
O
Notations
B
O
y
∧
AOB
∧
xOy
∧
∧
La mesure de l’angle xAy est : xAy ⫽ 30°.
y
90
30
0
180
II
x
A
Calcul numérique
• Suite d’opérations
Pour calculer 2(5 ⫹ 3) ⫹ 20 ⫼ 5 ⫺ 10, on effectue dans l’ordre :
햲 les calculs entre parenthèses :
2 ⫻ 8 ⫹ 20 ⫼ 5 ⫺
10
햳 les multiplications et les divisions : 16
⫹
4
⫺
10
햴 les additions et les soustractions :
20
⫺
10 ⫽ 10
Remarque : on peut aussi effectuer
CALCULATRICE
la suite de calculs directement avec
2 ⫻ ( 5 ⫹ 3 ) ⫹ 20 ⫼ 5 ⫺ 10 EXE ➡ 10
sa calculatrice :
• Carré d’un nombre
L’aire de la surface carrée ci-contre,
en cm2, est le « carré » de 3,
noté 3 ⫻ 3 ⫽ 9 ou 32 ⫽ 9.
3 x2 EXE ➡ 9
3 cm
• Racine carrée d’un nombre
La « racine carrée » de 36, notée 36 ,
est le nombre 6 car 62 ⫽ 36.
CALCULATRICE
3 cm
x2
6
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36
CALCULATRICE
36 EXE ➡ 6
91
QCM
Activité 1
GÉOMÉTRIE PLANE
Pour chaque ligne, choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s).
REPONSES
1 Dans la figure suivante, on a …
A
B
C
la droite (EG)
les points alignés E, F, G
le segment [EG]
parallèles
perpendiculaires
sécantes
G
F
E
2 Les droites (d) et (d′) sont …
(d)
(d')
3 Pour tracer une perpendiculaire à
la droite (d), passant par le point
A, l’équerre et la règle sont correctement placées sur la figure …
Aⴙ
Aⴙ
Aⴙ
(d)
(d)
(d)
∧
ABC
∧
BCA
∧
ACB
75°
105°
115°
6 (5 ⫹ 5) ⫻ 5 ⫹ 5 est égal à …
7
55
100
7 5 ⫹ 5 ⫻ 5 ⫺ 5 est égal à …
0
25
45
8 5 ⫻ 5 ⫹ 5 ⫼ 5 est égal à …
6
10
26
9 Le carré de 5 est …
25
2⫻5
52
10 Si on tape sur une calculatrice
72
288
12
4 L’angle ci-contre est noté …
A
C
B
∧
5 La mesure de l’angle xOy est …
x
100 90 80 70
110
60
90 100 11
50
0 12
70 80
01
60
30
50
120
40
30
0
14
O
10 0
20
170 180
160
150
180 170 1
60
150
0 10 2
14
0 3
0
0
40
0
13
y
144 EXE
le nombre affiché est …
92
Hachette Livre - CAP/Mathématiques/Secteur industriel - La photocopie non autorisée est un délit.
CHAPITRE
08
ÉLÉMENTS ET
OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE
OBJECTIFS
• Tracer la parallèle, la perpendiculaire à une droite passant par un point
• Construire la médiatrice d’un segment
• Déterminer la mesure d’un angle
• Construire la bissectrice d’un angle
Activité 1 Mesurer la longueur d’un segment
Thomas
Rue Ge
ès
èli
eM
re
CIN
ÉM
A
Pa
u
on
ale
Ru
t.eS
rel
Place Charles
De Gaulle
Bernard
rot
ide
e
– avec la méthode de Bernard :
eA
Ma
lbe
rt
ur
ice
Th
ore
z
...............................................................
...............................................................
ed
es
Ch
ats
Ru
et
Ru
mes
Ru
eG
ach
100 m
a. Déterminer la longueur de chaque parcours :
Ru
Ru
eD
Ru
des Da
eC
ant
ag
Chemin
Église
SainteGeneviève
le
Ru
Rue du
Rue du Général Leclerc
ati
ton
Ga
eB
.K
ea
la
l
Place
des
Héros
de
Ru
eN
Ru
ue
eJ
en
ean
Ma
cé
orges V
Ru
Av
Bernard et Thomas consultent le plan de la ville pour savoir
qui habite le plus près du cinéma.
