Fiche 035 - loi de probabilité continue

Lois de probabilités continues
Soit I un intervalle de R . On appelle densité de probabilité sur 3 toute fonction f continue
et positive sur I telle que
∫
∫
b
x
- si I = [a,b] , a f(t) dt = 1 et si I = [a;+∞
∞[ , lim a f(t) dt = 1
x→
→+∞
∞
On définit la loi de probabilité P de densité f sur I en associant à tout intervalle [c;d] ⊂ I ,
∫
d
le réel P([c;d]) = c f(t) dt .
Exemple 1
On tire sur une cible de 1 m de rayon , sans jamais la manquer .
La variable aléatoire X qui donne la distance du point d'impact au centre prend toutes les
valeurs de l'intervalle [0;1] .
a. Calculer F(t) = p(X < t) . On supposera que la probabilité d'atteindre un domaine de la
cible est proportionnelle à son aire .
b. En déduire la densité de probabilité f de X .Représenter f .(c'est la dérivée de F)
c. Déterminer p(a < X < b)
1
d. Calculer p(X > )
2
e. Calculer p(0 < X < 1) . Pouvait-on le prévoir ?
Si K et J sont des intervalles de I avec P(K) ≠ 0
la probabilité PK(J) de J sachant K est par définition égale à
P(J ∩ K)
P(K)
Exemple 2
En reprenant les conditions de l'exemple 1, on sait que la distance du point d'impact au centre
1
est supérieur à . Quelle est la probabilité que la distance du point d'impact au centre soit
4
1
supérieure à
2
.
Si X est une variable aléatoire prenant ses valeurs sur I , associée à la loi de probabilité P
de densité f , alors on dit que X est la variable aléatoire de densité f et on note :
∫
d
P(c ≤ X ≤ d) = c f(x) dx .
∫
x
∫
x
On a aussi P(X ≤ x) = a f(t) dt et P(X ≥ x) = 1 − a f(t) dt
Exemple 3
A partir de 7 heures , les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt précis .
Un usager se présente à cet arrêt entre 7 h et 7 h 30 .
On appelle X la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en minutes entre 7 h et l'heure
d'arrivée de l'usager . X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle [0;30] .
On suppose que la densité de probabilité de X est une fonction f constante sur [0;30] .
a. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de 5 minutes le prochain bus ?
b. Quelle est la probabilité que l'usager attende plus de 10 minutes ?
c. Sachant que le bus n'est pas passé lorsque l'usager se présente à 7h 10 , quelle est la
probabilité que l'usager attende moins de 5 minutes
Soit X une variable aléatoire associée à la loi uniformément distribuée sur [0;1]
c'est-à-dire de densité la fonction f définie sur [0;1] par f(x) = 1 sur [0;1] .
− Pour tous réels c et d de [0;1] , P(c ≤ X ≤ d) = d − c
− Pour tout réel x de [0;1] , P(X ≤ x) = x et P(X ≥ x) = 1 − x
Exemple 4 (idem exemple 4 en remplaçant minutes en heures)
A partir de 7 heures , les bus passent toutes les 30 minutes à un arrêt précis .
Un usager se présente à cet arrêt entre 7 h et 8 h .
On appelle X la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en heures entre 7 h et l'heure
d'arrivée de l'usager . X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle [0;1] .
On suppose que la densité de probabilité de X est une fonction f constante sur [0;1] .
a. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de 15 minutes le prochain bus ?
b. Quelle est la probabilité que l'usager attende plus de 30 minutes ?
c. Sachant que le bus n'est pas passé lorsque l'usager se présente à 7h 40 , quelle est la
probabilité que l'usager attende moins de 10 minutes
Soit X une variable aléatoire associée à la loi exponentielle de paramètre λ > 0,
c'est-à-dire de densité la fonction f définie sur [0;+∞[ par f(x) = λ e−λx .
− Pour tous réels c et d de [0;+∞
∞] , P(c ≤ X ≤ d) = e−λc − e−λd
− Pour tout réel x de [0;+∞
∞[ , P(X ≤ x) = 1 − e−λx et P(X ≥ x) = e−λx
Exemple 5
La durée de vie en heures d'une ampoule , notée T , suit une loi de durée de
1
vie sans vieillissement (ou loi exponentielle) de paramètre λ avec λ =
= 2.10−5 .
50 000
a. Quelle est la probabilité P1 qu'une ampoule dure plus de 25 000 heures ?
Donner la valeur exacte de P1 ?.
b. Quelle est la probabilité P2 qu'une ampoule dure plus de 50 000 heures ?
Donner la valeur exacte de P2 .
c. Quelle est la probabilité P3 qu'une ampoule dure plus de 50 000 heures , sachant qu'elle a
déjà duré 25 000 heures ? Donner la valeur exacte de P3