Chapitre 21 : Variables aléatoires discrètes - Pierre

Lycée Madeleine Michelis - ECE1
Mathématiques - 2016/2017
Chapitre 21 : Variables aléatoires discrètes
Table des matières
1 Variable aléatoires réelle
1.1
1.2
1.3
Exemples introductifs . . . .
1.1.1 Exemple introductif 1
1.1.2 Exemple introductif 2
Dénition . . . . . . . . . . .
Loi d'une variable aléatoire .
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2 Variables aléatoires réelles discrètes
2.1
2.2
2.3
Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Transformation de variable aléatoire discrètes . . .
3 Moments d'une variable aléatoire discrète
3.1
3.2
3.3
Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Moment d'ordre r ∈ N . . . . . . . . . . . . . . . .
Moment d'ordre 2 et variance . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2
3
4
5
5
7
12
13
13
16
16
2 avril 2017 - Pierre-Yves Madec - [email protected]
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Dans toute la suite (Ω, A, P ) est un espace probabilisé.
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Variable aléatoires réelle
1.1 Exemples introductifs
1.1.1
Exemple introductif 1
On lance un dé à six faces. L'univers de cette expérience aléatoire est Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A présent, on suppose que l'on gagne si on obtient six au dé. Pour modéliser cette situation, on
construit une fonction :
X:
Ω
−→
ω
7−→
R
(
0
si ω = 1, 2, 3, 4 ou 5 .
1
si ω = 6
Cette fonction est adaptée au problème car elle contient toute l'information nécessaire (ici le fait
d'obtenir 6 ou non).
ˆ Une telle fonction X , dont l'espace de départ est l'univers d'une expérience aléatoire est
appelée variable aléatoire (il faut en plus supposer qu'une condition technique, que l'on verra
plus tard, permettant de faire des calculs de probabilités sur X est vériée).
ˆ On appelle support de X , noté X(Ω) l'ensemble des valeurs prises par X , autrement dit
l'image de X . Dans notre exemple le support de X est X(Ω) = {0, 1}.
ˆ On utilisera la notation suivante :
[X = 0] = {ω ∈ Ω | X(ω) = 0} = {1, 2, 3, 4, 5}
[X = 1] = {ω ∈ Ω | X(ω) = 1} = {6}.
1.1.2 Exemple introductif 2
On lance une innité de fois une pièce de monnaie. On note T la variable aléatoire qui est égale
au numéro du lancer pour lequel on obtient pile pour la première fois.
1. Déterminer l'univers de l'expérience aléatoire.
2. Représenter l'application T à l'aide d'un schéma comme dans l'exemple précédent.
3. En déduire le support de T .
4. Déterminer [T = 1] , [T = 2].
Correction :
1. L'univers Ω est l'ensemble des suites innies (uk )k∈N∗ , avec uk = P ou uk = F .
2.
T :
Ω
ω
−→
7−→
R
.
n, le numéro du lancer pour lequel on obtient pile pour la première fois
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3. X(Ω) = N∗ .
4. [T = 1] = toutes les suites commençant par P . . . et [T = 2] = toutes les suites commençant
par F − P . . ..
1.2 Dénition
Dénition (Variable aléatoire - important !)
On dit que X est une variable aléatoire réelle dénie sur (Ω, A, P )
de Ω dans R, i.e. :
X : Ω −→
R
ω 7−→ X(ω),
ssi
X est une application
et telle que pour tout x ∈ R,
{ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} ∈ A.
Remarque(s)
Démontrer que X est une variable aléatoire n'est pas un attendu du programme. Le plus important
dans cette dénition est de retenir le schéma qui montrer que X est une application de Ω dans R
et qui vérie une condition permettant de faire des calculs de probabilités. Cette condition sera
toujours vériée en pratique : on ne vous demandera pas de la vérier.
Remarque(s)
Une variable aléatoire est en réalité une fonction, pas une variable ! Il faut toujours garder cela en
tête.
Notation (Support)
L'ensemble des valeurs prises par X se note X(Ω). On l'appelle le support de X .
