Feuille d`exercices n°4 Nombres complexes et trigonométrie − partie 3

Lycée Benjamin Franklin PTSI −2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°4
Nombres complexes et trigonométrie −partie 3
Exercice 19
1. Soit θ∈[0, π]. Montrer que :
cosµθ
2¶=s1+cos(θ) 2et sinµθ 2¶=s1−cos(θ) 2.
2. Déduire de la question 1 les valeurs de cos ¡π
8¢et sin¡π 8¢, puis celles de cos¡π 16 ¢et sin¡π 16 ¢.
3. Déduire de la question 1 les valeurs de cos ¡π
12 ¢et sin¡π 12 ¢, puis celles de cos¡π 24 ¢et sin¡π 24 ¢.
Exercice 20
Soient z1et z2des nombres complexes de module 1, tels que z1z26=−1. Démontrer que le nombre complexe
z1+z2
1+z1z2
est réel, et préciser son module.
Exercice 21
Soit z∈C\ {1}. Démontrer :
|z|=1⇔1+z
1−z∈iR.
Exercice 22
1. Soit θ∈]−π,π[. Justifier que le nombre t=tan ³θ
2´est bien défini et montrer que :
cos(θ)=1−t2
1+t2et sin(θ)=2t 1+t2.
2. On considère l’équation
(E) : x2+y2=z2
d’inconnue (x,y,z)∈(Z∗)2.
(a) Déterminer dix triplets d’entiers relatifs solutions de (E).
(b) Démontrer que (E) possède une infinité de triplets d’entiers relatifs solutions.
Exercice 23
1. (a) Soit θ∈R. Linéariser cos4(θ).
(b) En déduire une primitive de la fonction
¯¯¯¯
f:R→R
x7→ cos4(x).

2. (a) Soit θ∈R. Linéariser sin6(θ).
(b) En déduire une primitive de la fonction
¯¯¯¯
g:R→R
x7→ sin6(x).
3. (a) Soit θ∈R. Linéariser sin4(θ) cos3(θ).
(b) En déduire une primitive de la fonction
¯¯¯¯
h:R→R
x7→ sin4(x)cos3(x).
Exercice 24
1. Soit θ∈R. Démontrer :
sin(5θ)=(16cos(θ)4−12cos(θ)2+1) sin(θ).
2. Résoudre l’équation
16x4−12x2+1=0
d’inconnue x∈R.
3. En déduire que
cos³π
5´=1+p5 4.
Exercice 25
Soient n∈N∗et t∈R. Calculer les trois sommes suivantes.
S1(n,t) :=
n
X
k=0
sin(kt)S2(n,t) :=
n
X
k=0Ãn
k!cos(kt)S3(n,t) :=
n
X
k=0
(−1)kÃn
k!sin(kt)