F041 Lois de probabilités continues

Lois de probabilités continues
Soit I un intervalle de R . On appelle densité de probabilité sur 3 toute fonction f continue et
∫
b
∫
x
positive sur I telle que - si I = [a,b] , a f(t) dt = 1 et si I = [a;+∞[ , lim a f(t) dt = 1
x→+∞
On définit la loi de probabilité P de densité f sur I en associant à tout intervalle [c;d] ⊂ I ,
∫
d
le réel P([c;d]) = c f(t) dt .
Si K et J sont des intervalles de I avec P(K) ≠ 0
P(J ∩ K)
P(K)
Si X est une variable aléatoire prenant ses valeurs sur I , associée à la loi de probabilité P de
densité f , alors on dit que X est la variable aléatoire de densité f et on note :
la probabilité PK(J) de J sachant K est par définition égale à
∫
d
P(c ≤ X ≤ d) = c f(x) dx .
∫
x
∫
x
On a aussi P(X ≤ x) = a f(t) dt et P(X ≥ x) = 1 − a f(t) dt
§ On tire sur une cible de 1 m de rayon , sans jamais la manquer .
La variable aléatoire X qui donne la distance du point d'impact au centre prend toutes les
valeurs de l'intervalle [0;1] .
a. Calculer F(t) = p(X < t) . On supposera que la probabilité d'atteindre un domaine de la
cible est proportionnelle à son aire .
b. En déduire la densité de probabilité f de X .Représenter f .
c. Déterminer p(a < X < b)
1
d. Calculer p(X > )
2
e. Calculer p(0 < X < 1) . Pouvait-on le prévoir ?
§ A partir de 7 heures , les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt précis .
Un usager se présente à cet arrêt entre 7 h et 7 h 30 .
On appelle X la variable aléatoire qui donne le temps écoulé en minutes entre 7 h et l'heure
d'arrivée de l'usager . X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle [0;30] .
On suppose que la densité de probabilité de X est une fonction f constante sur [0;30] .
a. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de 5 minutes le prochain bus ?
b. Quelle est la probabilité que l'usager attende plus de 10 minutes ?
§ On note X la variable aléatoire qui désigne la durée d'une conversation téléphonique .
X peut prendre toutes les valeurs de [0;+∞[ .On suppose que la densité de probabilité de X
1
1 − 10 x
e
10
a. Quelle est la probabilité que la conversation dure plus de 10 minutes ?
b. Quelle est la probabilité que la conversation dure entre 10 et 20 minutes ?
est la fonction f définie sur [0;+∞[ par f(x) =