Notation
ˆ [X = x] = {ω ∈ Ω | X(w) = x},
i.e. c'est l'ensemble des éléments de l'univers dont l'image par X est x.
ˆ [X ≤ x] = {ω ∈ Ω | X(w) ≤ x},
i.e. c'est l'ensemble des éléments de l'univers dont l'image par X est inférieure ou égale
à x.
ˆ [X ∈ I] = {ω ∈ Ω | X(ω) ∈ I},
i.e. c'est l'ensemble des éléments de l'univers dont l'image par X est dans I .
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Exemple(s)
Reprenons l'exemple de la variable aléatoire vu au début du chapitre : le lancer de dé, avec Ω =
{1, 2, 3, 4, 5, 6} :
X : Ω −→ R
(
0 si ω = 1, 2, 3, 4 ou 5 .
ω 7−→
1 si ω = 6
Déterminer [X = 1], [X = 0], [X ≤ 0], [X < 0], [X ≤ 1], [X ∈ {1}]. Correction :
ˆ [X = 1] = {6},
ˆ [X = 0] = {1, 2, 3, 4, 5},
ˆ [X ≤ 0] = {1, 2, 3, 4, 5},
ˆ [X < 0] = ∅,
ˆ [X ≤ 1] = Ω,
ˆ [X ∈ {1}] = {6}.
1.3 Loi d'une variable aléatoire
Dénition (Loi d'une variable aléatoire)
Soit X une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé (Ω, A, P ). On appelle loi de X
sous la probabilité P la probabilité PX , qui à toute partie I de R pouvant s'écrire comme
union dénombrable d'intervalles de R, associe
PX (I) = P (X ∈ I).
On dit que PX est la probabilité image de P par X . On note parfois L(X) la loi de X .
Remarque(s)
En pratique, l'espace (Ω, A, P ) n'est pas connu, c'est un espace mystérieux qui peut être vu comme
l'univers (physique) tout entier. En réalité, seule compte la mesure image et on explicite rarement
la variable aléatoire et l'espace (Ω, A, P ).
Nous ne nous attardons pas sur cette dénition, nous allons voir que dans les deux cas qui nous
intéressent (variable aléatoire discrètes ou à densité), la loi d'une variable aléatoire peut être
caractérisée assez simplement.
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Variables aléatoires réelles discrètes
2.1 Dénition
Dénition (Variables aléatoires discrètes)
Une variable aléatoire est dite discrète
ssi son support est un ensemble du type
{x1 , x2 , . . . , xk , . . .} (ni ou non), avec les xk ∈ R, pour tout k ∈ N∗ .
Exemple(s)
Les deux variables aléatoires des exemples introductifs, X et T , sont discrètes.
Remarque(s)
Plus tard dans l'année, nous verrons un autre type de variables aléatoire : les variables aléatoires
à densités.
A présent, X est une variable aléatoire discrète dénie sur un espace probabilisé (Ω, A, P )
Propriété 1 (Caractérisation 2 de la loi d'une variable aléatoire discrète par P (X = x))
La loi d'une variable aléatoire discrète X dénie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ) est caractérisée par la connaissance de :
ˆ son support X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xk , . . .},
ˆ et de P (X = xk ) pour tout xk ∈ X(Ω).
Il est possible de présenter la synthèse de ces deux informations sous la forme d'un tableau :
xk
P (X = xk )
x1
P (X = x1 )
x2
P (X = x2 )
...
...
xk
P (X = xk )
...
...
Remarque(s)
Une variable aléatoire discrète X est donc caractérisée par sa fonction de répartition FX OU BIEN
par la connaissance de son support X(Ω) et P (X = xk ) pour tout xk ∈ X(Ω). Si on vous demande
de déterminer la loi de X , alors vous avez le choix entre utiliser l'une ou l'autre de ces deux
caractérisations. s
Exemple(s)
On lance deux dés (un rouge et un bleu) à 6 faces équilibrés. On note S la somme des résultats
obtenus. Déterminer la loi de S . Correction : S(Ω) = {2, 3, . . . 12}.
