1) Définition du corps des complexes

Exposé 16 : Introduction et construction du corps
ℂ
des complexes.Propriétés
Pré requis :
- Notion de corps
- Morphisme de corps
-
ℝ
est corps
Intro : L'équation x²=-1 n'admet pas de solution dans
ℝ
.On va construire un ensemble qui
contient
ℝ
, sui possède les lois + et x de
ℝ
et dans lequel cette équation admet des
solutions
1) Définition du corps des complexes
a) Contruction de
ℂ
Théorème : On munit
ℝ×ℝ
de deux lois de composition internes + et x définis par :
∀ a , b,a ' , b '∈ℝ×ℝ
:
a ,ba ' , b ' = aa ' , bb '
a , bxa ' , b ' =aa '−bb ' , ab ' a ' b
alors
ℝ×ℝ ,, x 
est un corps
Démonstration :
On vérifie que
.
ℝ×ℝ , 
est groupe abélien( ie + , associative , commutative et , neutre ,
inverse)
. x est associative commutative (1,0) comme élément neutre et tout élément non nul
admet un symétrique.
. x est distributive par rapport à +
preuve :
f(1)=(1,0)
∀a , a ' ∈ℝ faa ' =aa ' ,0=a,0 a ' ,0= fa fa ' 
fa.a ' =a.a ' ,0=a,0.a ' ,0= fa.fa ' 
ker f= {0} donc f est injective
soit
a,0∈A , f a=a,0
donc f est surjective.
Propriété Soit A={(a,0), a réel} alors A est un sous cors de
ℝ ,, x
Théorème : L'application
f :ℝ  A
aa,0
est un isomorphisme de corps
ℝ ,, x
dans le
corps
A ,, x
.
Propriété :
∀ a , b∈ℝ×etR ,
s'écrit de manière unique sous la forme (a,0)+(0,1).(b,0).

Remarque (0,1).(0,1)=(-1,0)
conséquence Si on note i=(0,1) alors tout élément (a,b) peut -être identifié à a+ib de manière
unique.
On définit
ℂ={aib ,a , b∈ℝ×ℝ}
alors l'application
:ℝ×ℝ  ℂ
a , b aib
esy un
isomorphisme de corps
b) Définition
Notation a= Re(z) , b=Im(z)
2) Propriétés et calculs dans
ℂ
:
a) Règles de calculs dans
ℂ
b) Conjugaison
Propriété :
∀z , z ' ∈ℂ
:
1.
zz' ²=z22zz 'z '2
calcul
2.
z2−z' 2= zz '  z−z ' 
calcul
3.
zz '=0⇔z=0ou z '=0
(corps donc anneau intègre)
4.
∀n∈ℕ ∗
zz' n=∑
i=0
n
n
k
zkz 'n−k
Définition : Soit
z∈ℂ
, z=a+ib avec (a,b)
∈ℝ×ℝ
. On appelle conjugué de z le
complexe noté
z=a−ib
Théorème
ℂ ,, x 
est un corps commutatif appelé corps des complexes
Définition Soit
z∈ℂ ,∃!a , b∈ℝ×ℝ tq z =aib ,
est appelé forme algébrique du
complexe z.
a est appelé partie réelle de z
b _____________ imaginaire de z
Définition , on dit que z est réel pur si Im(z)=0 , on dit que z est un imaginaire pur si Re(z)=0

Remarque : On introduit le conjugué d'un nombre complexe car il permet en autres
d'exprimer facilement sous forme algébrique l'inverse d'un nombre complexe non nul.
Demonstration :Evident en passant z sous forme algébrique
c) Résolution dans
ℂ
d'une équation du 2nd degré à coefficients
réels
Démonstration
z2= avec 0⇔z2=i −2
⇔z2−−i −2=0
⇔ z−i − zi −=0
⇔z=i − ou z=−i −
Démonstration :
On suppose Δ<0
az² bzc=O⇔az²b
azc a=0
⇔ zb
2a ²−b 4a² c a=0
⇔ zb
2a ²=b²−4ac 4a²
⇔ zb
2a ²=Δ
4a20
⇔Si Z = zb
2a ,= Δ
4a20, on a Z2=
⇔zb
2a =i
−Δ
2a ou zb 2a =−i
−Δ
2a
Propriété : Soit
z∈ℂ∖{O}
, z=a+ib alors
1
z=a−ib
a2b2=
z
a2b2
Propriétés
∀z , z '∈ℂ
1.
zz '= z z '
2.
zz '= z z'
3. Si
z≠0, 1
z= 1 z
4.
z z=2 Rez
5.
z− z=2 Im z
6.
z=z
7.
z z=a2b2
si z=a+ib
Théorème :
z2=
avec
∈ℝ ∗−
admet deux racines complexes conjuguées.
Théorème : Soit
a ,b , c ∈ℝ , a≠0
et l'équation (E) , az²+bz+c=0
avec Δ=b²-4ac
Si Δ<0 alors l'équation admet 2 solution complexes conjuguées

d) Résolution dans
ℂ
d'une équation du second degré à coefficients
complexes
Remarque : Pour démontrer le lemme on introduit le modules d'un nombre complexe.
Preuve complexe à faire ou ne pas faire :
z² =
, on pose
z=aib =cid
.
z2=x² 2ixy−y²
donc
x² −y² =b
2xy=c⇔x² −y²=b 4x²y²=c²
Or on sait aussi que
∣
z²
∣
=
∣ ∣
d'où
x² y²= b²c²
Soit on a
x²−y² =b
x² y² = b²c²
2xy=c
⇔2x²=b
b²c²
x² y²= b² c²
2xy=c
⇔x²=b
b²c²
2
x²y² = b² c²
2xy=c
⇔x² =b
b²c²
2
y² =b− b²c²
2xy=c
⇔
x=
b b²c²
2
y=
−b b² c²
2
ou
x=−
b b²c²
2
y=−
−b b² c²
2
si c0
⇔
x=−
b b²c²
2
y=
−b b² c²
2
ou
x=
b b² c²
2
y=−
−b b² c²
2
si c0
Il y a donc bien deux solutions complexes.
az²bzc=O⇔az² b
azc a=0
⇔ zb
2a ²−b 4a² c a=0
⇔ zb
2a ²=b² −4ac 4a²
⇔ zb
2a ²=Δ
4a2
⇔Si Z = zb
2a ,= Δ
4a2∈ℂ , on a Z 2=
⇔il y a donc bien deux solutions.
Généralisation :
Lemme : Soit
∈ℂ ∗
, l'équation
z2=
admet deux solutions dans
ℂ
.
Théorème : Soit
a , b , c∈ℂ ∗×ℂ2
l'équation (E) : az²+bz+c=0 avec Δ=b²-4ac :
Si Δ
≠0
, deux solutions complexes distinctes.
Si Δ=0 , une solution complexe double.
Théorème d'Alembert :
Tout polynôme à coefficient complexe non constant admet au moins une racine dans
ℂ