Bernard utilise une règle graduée et fait des additions ;
Thomas utilise un compas et une demi-droite tracée sur une
feuille de papier.
Square des
Oiseaux
...............................................................
– avec la méthode de Thomas :
.........................................................................
.........................................................................
b. Qui habite le plus près du cinéma ?
0
A
1
2
................................
Retenir MESURE DE LA LONGUEUR D’UN SEGMENT
La longueur du segment [AB] se note AB. Ici AB ⫽ 3 cm.
L’unité légale de longueur est le mètre (symbole : m).
Dans la pratique, on utilise d’autres unités de longueur.
Dans le tableau de conversion, on écrit un seul chiffre par unité et on
complète les colonnes avec des zéros.
3
B
kilomètre
hectomètre décamètre
mètre
décimètre
dm
cm
mm
0
5
0
km
hm
dam
m
7
3
5
0
0
centimètre millimètre
Exemples : 7,35 km ⫽ 7 350 m ; 50 mm ⫽ 0,05 m.
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93
08
ACTIVITÉS
ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE
Activité 2 Tracer une parallèle et une perpendiculaire
Une boule de billard part d’un coin et suit la direction de la flèche.
Quand elle touche le bord, elle rebondit et sa nouvelle trajectoire est
perpendiculaire à la précédente. La boule rebondit à nouveau sur le
bord, sa trajectoire est alors parallèle à la direction de la flèche.
a. Tracer la trajectoire de la boule dans les deux dessins ci-dessous :
� Avec le quadrillage
� Avec la règle et l’équerre
Trou
Boule
Trou
b. La boule rebondit comme précédemment ; tracer la trajectoire de
la boule jusqu’à ce qu’elle termine sa course dans un trou.
Combien de fois la boule a-t-elle rebondi ?
.........................................................................
Retenir POSITIONS RELATIVES DE DEUX DROITES
I
(d)
(d′)
Les droites (d) et (d′) sont
sécantes
au point I.
94
(d′)
(d)
angle droit
(d)
(d′)
Les droites (d et d′) sont
parallèles ;
on écrit (d) // (d′).
Les droites (d) et (d′) sont
perpendiculaires ;
on écrit (d)⬜(d′).
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ACTIVITÉS
ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE
08
Activité 3 Mesurer des angles avec un rapporteur
Dans une course au trésor, un navigateur dispose d’un tableau indiquant les différentes étapes entre des îles.
Pour chaque étape, la direction à suivre est indiquée par le cap qui est
l’angle mesuré dans le sens des aiguilles d’une montre
par rapport au Nord de la boussole et par la distance à parcourir.
a. Dessiner sur la carte le trajet du navigateur en reportant pour
chaque étape :
– l’angle par rapport au Nord de la boussole ;
– la distance représentée par un segment sachant que sur la carte
1 cm représente 10 milles en réalité.
NORD
Île déserte
ⴛ
Navigateur ⴛ
ⴛ
Île fantôme
Étape
Cap
Distance
1
70°
50 milles
2
120° 60 milles
3
250° 60 milles
Île sauvage
ⴛ
b. Compléter la dernière colonne du tableau.
Île
c. Sur quelle île se trouve le trésor ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Retenir RECONNAÎTRE DES ANGLES
90°
180°
Un angle droit
Un angle plat
Un angle aigu :
sa mesure est plus
petite que 90°
65°
25°
25° ⫹ 65° ⫽ 90°
Les deux angles sont
complémentaires
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110°
70°
Un angle obtus :
sa mesure est plus
grande que 90°
70° ⫹ 110° ⫽ 180°
Les deux angles sont
supplémentaires
95
08
ACTIVITÉS
ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE
Activité 4 Construire un bon cerf-volant
Sébastien a fabriqué trois cerfs-volants à l’aide de deux baguettes AB
et CD en rotin.
햲
A
C
M
햳
A
B
C
C
햴
M
M
A
B
B
D
D
D
a. Lequel de ces cerfs-volants est parfait pour voler ?
.........................................................................
b. Dans ce cas :
– mesurer AM et MB puis les comparer ;
.........................................................................
.........................................................................
– quelle est la position du point M sur le segment [AB] ?
.........................................................................
– quelle est la mesure de l’angle formé par les baguettes AB et CD ?
.........................................................................
Retenir MÉDIATRICE - BISSECTRICE
Le milieu d’un segment [AB] est le point
du segment situé à égale distance de ses
extrémités A et B.