P (S = 2) = P ("Dé rouge = 1" ∩ "Dé bleu = 1") =
1
36
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P (S = 3) =
2
36
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...
Finalement, on obtient le tableau suivant :
xk
P (X = xk )
2
1
36
3
2
36
4
3
36
5
4
36
6
5
36
7
6
36
8
5
36
9
4
36
10
3
36
11
2
36
12
1
36
Propriété 2 (Système complet d'évènement pour une variable aléatoire discrète)
Soit X une variable aléatoire réelle discrète dénie sur (Ω, A, P ) de support X(Ω) =
{x1 , x2 , . . . , xk . . .}. Alors, la famille d'évènements {[X = xk ]}xk ∈X(Ω) est un système complet
d'évènement de Ω.
Démonstration. Évident car X ne peut prendre en même temps deux valeurs distinctes (c'est une
application) et X doit forcément prendre une valeur (c'est une application !), qui est nécessairement
dans son support.
Exemple(s)
Dans notre exemple introductif 1, X(Ω) = {0, 1}, donc [X = 0] et [X = 1] forment un système
complet d'évènement de Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Dans l'exemple 2 ; T (Ω) = N∗ . {k}k∈N∗ forme clairement un système complet d'évènement de
X(Ω), donc ([X = k])k∈N∗ forme un système complet d'évènements de Ω.
Corollaire 3
Soit X une variable aléatoire discrète de support X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xk , . . .}, alors
X
P (X = xk ) = 1.
xk ∈X(Ω)
Démonstration. Il sut de remarquer que les évènements [X = xk ] forment un système complet
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d'évènements de Ω (deux à deux disjoints et réunion égale à Ω). Par conséquent :


X
[
P (X = xk ) = P 
[X = xk ]
(évènements disjoints deux à deux)
xk ∈X(Ω)
xk ∈X(Ω)
(réunion égale à Ω)
= P (Ω)
= 1.
Propriété 4
Si (un )n∈N est une suite de réelles vériant
1. un ≥ 0, pour tout n ∈ N,
2.
+∞
X
un = 1,
n=0
alors (un )n∈N dénit une loi de probabilité, c'est à dire que l'on peut construire une variable
aléatoire X telle que pour tout xn ∈ X(Ω), P (X = xn ) = un .
Démonstration. Admis.
Exemple(s)
Montrer que la suite u dénie par un =
1
pour tout n ∈ N∗ dénit une loi de probabilité.
n(n + 1)
2.2 Fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète
Dénition (Fonction de répartition)
Soit X une variable aléatoire réelle dénie sur (Ω, A, P ). On appelle fonction de répartition
de X la fonction FX dénie pour tout réel x par :
FX (x) = P (X ≤ x).
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Remarque(s)
En toute rigueur, on devrait écrire FX (x) = P ([X ≤ x]), mais on peut omettre les crochets pour
alléger l'écriture.
Théorème 5 (Propriétés de la fonction de répartition)
Quelque soit la variable aléatoire réelle X dénie sur (Ω, A, P ), sa fonction de répartition FX
vérie les propriétés suivantes :
ˆ FX est croissante sur R,
ˆ Fx est continue à droite en tout réel x,
ˆ
et
lim FX (x) = 0
x→−∞
lim FX (x) = 1
x→+∞
Démonstration. Admis.
1.
0.8
0.6
0.4
0.2
f
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
0
1.
2.
3.
Figure 1 Prol typique 1 de la courbe d'une fonction de répartition FX
discrète)
4.
(cas d'une v.a. X non
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Figure 2 Prol typique 2 de la courbe d'une fonction de répartition FX lorsque X (cas discret)
Remarque(s)
Lien avec les mathématiques nancières (ESSEC 2016). Un acteur du marché détient un actif.
