Nom Prénom : TESL Test 3 (sujet A) I) Citer le théorème des valeurs

Nom Prénom :
TESL
Nom Prénom :
Test 3 (sujet A)
TESL
Test 3 (sujet B)
I) Citer le théorème des valeurs intermédiaires :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b].
Si
…
I) Citer le théorème des valeurs intermédiaires :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b].
Si
…
Alors…
Alors…
II) Soit f la fonction définie sur [-2 ; 2] par f (x) = 2 x3 – 3 x2 + 8.
a) Calculer f’(x) et étudier son signe. En déduire le tableau de variations de f
sur [-2 ; 2].
b) Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution  [-2 ; 2].
c) Donner un encadrement de  à 0,01 près.
II) Soit f la fonction définie sur [-3 ; 4] par f (x) = - x3 + 1,5 x2 + 2.
a) Calculer f’(x) et étudier son signe. En déduire le tableau de variations de f
sur [-3 ; 4].
b) Démontrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution  [-3 ; 4].
c) Donner un encadrement de  à 0,01 près.
Nom Prénom :
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TESL
Test 3 (sujet A)
TESL
Test 3 (sujet B)
I) Citer le théorème des valeurs intermédiaires :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b].
Si
…
I) Citer le théorème des valeurs intermédiaires :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b].
Si
…
Alors…
Alors…
II) Soit f la fonction définie sur [-2 ; 2] par f (x) = 2 x3 – 3 x2 + 8.
a) Calculer f’(x) et étudier son signe. En déduire le tableau de variations de f
sur [-2 ; 2].
b) Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution  [-2 ; 2].
c) Donner un encadrement de  à 0,01 près.
II) Soit f la fonction définie sur [-3 ; 4] par f (x) = - x3 + 1,5 x2 + 2.
a) Calculer f’(x) et étudier son signe. En déduire le tableau de variations de f
sur [-3 ; 4].
b) Démontrer que l’équation f (x) = 1 admet une unique solution  [-3 ; 4].
c) Donner un encadrement de  à 0,01 près.
Citer le théorème des valeurs intermédiaires :
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ; b].
Si
f est continue et croissante (ou décroissante) sur [a ; b]
k est compris entre f(a) et f(b)
Alors l’équation f(x) = k a une unique solution α [a ; b].
Correction sujet B :
a) f’(x) = -3 x2 + 3 x = x (3 – 3 x)
f’(x) = 0  x = 0 ou 3 – 3 x = 0  x = 0 ou 3x = 3  x = 0 ou x = 1
f’(x) est du signe de a = -3 à l’extérieur de ses racines.
x
Correction sujet A :
a) f’(x) = 6 x2 – 6 x = x (6x – 6)
f’(x) = 0  x = 0 ou 6x – 6 = 0  x = 0 ou 6x = 6  x = 0 ou x = 1
f’(x) est du signe de a = 6 à l’extérieur de ses racines.
x
-2
f’(x)
Var
de
f
0
+
0
1
–
0
f’(x)
Var
de
f
+
12
7
f(-2) = 2  (-8) – 3  4 + 8 = - 16 – 12 + 8 = - 20
f(0) = 2  (0) – 3  0 + 8 = 8
f(1) = 2  (1) – 3  1 + 8 = 2 – 3 + 8 = 7
f(2) = 2  (8) – 3  4 + 8 = 16 – 12 + 8 = 12
b) Le minimum de f sur [0 ; 2] est f(1) = 7 > 0, donc l’équation f(x) = 0 n’a
pas de solution dans [0 ; 2].
Sur [-2 ; 0], f est continue et croissante.
0 est compris entre f(-2) = -20 et f(0) = 8.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 0 admet
une unique solution  [-2 ; 0].
L’équation f (x) = 0 admet une unique solution  [-2 ; 2].
c) -1,3 <  < -1,2
-1,22 <  < -1,21
0
–
0
42,5
1
+
0
4
–
2,5
2
- 38
2
8
-20
-3
(recherche sur [-2 ; 0] avec un pas de 0,1)
(recherche sur [-1,3 ; -1,2] avec un pas de 0,01)
f(-3) = - (-27) + 1,5  9 + 2 = 27 + 13,5 + 2 = 42,5
f(0) = 2
f(1) = - 1 + 1,5 + 2 = 2,5
f(4) = - 64 + 1,5  16 + 2 = -64 + 24 + 2 = - 38
b) Le minimum de f sur [-3 ; 1] est f(0) = 2 > 1, donc l’équation f(x) = 1 n’a
pas de solution dans [-3 ; 1].
Sur [1 ; 4], f est continue et décroissante.
1 est compris entre f(1) = 2,5 et f(4) = -38.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f (x) = 1 admet
une unique solution  [1 ; 4].
L’équation f (x) = 1 admet une unique solution  [-3 ; 4].
c) 1,8 <  < 1,9
1,8 <  < 1,81
(recherche sur [1 ; 4] avec un pas de 0,1)
(recherche sur [1,8 ; 1,9] avec un pas de 0,01)