La médiatrice d’un segment est la droite
passant par le milieu du segment et perpendiculaire au segment.
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles
de même mesure.
96
M
A
B
On a MA ⫽ MB
médiatrice
A
M
B
M : milieu du
segment [AB]
bissectrice
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Méthode 08
ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE
Construction à la règle et au compas
1 Pour tracer la médiatrice (d) d’un segment [AB]
MISE EN DESSIN
même ouverture
de compas
A
A
(d)
B
B
médiatrice
∧
2 Pour reporter un angle xOy de même mesure
MISE EN DESSIN
même ouverture
de compas �
même ouverture
de compas �
n
�
�
�
y
�
O
m
A
m
A
∧
x
∧
les angles xOy et mAn
ont même mesure
∧
3 Pour tracer la bissectrice [Oz) d’un angle xOy
MISE EN DESSIN
y
y
O
O
x
y
O
x
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même ouverture
de compas
z
x
bissectrice
97
08 Exercices
ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE
JE SAIS
4 Reconnaître des angles
On considère les angles ci-dessous.
1 Comparer des segments
�
�
On considère les deux lignes brisées ci-dessous.
�
A
�
E
B
�
�
F
�
G
a) Comparer les angles à l’œil nu, puis avec un compas ; associer chaque angle à sa mesure :
H
C
Mesures
D
30°
45°
90° 120° 180°
Numéro de l’angle
I
b) Contrôler la mesure de chaque angle avec le rapporteur.
À l’aide d’un compas, comparer leur longueur.
Quelle ligne brisée est la plus longue : la � ou la � ?
5 Mesurer des angles
2 Reconnaître des droites parallèles et des
droites perpendiculaires
Les angles ci-dessous ont été tracés avec Cabri-géomètre.
Observer la figure et compléter avec les signes //
ou ⊥ :
B
B
M
L
A
D
A
K
T
C
C
E
(ML) … (AC) ; (AB) … (BC) ; (ML) … (LT) ; (MB) … (KL) ;
(AK) … (ML) ; (MA) … (KL) ; (KL) … (LC) ; (KT) … (TL).
3 Nommer un angle
Une plaque de métal a
la forme d’un hexagone.
a) Nommer chacun des
angles colorés sur la
figure ci-contre.
b) Colorier en bleu
∧
l’angle ELA , en vert
∧
l’angle QPL .
98
P
b) Indiquer les angles complémentaires et les angles
supplémentaires.
L
E
a) Mesurer les angles avec un rapporteur et compléter :
∧
∧
∧
∧
∧
A ⫽…;B ⫽…;C ⫽…;D⫽…;E ⫽….
A
6 Tracer une parallèle et une perpendiculaire
a) Placer trois points A, B et C non alignés, tracer la
droite (AB).
U
Q
b) Avec une règle et une équerre :
– tracer la droite (d1) passant par C et perpendiculaire à la droite (AB) ;
– tracer la droite (d2) passant par C et parallèle à la
droite (AB).
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EXERCICES
ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE
11 Construire un triangle
7 Reconnaître une perpendiculaire,
une médiatrice, une bissectrice
Observer les figures suivantes réalisées avec Cabrigéomètre.
B
B
Figure �
A
Figure �
A
C
Figure �
B
A
C
B
Dans chaque cas, tracer en grandeur réelle le triangle
LAC :
• LA ⫽ 7 cm, LC ⫽ 5 cm et AC ⫽ 11 cm ;
∧
• CL ⫽ 6 cm, CA ⫽ 8 cm et LCA ⫽ 30° ;
∧
∧
• LA ⫽ 5 cm, LAC ⫽ 40° et ALC ⫽ 60°.
12 Calculer des angles
Dans chaque cas, trouver x en degrés.
햳
햲
x
135°
x
30°
C
A
Figure �
C
Dans quelles figures a-t-on tracé une perpendiculaire ?
une médiatrice ? une bissectrice ?
8 Tracer un segment et sa médiatrice
a) Tracer un segment [AB] mesurant 4,6 cm et
construire sa médiatrice avec un compas (voir fiche
méthode page 97).
햴
a) Avec un rapporteur, tracer un angle mesurant 50°,
puis tracer sa bissectrice.
b) Tracer un angle de 130°, puis avec une règle et un
compas, construire sa bissectrice (voir fiche méthode
page 97).