On modélise ses pertes par la variable aléatoire X . L'acteur veut agir avec un risque contrôlé,
autrement dit, si son portefeuille est v , alors il veut que la probabilité de perdre moins que son
portefeuille soit égale à β (par exemple β = 0, 95), autrement dit :
P (X ≤ v) = β,
ou encore
FX (v) = β.
Illustration de la situation :
Sous certaines hypothèses, on peut montrer que que FX est inversible. On note GX son inverse.
Par conséquent :
FX (v) = β ⇐⇒ v = GX (β).
GX (β) est la quantité d'argent qu'il faut détenir pour couvrir la perte X . On l'appelle value at
risk.
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Propriété 6 (Propriété élémentaire)
∀(a, b) ∈ R2 ,
P (a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a).
Démonstration. Il sut de remarquer que
FX (a) + P (a < X ≤ b) = P (X ≤ a) + P (a < X ≤ b)
car les évènements sont disjoints
= P (X ≤ b)
= FX (b).
Théorème 7 (Caractérisation de la loi d'une v.a. par la fonction de répartition)
Soit X une variable aléatoire réelle dénie sur un espace probabilisé (Ω, A, P ).
La fonction de répartition de X , FX , caractérise la loi de X .
Démonstration. Admis.
Corollaire 8
Soit X et Y deux variables aléatoires dénies sur deux espaces probabilisés (qui peuvent ne
pas être les mêmes). Si FX = FY , alors X et Y ont la même loi.
Exemple(s)
On considère l'expérience aléatoire du lancer de dé équilibré. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = P(Ω) et P
la probabilité uniforme sur Ω. Considérons deux variables aléatoires :
X:
Ω
−→
ω
7−→
Ω
−→
ω
7−→
R
(
0
1
si ω ∈ {1, 2, 3, 4, 5}
sinon.
et
Y :
R
(
0
1
si ω ∈ {2, 3, 4, 5, 6}
sinon.
Montrer que X et Y ont même loi. Correction : Commençons par déterminer FX (x) pour tout
x∈R:
ˆ FX (x) = P (X ≤ x). Or X ne prend que deux valeurs 0 et 1, on calcule donc :
pour x < 0, FX (x) = P (X ≤ x) = 0,
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pour 0 ≤ x < 1, FX (x) = P (X ≤ x) = P (X = 0) = P ({1, 2, 3, 4, 5}) = 65 ,
pour 1 ≤ x, FX (x) = P (X ≤ x) = P (X ∈ {0, 1}) = P (Ω) = 1.
ˆ De même pour FY :
pour x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0,
pour 0 ≤ x < 1, FY (x) = P (Y ≤ x) = P (Y = 0) = P ({2, 3, 4, 5, 6}) = 65 ,
pour 1 ≤ x, FY (x) = P (Y ≤ x) = P (Y ∈ {0, 1}) = P (Ω) = 1.
Conclusions : X et Y ont même loi.
Propriété 9 (Ou comment dessiner la courbe de FX )
On suppose que X est une variable aléatoire discrète dénie sur (Ω, A, P ). On suppose de plus
que le support de X est X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xk , . . .}.
En réordonnant et renommant les indices, on peut toujours considérer que
X(Ω) = {. . . , y−m , y−(m−1) , . . . , y−1 , y0 , y1 , y2 , . . . yn , . . .}
avec . . . < y−m < y−(m−1) < . . . < y−1 < y0 < y1 < y2 < . . . < yn < . . .
Alors,
1. FX est constante par morceaux sur chaque intervalle [yk ; yk+1 [
2.
P (X = yk ) = FX (yk ) − FX (yk−1 ).
Démonstration. Le premier point est trivial, car si yk et yk+1 sont deux valeurs consécutives du
support, alors pour tout x ∈ [yk ; yk+1 [, FX (x) = P (X ≤ x) = P (X ≤ yk ) = FX (yk ).
Pour le deuxième point :
FX (yk ) − FX (yk−1 ) = P (X ≤ yk ) − P (X ≤ yk−1 )
= P ({X ≤ yk−1 } ∪ {X = yk }) − P (X ≤ yk−1 )
= P (X ≤ yk−1 ) + P (X = yk ) − P (X ≤ yk−1 )
union disjointe
= P (X = yk ).
