Fiche 035 - loi de probabilité continue

Lois de probabilités continues
Soit I un intervalle de R . On appelle densité de probabilité sur 3
33
3 toute fonction f continue
et positive sur I telle que
- si I = [a,b] , ∫
∫∫
∫
a
b
f(t) dt = 1 et si I = [a;+∞
∞∞
∞[ , lim
x→
→→
→+∞
∞∞
∞
∫
∫∫
∫
a
x
f(t) dt = 1
On définit la loi de probabilité P de densité f sur I en associant à tout intervalle [c;d] ⊂
⊂⊂
⊂ I ,
le réel P([c;d]) = ∫
∫∫
∫
c
d
f(t) dt .
Exemple 1
On tire sur une cible de 1 m de rayon , sans jamais la manquer .
La variable aléatoire X qui donne la distance du point d'impact au centre prend toutes les
valeurs de l'intervalle [0;1] .
a. Calculer F(t) = p(X < t) . On supposera que la probabilité d'atteindre un domaine de la
cible est proportionnelle à son aire .
b. En déduire la densité de probabilité f de X .Représenter f .(c'est la dérivée de F)
c. Déterminer p(a < X < b)
d. Calculer p(X > 1
2)
e. Calculer p(0 < X < 1) . Pouvait-on le prévoir ?
Si K et J sont des intervalles de I avec P(K) ≠
≠≠
≠ 0
la probabilité P
K
(J) de J sachant K est par définition égale à P(J ∩
∩∩
∩ K)
P(K)
Exemple 2
En reprenant les conditions de l'exemple 1, on sait que la distance du point d'impact au centre
est supérieur à 1
4 . Quelle est la probabilité que la distance du point d'impact au centre soit
supérieure à 1
2
.
Si X est une variable aléatoire prenant ses valeurs sur I , associée à la loi de probabilité P
de densité f , alors on dit que X est la variable aléatoire de densité f et on note :
P(c ≤
≤≤
≤ X ≤
≤≤
≤ d) = ∫
∫∫
∫
c
d
f(x) dx .
On a aussi P(X ≤
≤≤
≤ x) = ∫
∫∫
∫
a
x
f(t) dt et P(X ≥
≥≥
≥ x) = 1 −
−−
− ∫
∫∫
∫
a
x
f(t) dt
Exemple 3
A partir de 7 heures , les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt précis .
Un usager se présente à cet arrêt entre 7 h et 7 h 30 .
On appelle X la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en minutes entre 7 h et l'heure
d'arrivée de l'usager . X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle [0;30] .
On suppose que la densité de probabilité de X est une fonction f constante sur [0;30] .
a. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de 5 minutes le prochain bus ?
b. Quelle est la probabilité que l'usager attende plus de 10 minutes ?
c. Sachant que le bus n'est pas passé lorsque l'usager se présente à 7h 10 , quelle est la
probabilité que l'usager attende moins de 5 minutes

Soit X une variable aléatoire associée à la loi uniformément distribuée sur [0;1]
c'est-à-dire de densité la fonction f définie sur [0;1] par f(x) = 1 sur [0;1] .
−
−−
− Pour tous réels c et d de [0;1] , P(c ≤
≤≤
≤ X ≤
≤≤
≤ d) = d −
−−
− c
−
−−
− Pour tout réel x de [0;1] , P(X ≤
≤≤
≤ x) = x et P(X ≥
≥≥
≥ x) = 1 −
−−
− x
Exemple 4 (idem exemple 4 en remplaçant minutes en heures)
A partir de 7 heures , les bus passent toutes les 30 minutes à un arrêt précis .
Un usager se présente à cet arrêt entre 7 h et 8 h .
On appelle X la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en heures entre 7 h et l'heure
d'arrivée de l'usager . X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle [0;1] .
On suppose que la densité de probabilité de X est une fonction f constante sur [0;1] .
a. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de 15 minutes le prochain bus ?
b. Quelle est la probabilité que l'usager attende plus de 30 minutes ?
c. Sachant que le bus n'est pas passé lorsque l'usager se présente à 7h 40 , quelle est la
probabilité que l'usager attende moins de 10 minutes
Soit X une variable aléatoire associée à la loi exponentielle de paramètre λ > 0,
c'est-à-dire de densité la fonction f définie sur [0;+∞[ par f(x) = λ
λλ
λ e
−
−−
−λ
λλ
λx
.
−
−−
− Pour tous réels c et d de [0;+∞
∞∞
∞] , P(c ≤
≤≤
≤ X ≤
≤≤
≤ d) = e
−
−−
−λ
λλ
λc
−
−−
− e
−
−−
−λ
λλ
λd
−
−−
− Pour tout réel x de [0;+∞
∞∞
∞[ , P(X ≤
≤≤
≤ x) = 1 −
−−
− e
−
−−
−λ
λλ
λx
et P(X ≥
≥≥
≥ x) = e
−
−−
−λ
λλ
λx
Exemple 5
La durée de vie en heures d'une ampoule , notée T , suit une loi de durée de
vie sans vieillissement (ou loi exponentielle) de paramètre λ avec λ = 1
50 000 = 2.10
−5
.
a. Quelle est la probabilité P
1
qu'une ampoule dure plus de 25 000 heures ?
Donner la valeur exacte de P
1
?.
b. Quelle est la probabilité P
2
qu'une ampoule dure plus de 50 000 heures ?
Donner la valeur exacte de P
2
.
c. Quelle est la probabilité P
3
qu'une ampoule dure plus de 50 000 heures , sachant qu'elle a
déjà duré 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P
3