J’APPLIQUE
10 Conversions
45 m ⫽ 0,045 . . . . . . . .
150 mm ⫽ 1,5 . . . . . . . .
34 dam ⫽ 340 . . . . . . . .
83 500 m ⫽ 83,5 . . . . . . . .
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2x
햵
Les tracés suivants peuvent s’effectuer sur une feuille
de papier avec une règle et un compas ou avec un
logiciel de géométrie (Cabri-géomètre, par exemple).
B
A
9 Tracer une bissectrice
x
x
2x
3x
13 Droites remarquables du triangle
b) Placer deux points M et N sur la médiatrice.
Comparer au compas la longueur des segments [MA]
et [MB], puis des segments [NA] et [NB].
Compléter :
2,5 m ⫽ . . . . . . . . cm
83,5 km ⫽ . . . . . . . . m
120 mm ⫽ . . . . . . . . cm
430 cm ⫽ . . . . . . . . m
08
C
a) Médiatrices du triangle
• Tracer un triangle ABC assez grand avec des angles
∧ ∧ ∧
A , B et C aigus.
• Construire la médiatrice des côtés [AB], [BC] et
[AC].
• Que remarque-t-on ?
• Placer le point O qui semble commun aux trois
médiatrices.
• Tracer le cercle de centre O passant par les points
A, B et C : c’est le cercle circonscrit au triangle ABC.
b) Bissectrices du triangle
• Tracer un triangle EDF assez grand.
∧ ∧ ∧
• Construire la bissectrice des angles E , D et F . Que
remarque-t-on ?
• Placer le point O qui semble commun aux trois bissectrices.
• Tracer le cercle de centre O tangent aux trois côtés
du triangle EDF : c’est le cercle inscrit au triangle EDF.
99
08
EXERCICES
ÉLÉMENTS ET OUTILS DE LA GÉOMÉTRIE PLANE
14 Logo du Futuroscope
Voici le Pavillon du Futuroscope.
15 Pièce de métal (d’après CAP)
Une pièce a la forme donnée ci-dessous :
A
B
O
C
F
E
D
Données : AE ⫽ EF ⫽ 5 m ; AB ⫽ 8 m ;
(OCD) est un quart de disque de rayon 2 m.
a) Calculer, en mètres, les longueurs de BC et ED.
Construire un logo en respectant le programme suivant :
• Tracer une demi-droite horizontale [Ax), le point A
étant situé à gauche.
• Placer le point B sur [Ax) tel que AB ⫽ 12 cm.
• Placer sur le segment [AB] les points E et F tels que
AE ⫽ 7,4 cm et AF ⫽ 8,3 cm.
• Tracer la droite (d1) passant par B et perpendiculaire à la droite (AB).
• Placer le point C sur la droite (d1) tel que
BC ⫽ 6,2 cm ; C est situé au-dessus de la droite (AB).
Tracer le segment [AC].
• Tracer les droites (d2) et (d3) passant respectivement par les points F et E et parallèles à la droite (d1).
• Placer le point O sur la droite (d2) tel que
FO ⫽ 5,3 cm ; O est situé du même côté que le point C.
• Placer le point O′ sur la droite (d3) tel que
EO′ ⫽ 6,2 cm ; O′ est situé du même côté que le
point C.
• Tracer le cercle de centre O et de rayon 3,3 cm, puis
le cercle de centre O′ de rayon 1,3 cm.
• Colorier chaque partie de la figure avec des couleurs différentes.
100
b) Construire à la règle et au compas la médiatrice
du segment [AF]. Laisser les traits de construction
apparents.
16 Parallèle et perpendiculaire
a) Tracer un triangle ABC tel que AC = 8 cm,
∧
AB = 5,5 cm et BAC = 40°.
∧
b) Tracer la bissectrice de l’angle BAC : elle coupe
[BC] en I. Placer le point I.
c) Tracer la perpendiculaire à la droite (AI) passant
par B : elle coupe (AI) en J. Placer le point J.
d) Tracer la perpendiculaire à la droite (AI) passant
par C : elle coupe (AI) en K. Placer le point K.
e) Compléter avec « // » ou « ⊥ » :
(BJ) … (AI)
➡ (BJ) … (CK)
(CK) … (AI)
f) Compléter la propriété :
Lorsque deux droites sont …………………………………………… à
une même troisième droite, alors ces deux droites
sont …………………………………………… .
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