Feuille d`exercices n°4 Nombres complexes et trigonométrie − partie 3

Lycée Benjamin Franklin
D. Blottière
PTSI − 2014-2015
Mathématiques
Feuille d’exercices n°4
Nombres complexes et trigonométrie − partie 3
Exercice 19
1. Soit θ ∈ [0, π]. Montrer que :
µ ¶ s
θ
1 + cos(θ)
=
cos
2
2
et
¡π¢
π
π
et sin π8 , puis celles de cos 16
et sin 16
.
¡π¢
¡π¢
¡π¢
¡ 8π ¢
de cos 12 et sin 12 , puis celles de cos 24 et sin 24 .
2. Déduire de la question 1 les valeurs de cos
3. Déduire de la question 1 les valeurs
µ ¶ s
θ
1 − cos(θ)
sin
.
=
2
2
¡ ¢
¡
¢
¡
¢
Exercice 20
Soient z1 et z2 des nombres complexes de module 1, tels que z1 z2 6= −1. Démontrer que le nombre complexe
z1 + z2
1 + z1 z2
est réel, et préciser son module.
Exercice 21
Soit z ∈ C \ {1}. Démontrer :
|z| = 1
1+z
∈ i R.
1−z
⇔
Exercice 22
1. Soit θ ∈] − π, π[. Justifier que le nombre t = tan
cos(θ) =
1− t2
1+ t2
³ ´
θ
2
est bien défini et montrer que :
et
sin(θ) =
2t
.
1+ t2
2. On considère l’équation
(E ) : x 2 + y 2 = z 2
d’inconnue (x, y, z) ∈ (Z∗ )2 .
(a) Déterminer dix triplets d’entiers relatifs solutions de (E ).
(b) Démontrer que (E ) possède une infinité de triplets d’entiers relatifs solutions.
Exercice 23
1. (a) Soit θ ∈ R. Linéariser cos4 (θ).
(b) En déduire une primitive de la fonction
¯
¯ f
¯
¯
:
R
x
→
7
→
R
cos4 (x).
2. (a) Soit θ ∈ R. Linéariser sin6 (θ).
(b) En déduire une primitive de la fonction
3. (a) Soit θ ∈ R. Linéariser sin4 (θ) cos3 (θ).
¯
¯ g
¯
¯
:
R
x
R
x
→
7→
→
7→
R
sin6 (x).
(b) En déduire une primitive de la fonction
¯
¯ h
¯
¯
:
R
sin4 (x) cos3 (x).
Exercice 24
1. Soit θ ∈ R. Démontrer :
sin(5θ) = (16cos(θ)4 − 12cos(θ)2 + 1) sin(θ).
2. Résoudre l’équation
16x 4 − 12x 2 + 1 = 0
d’inconnue x ∈ R.
3. En déduire que
cos
³π´
5
=
p
1+ 5
.
4
Exercice 25
Soient n ∈ N∗ et t ∈ R. Calculer les trois sommes suivantes.
à !
n
n
X
X
n
sin(kt )
S 2 (n, t ) :=
cos(kt )
S 1 (n, t ) :=
k=0 k
k=0
à !
n
(−1)
S 3 (n, t ) :=
sin(kt )
k
k=0
n
X
k