Remarque(s)
Cette propriété permet de dessiner facilement la fonction de répartition d'une variable aléatoire
discrète. Elle dit que d'une part, FX est constante entre deux valeurs du support et que d'autre
part, en chaque yk du support la fonction de répartition fait un saut d'amplitude P (X = yk ).
Exemple : dessiner la fonction de répartition de X dont la loi est donnée par le tableau suivant :
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xk
P (X = xk )
−2
1
4
1
1
8
1, 5
1
2
3
1
8
Corollaire 10 (Cas particulier X(Ω) = Z)
On suppose que X est une variable aléatoire discrète dénie sur (Ω, A, P ). On suppose de plus
que le support de X est X(Ω) = Z. Alors, ∀k ∈ Z,
P (X = k) = FX (k) − FX (k − 1).
Démonstration. Conséquence directe de la propriété précédent, en changeant le support.
2.3 Transformation de variable aléatoire discrètes
Dans cette partie, nous étudions les variables aléatoires du type Y = g(X).
Théorème 11
Soit X une variable aléatoire réelle discrète dénie sur (Ω, A, P ) et soit une application g qui
va de X(Ω) dans R. Alors l'application Y = g(X) qui va de Ω dans R dénie pour tout ω ∈ Ω
par
Y (ω) = g(X(ω)),
est une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, A, P ).
Remarque(s)
On a le schéma suivant :
Y : Ω
ω
X
−→
7−→
X(Ω)
X(ω)
g
−→
7−→
R
g(X(ω)) = Y (ω)
Soit encore : Y = g ◦ X .
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Exemple(s)
Soit X une variable aléatoire réelle discrète sur (Ω, A, P ). Alors X n , eX , |X|, ln(1+|X|), max(X, 1)
3X + 1 . . . sont des variables aléatoires réelles discrètes sur (Ω, A, P ).
Méthode (Comment déterminer la loi de Y = g(X))
ˆ Premier cas : On suppose que l'on connaît la loi de X via la connaissance du support
X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xk . . .} et P (X = xk ) pour tout xk ∈ X(Ω). Alors :
1. on détermine le support Y (Ω) en calculer Y (xk ) pour chaque valeur xk : Y (Ω) =
{Y (x1 ), Y (x2 ), . . . , Y (xk ) . . .}
2. On calculer P (Y = yk ) grâce à la connaissance de P (X = xk ).
ˆ Second cas : on connaît FX . Alors on peut déterminer FY
FY (t) = P (Y ≤ t) = P (g(X) ≤ t)
et ensuite, il faut raisonner au cas par cas, par exemple si g est bijective alors on obtient
P (X ≤ g −1 (t)).
3
Moments d'une variable aléatoire discrète
3.1 Espérance
Dénition (Espérance d'une variable aléatoire discrète)
Soit X une variable aléatoire discrète réelle de support X(Ω) = {x1 , x2 , . . . , xk , . . .}. On dit que
X admet une espérance si la série de terme général xk P (X = xk ) est absolument convergente.
En cas de convergence, on appelle espérance de X , notée E(X), la valeur de la somme de
cette série :
X
E(X) =
xk P (X = xk ).
xk ∈X(Ω)
Remarque(s)
L'espérance d'une variable aléatoire n'est rien d'autre que sa valeur moyenne. Elle ne donne pas
d'information sur la dispersion de ses valeurs. Ainsi, deux variables aléatoires peuvent avoir la
même moyenne tout en étant radicalement diérentes.
Remarque(s)
Si X est nie, alors son support X(Ω) peut s'écrire X(Ω) = {x1 , . . . xn } et donc la série converge
en tant que somme nie. Par conséquent une variable aléatoire nie admet toujours une espérance.
