1) Définition du corps des complexes

Exposé 16 : Introduction et construction du corps ℂ des complexes.Propriétés
Pré requis :
- Notion de corps
- Morphisme de corps
ℝ est corps
Intro : L'équation x²=-1 n'admet pas de solution dans ℝ .On va construire un ensemble qui
contient ℝ , sui possède les lois + et x de ℝ et dans lequel cette équation admet des
solutions
1) Définition du corps des complexes
a) Contruction de ℂ
Théorème : On munit ℝ×ℝ de deux lois de composition internes + et x définis par :
∀ a , b ,a ' , b '∈ℝ×ℝ :
alors
a ,ba ' , b ' = aa ' , bb '
a , b x a ' , b ' =aa '−bb ' , ab 'a ' b
ℝ×ℝ ,, x  est un corps
Démonstration :
On vérifie que
. ℝ×ℝ ,   est groupe abélien( ie + , associative , commutative et , neutre ,
inverse)
. x est associative commutative (1,0) comme élément neutre et tout élément non nul
admet un symétrique.
. x est distributive par rapport à +
Propriété Soit A={(a,0), a réel} alors A est un sous cors de ℝ ,, x
Théorème : L'application
f : ℝ  A est un isomorphisme de corps ℝ ,, x dans le
a a ,0
corps  A ,, x .
preuve :
f(1)=(1,0)
∀ a , a ' ∈ℝ f aa ' =aa ' ,0=a ,0 a ' ,0= f a  f a ' 
f a.a ' =a.a ' ,0=a ,0 .a ' ,0= f a . f a ' 
ker f= {0} donc f est injective
soit a ,0∈ A , f  a=a ,0 donc f est surjective.
Propriété : ∀ a , b∈ℝ×etR , s'écrit de manière unique sous la forme (a,0)+(0,1).(b,0).
Remarque (0,1).(0,1)=(-1,0)
conséquence Si on note i=(0,1) alors tout élément (a,b) peut -être identifié à a+ib de manière
unique.
On définit ℂ={aib ,a , b∈ℝ×ℝ} alors l'application
: ℝ×ℝ  ℂ
esy un
a , b  aib
isomorphisme de corps
Théorème
ℂ ,, x  est un corps commutatif appelé corps des complexes
b) Définition
Définition Soit z ∈ℂ , ∃! a , b∈ℝ×ℝ tq z =aib , est appelé forme algébrique du
complexe z.
a est appelé partie réelle de z
b _____________ imaginaire de z
Notation a= Re(z) , b=Im(z)
Définition , on dit que z est réel pur si Im(z)=0 , on dit que z est un imaginaire pur si Re(z)=0
2) Propriétés et calculs dans
ℂ
:
a) Règles de calculs dans ℂ
Propriété : ∀ z , z ' ∈ℂ
²
:
2
2
1.
 z z '  =z 2zz ' z '
calcul
2.
 z 2− z ' 2= z z '  z −z '  calcul
3.
zz '=0⇔ z=0 ou z '=0 (corps donc anneau intègre)
4.
∀ n∈ℕ ∗
n
n
k
n−k
 z z '  =∑ n z z '
k
i =0

b) Conjugaison
Définition : Soit z ∈ℂ , z=a+ib avec (a,b)
complexe noté z =a−ib
∈ℝ×ℝ . On appelle conjugué de z le
Remarque : On introduit le conjugué d'un nombre complexe car il permet en autres
d'exprimer facilement sous forme algébrique l'inverse d'un nombre complexe non nul.
1 a−ib
z
=
= 
Propriété : Soit z ∈ℂ∖ {O} , z=a+ib alors
z a 2b 2 a 2b 2
Propriétés ∀ z , z '∈ℂ
 '=z  z'
z z
1.
zz '= z z'
2.
1 1
3. Si z ≠0 ,  =
z z
z z =2 Re z 
4.
z −z =2 Im  z 
5.
6. z =z
7.
z z =a 2b 2 si z=a+ib
Demonstration :Evident en passant z sous forme algébrique
c) Résolution dans ℂ d'une équation du 2nd degré à coefficients
réels
Théorème :
z 2 = avec ∈ℝ ∗− admet deux racines complexes conjuguées.
Démonstration
2
z 2 = avec 0⇔ z 2=i −
2
2
⇔ z −−i  − =0
⇔ z −i  − zi −=0
⇔ z=i − ou z=−i −
Théorème : Soit a ,b , c ∈ℝ , a≠0 et l'équation (E) , az²+bz+c=0
avec Δ=b²-4ac
Si Δ<0 alors l'équation admet 2 solution complexes conjuguées
Démonstration :
On suppose Δ<0
b
c
az² bz c=O ⇔ a  z² z =0
a
a
b
b
c
⇔ z ²−
 =0
2a
4a² a
b
b²−4ac
⇔ z  ²=
2a
4a²
b
Δ
⇔ z   ²= 2 0
2a
4a
b
Δ
2
⇔ Si Z = z  , = 2 0, on a Z =
2a
4a
b
−Δ ou z b =−i −Δ
⇔ z =i
2a
2a
2a
2a
d) Résolution dans ℂ d'une équation du second degré à coefficients
complexes
Lemme : Soit ∈ℂ ∗ , l'équation z 2 = admet deux solutions dans ℂ .
Remarque : Pour démontrer le lemme on introduit le modules d'un nombre complexe.
Preuve complexe à faire ou ne pas faire :
z² = , on pose z =aib =cid .
x² − y² =b ⇔ x² − y²=b
Or on sait aussi que ∣z²∣=∣∣
z 2 =x² 2ixy − y² donc
2xy=c
4x²y²=c²
d'où x²  y²=  b²c² Soit on a
b b²c²
b  b²c²
x²− y² =b
x² =
2x²=b  b²c² x²=
2
2
⇔
x²  y² = b²c² ⇔ x²  y²= b² c² ⇔
x² y² = b² c² y² =b− b²c²
2xy=c
2xy=c
2xy=c
2xy=c
b b²c²
b b²c²
x=
x=−
2
2
⇔
ou
 si c0
−b b² c²
−b b² c²
y=
y=−
2
2






b b²c²
b b² c²
x=
2
2
⇔
ou
 si c0
−b b² c²
−b b² c²
y=
y=−
2
2

x=−

Il y a donc bien deux solutions complexes.
Théorème : Soit a , b , c∈ℂ ∗ ×ℂ2 l'équation (E) : az²+bz+c=0 avec Δ=b²-4ac :
Si Δ ≠0 , deux solutions complexes distinctes.
Si Δ=0 , une solution complexe double.
b
c
az²bzc=O⇔ a  z²  z =0
a
a
b
b
c
⇔ z   ²−
 =0
2a
4a² a
b
b² −4ac
⇔ z  ²=
2a
4a²
b
Δ
⇔ z  ²= 2
2a
4a
b
Δ
2
⇔ Si Z = z  , = 2 ∈ℂ , on a Z =
2a
4a
⇔il y a donc bien deux solutions.
Généralisation :
Théorème d'Alembert :
Tout polynôme à coefficient complexe non constant admet au moins une racine dans ℂ