Leçon n°16 Cinématique

Leçon n°16 Cinématique
0) Rappels ; cercle, arc, angle, angle infinitésimal.
L’arc AB, distance mesurée en suivant l’arc de cercle avec un mètre à ruban a pour valeur R si est exprimée en
radians, la circonférence du cercle est C=2 R car alors on considère un tour complet.
Pour un angle infinitésimal on pourra considérer que arc corde et hauteur son confondues et écrire
sin =tan = =arc/R=corde/rayon = hauteur / rayon
Ne confondez pas la surface du disque avec la circonférence 2 R
Ne confondez pas le volume de la boule
3
4
3R
avec la surface de la sphère 4 R²
Pour passer de la mesure du territoire à la mesure de sa frontière on dérive
A
B
O
R
R
A
B
O
R
R

I) Coordonnées polaires base mobile
1) base mobile polaire
On repère le point mobile M par r =
OM
et
par l’angle entre
x
u et OM
plutôt que par les coordonnées cartésiennes. On parle de rayon et d’angle polaire ce
dernier est orienté dans le sens direct. Le sens direct est sens de la concavité de la main droite le pouce étant dirigé
dans le sens de z. Le sens de l’axe des z pour que x, y , z soit un trièdre direct est donné par l’autre règle de la main
droite pouce selon x , index selon y et majeur selon z.
On définit ur un vecteur unitaire dans la direction de visée O vers M
rOM
uOM
,
u
est obtenu à partir de
r
u
en
tournant ce dernier de + /2 dans le sens trigonométrique.
Si le caractère du repérage en r , peut sembler naturel , à quel distance ? Dans quelle direction ?
On peut se demander ce que nous apportera la base
r
u
,
u
qui n’est pas constante dans le temps puisqu’elle suit le
point mobile M dans son mouvement , on qualifie d’ailleurs cette base de base mobile. On verr
()
r
u t dt
a sur des
exemples que son usage est très pertinent.
rr
On montre que du et que d u soit par la démonstration géométrique ci-dessus ou on ramène les vecteurs unitaires de
la base mobile aux instants t et t+dt à l'origine
on consta
d u u d
r
te ainsi que la direction est la bonne et que la norme voisine de l' arc = d *1 est aussi confirmée
soit par la démonstration plus algébrique ci-dessous :
u cos sin
en effet u cos
xy
uu
r
r r r
r
sin sin cos
22
u sin cos u ( sin cos ) cos sin
u
u u u
uu
d d d
x y x y
x y x y x y
u u u u
donc d u d u d d d u u u d u d
d
d d d
donc tr
rrr
uu
du ' ( )' '( ). '
d dt
du uu
dt dérivation vectorielle d'un vecteur de norme constante ( puisqu'u
du u
dt
z
dd
du c est f g f g g
dt d dt
uu nitaire)
avec , ' des petits chevaux du manège ou plus sérieusement
c'est formule de dérivation vectorielle qui s'applique à tout vecteur de norme constante
d
dt
z
u vecteur rotation c est la formule
V à condition que V V cst
Vendredi 9 janvier Restitution du cours fait en avance pour remplacer Monsieur Leroux
x
y
O
M
r
r
u
u
z
z
x
y
O
M(t)
r
()
r
ut
u
(t)
r+dr
M(t+dt)
u
(t+dt)
d
()
r
u t dt
z
x
y
O
()
r
ut
u
(t)
u
(t+dt)
d
()
r
u t dt
r
du
du

Visite au Lycée de Douarnenez
DM 16 Tir dans un panier de Basket
Pour consultation RP traversée optimale d’une rivière
Mardi 13 janvier
2) Vitesse accélération
décomposition en vitesse radiale et vitesse orthoradiale
r
r
rr
r
r r r
OM ru
du
v ru r ru r u
dt
dr du
du
dv d
a ru r u ru r u r ru r u
dt dt dt dt dt ²
²2
²
1
on retiendra ² qui est plus compacte et ou une primitivé est déjà mise en évidence
r
r
r
r u r u r u
r r u r r u
dr
a r r u u
r dt
3) Mouvement circulaire non uniforme
= La vitesse est orthoradiale uniquement v = R
²
1²
² ²
rr
r
rr
r r r
r R cst
OM ru Ru
du
v ru r ru r u R u
dt
dr v dv
a r r u u R u R u u u
r dt R dt
4) Mouvement circulaire uniforme
= La vitesse est orthoradiale uniquement v = R et cste
²
1²
²
rr
r
rr
rr
r R cst cst
OM ru Ru
du
v ru r ru r u R u
dt
dr v
a r r u u u
r dt R
Petit exercice : le manège Jules Vernes de 4 mètre de rayon sur la place de la cathédrale à Quimper permet d’assoir
des enfants sur des petits chevaux, les enfants ont du mal à résister à une accélération supérieure à 0.1g, Quel est le
nombre de tours maximum par minute pour ce manège si le gérant veut éviter les plaintes des parents ?

5) Balle lancée au dessus d’un plateau tournant coordonnées polaires
Les axes x et y sont liés au laboratoire les axes x’et y’ au plateau tournant à vitesse uniforme.
La balle lancée depuis l’extérieur a pour mouvement x=Vt , y =0 . On néglige le frottement de l’air et on ne
s’intéresse pas au mouvement vertical.
On a ux’=cos( t)ux+ sin( t)uy uy’=-sin( t)ux+ cos( t)uy
ux=cos( t)ux’-sin( t)uy’ uy=sin( t)ux’+ cos( t)uy’
Le mouvement de la balle pour un observateur lié au plateau tournant est Vtux= Vt(cos( t)ux’-sin( t)uy’)
C’est une spirale linéaire en coordonnées polaires par rapport au repère x’ y’ fixe par rapport au plateau r =Vt et
= - t
Cet exemple donne une idée du caractère relatif et composé d’un mouvement
6) Exercice petites souris coordonnées polaires commencé à terminer pour demain
4 petites souris A,B,C et D se trouvent à l’instant initial aux quatre coins d’un carré ABCD de côté a et
chacune d’entre elles court après l’autre avec la même vitesse v constante en module. A court après B, B
après C, C après D et D après A. Les positions initiales sont les suivantes
A( a/√2 , 3 /4) B (a/√2 , /4) C( a/√2 , - /4) D( a/√2 , -3 /4)
1) Quelle est la symétrie du système à l’instant initial ?
2) Cette symétrie sera conservée au cours du mouvement. On a représenté ici le carré occupé par les
petites souris lorsque celui-ci a tourné de /4. Le carré s’est aussi rétréci. Quels sont les sens de variation
de et de r qui repèrent la petite souris A. On remarque que si r(t=0)=a/√2 , on a toujours r(t)=l(t)/ √2,
l(t) étant la distance entre deux petites souris consécutives
x
y
z
x’
y’
t

3) Au bout de combien les petites souris se rencontrent-elles ? On dérivera par rapport au temps l’égalité
AB.AB= l(t)² où l(t) = || AB || représente la distance entre deux petites souris consécutives.
4) Les distances parcourues à chaque tour diminuent. La somme des distances parcourues forme-t-elle
une série Convergente? Quelle distance une quelconque des petites souris a-t-elle parcouru?
5) Déterminer la trajectoire de la souris A en coordonnées polaires r( ). On écrira que la vitesse de A
exprimée dans la base polaire est perpendiculaire à la direction ur-u
6) En déduire le mouvement de A i.e (t) et r(t)
7) Qu’est-ce qu’une figure auto-similaire ?
8) Ce mouvement fait penser au paradoxe de Zénon (Dichotomie du temps) Pourquoi?
x
A
B
C
D
r
y