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Remarque(s)
Si X est une variable aléatoire constante, i.e., X(ω) = a ∈ R pour tout ω ∈ Ω, alors
X
E(X) =
|xk |P (X = xk )
xk ∈X(Ω)
= |a|P (X = a)
= |a| × 1
= |a| < +∞,
ce qui montre que la série converge absolument donc X admet une espérance. De plus E(X) = a
(il sut de refaire le calcul sans les valeurs absolues).
Propriété 12 (Linéarité de l'espérance)
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes. Si X et Y admettent des espérances
E(X) et E(Y ), alors, pour tout réels a, b, la variable aléatoire aX + bY admet une espérance
et :
E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ).
Démonstration. Conséquence directe de la linéarité pour les séries.
Remarque(s)
En particulier si X admet une espérance, alors, pour tout réels a et b, comme b admet une espérance
qui vaut b :
E(aX + b) = aE(X) + E(b) = aE(X) + b.
En eet il sut d'écrire b = b × 1 et de voir 1 comme la variable aléatoire constante qui à tout
w ∈ Ω associe 1.
Exemple(s)
Soit X1 ,. . . Xn n variables aléatoires, chacune suivant une loi de Bernoulli de paramètre n. On note
S = X1 + . . . Xn .
1. Calculer E(X1 ).
2. En déduire E(S).
Correction :
1. E(X1 ) existe car X1 a un support ni. E(X1 ) = 1 × p + 0 × (1 − p) = p.
2. E(S) = E(X1 ) + . . . E(Xn ) = p + . . . p = np.
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Propriété 13 (Positivité de l'espérance)
Si X est une variable aléatoire discrète réelle sur (Ω, A, P ) positive (i.e. X(ω) ≥ 0, pour tout
ω ∈ Ω). Si X admet une espérance E(X), alors
E(X) ≥ 0.
Démonstration. Rappelons nous que par dénition,
E(X) =
X
xk P (X = xk ).
|{z}
|
{z
}
xk ∈X(Ω) ≥0
≥0
Par conséquent, puisque xk est positif pour tout k , et qu'une probabilité est positive, on en déduit
que la somme de la série est positive.
Dénition (Variables aléatoires centrées)
Soit X une variable aléatoire discrète réelle sur (Ω, A, P ) admettant une espérance E(X). On
dit que X est centrée ssi E(X) = 0.
La proposition suivante dit qu'il est toujours possible de centrer une variable.
Propriété 14 ("Centrage" d'une variable aléatoire)
Si X admet une espérance, alors X − E(X) est centrée.
Démonstration.
E(X) = E(X − E(X))
= E(X) − E(E(X))
= E(X) − E(X)
= 0.
Le théorème qui suit permet de calculer l'espérance de Y = g(X) lorsqu'on connait la loi de X .
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Théorème 15 (Théorème du transfert - fondamental)
Soit X une variable aléatoire réelle discrète dénie sur (Ω, A, P ) et g une application qui va
de X(Ω) dans R. Alors Y = g(X) possède une espérance ssi la série de terme général
g(xk )P (X = xk ) converge absolument et dans ce cas :
X
E(Y ) = E(g(X)) =
g(xk )P (X = xk ).
xk ∈Ω
Démonstration. Admis.
3.2 Moment d'ordre r ∈ N
Dénition (Moment d'ordre r ∈ N)
Soit X une variable aléatoire discrète réelle dénie sur (Ω, A, P ).On dit que X admet un
moment d'ordre r ssi la variable aléatoire X r admet une espérance E(X r ). On appelle
alors E(X r ) le moment d'ordre r de X .
On a, par le théorème du transfert :
X
E(X r ) =
xrk P (X = xk ).
xk ∈X(Ω)
Notation
On note :
mr (X) = E(X r ).
Remarque(s)
Le moment d'ordre 1 de X est E(X) : c'est l'espérance.
X
Le moment d'ordre 2 de X , s'il existe, est E(X 2 ) =
x2k P (X = xk ) (théorème du transfert).
xk ∈X(Ω)
3.3 Moment d'ordre 2 et variance
Dénition (Variance)
Si X est une variable aléatoire discrète admettant un moment d'ordre 2 (i.e. E(X 2 ) < +∞ ),
alors la variable aléatoire (X −E(X))2 admet une espérance. On note cette espérance Var(X),
et on l'appelle variance. En d'autres termes :
Var(X) = E (X − E(X)2 .
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Remarque(s)
X
On peut expliciter la variance comme suit : Var(X) =
(xk − E(X))2 P (X = xk ). (théorème
xk ∈X(Ω)
du transfert). Grâce à cette formule, on s'aperçoit que la variance mesure l'écart de chaque valeur
prise par X à sa moyenne. Le carré permet de rendre positif tous les écart. Par conséquent, la
variance est une mesure de la dispersion des valeurs prises par X .
Remarque(s)
On admet que si une variable aléatoire X admet un moment d'ordre 2 alors X admet une variance.
Avant d'armer que X admet une variance, il faudra toujours s'assurer que X admet un moment
d'ordre 2.
Propriété 16 (Positivité de la variance)
Sous réserve d'existence :
Var(X) ≥ 0.
Démonstration. Il sut de remarquer la variable aléatoire (X −E(X))2 est positive, par conséquent
son espérance aussi.
Propriété 17 (Cas où Var(X) = 0)
Si Var(X) = 0, alors X est constante presque sûrement.
Démonstration. Admis.
Remarque(s)
Dire que X est constante presque sûrement signie qu'il existe un réel c et un ensemble A tel que
P (A) = 1 tel que
∀ω ∈ A, X(ω) = c.
Propriété 18 (Formule de Koenig-Huygens)
Si X admet une variance alors :
2
Var(X) = E(X 2 ) − (E(X)) .
Démonstration. On admet que si X admet un moment d'ordre 2, alors X admet un moment d'ordre
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1. Alors,
Var(X) = E((X − E(X))2
= E(X 2 − 2XE(X) + (E(X))2 )
= E(X 2 ) − E(2XE(X)) + E(E(X)2 )
2
chaque v.a. admet une espérance)
2
= E(X ) − 2E(X)E(X) + E(X)
= E(X 2 ) − 2E(X)2 + E(X 2 )2
= E(X 2 ) − (E(X))2
Propriété 19 (Non linéarité de la variance)
Si X est une variable aléatoire discrète nie admettant une variance, alors la variable aléatoire
aX + b admet une variance et, pour tous réels a et b :
Var(aX + b) = a2 Var(X).
Démonstration.
Var(aX + b) = E((aX + b − E(aX + b))2 )
= E((aX + b − aE(X) − b)2 )
= a2 E((X − E(X))2 )
= a2 Var(X).
Dénition (Écart-type)
Si X admet une variance, alors on dénit l'écart type, par le réel, noté σ(X),
σ(X) =
p
Var(X).
Dénition (Variable aléatoire réduite)
On dit qu'une variable aléatoire X est réduite
Var(X) = 1.
ssi
elle admet une variance telle que
Propriété 20 (Réduction d'une variable aléatoire)
Si X est une variable aléatoire admettant une variance non nulle, alors la variable aléatoire
X
est réduite.
σ(X)
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Démonstration.
Var
X
σ(X)
!
=
1
Var(X)
σ(X)2
=
Var(X)
Var(X)
= 1.
Dénition (Variable centrée réduite)
Une variable aléatoire X est dite centrée réduite
ssi E(X) = 0 et Var(X) = 1.
Propriété 21
Si X est une variable aléatoire possédant une variance non nulle, alors la variable aléatoire
X − E(X)
X − E(X)
X∗ =
est une variable aléatoire centrée réduite.
= p
σ(X)
Var(X)
Démonstration.
ˆ
∗
E(X ) = E
=
X − E(X)
σ(X)
1
E(X − E(X))
σ(X)
= 0.
ˆ
1
Var(X − E(X))
σ(X)2
Var(X)
=
Var(X)
Var(X ∗ ) =
= 1.
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Fin du chapitre
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