Vecteurs - Rosamaths

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Chapitre 5 : Vecteurs
Seconde
Fiche d’objectifs du chapitre 5
2016 - 2017
SAVOIR
SAVOIR FAIRE
Exercices
Translation et vecteurs :
- Savoir placer un point défini par une égalité vectorielle
- Utiliser un parallélogramme pour démontrer que deux
vecteurs sont égaux ( et réciproquement )
- Utiliser le milieu d’un segment pour démontrer que deux
vecteurs sont égaux (et réciproquement )
- Utiliser une égalité vectorielle pour démontrer qu’un
point est l’image d’un autre par une translation ( et
réciproquement )
Somme de vecteurs :
- Savoir placer un point défini par une égalité vectorielle
où figure une somme ou une différence de vecteurs
- Savoir utiliser la relation de Chasles
- Utiliser le milieu d’un segment pour démontrer qu’un
vecteur est égal à une somme vectorielle ( et
réciproquement )
Coordonnées d’un vecteur
dans un repère du plan
Dans un repère donné :
- Savoir lire graphiquement les coordonnées d’un vecteur
.
- Savoir construire un vecteur défini par une égalité
vectorielle .
- Savoir calculer les coordonnées d’un vecteur
AB
à
partir des coordonnées des points A et B .
Savoir calculer les coordonnées de la somme de deux
vecteurs
Produit d’un vecteur par
un réel
- Savoir placer un point défini par une égalité vectorielle .
- Savoir calculer les coordonnées d’un point défini par une
égalité vectorielle .
- Savoir calculer les coordonnées du milieu d’un segment .
Vecteurs colinéaires
Dans un repère orthonormé donné :
- Savoir démontrer que deux vecteurs sont colinéaires ou
non .
- Savoir utiliser la colinéarité de deux vecteurs pour
démontrer l’alignement de trois points ou non .
- Savoir utiliser la colinéarité de deux vecteurs pour
démontrer que deux droites sont parallèles ou non .

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I – Translation :
I . 1 Activité d’introduction :
Une télécabine se déplace le long d’un câble
de  vers  .
Dessiner ci – contre la télécabine lorsqu’elle
sera arrivée au terminus  .
On appelle ce déplacement une
…………………………… de  vers  .
A retenir : Déplacer une figure par translation , c’est faire glisser cette figure sans la faire tourner .
Pour décrire ce déplacement , il faut donc donner la direction , le sens et la longueur de ce
parcours . Pour cela , on va utiliser un nouvel outil mathématique : les vecteurs .
I . 2 Translation
Définition : On considère deux points distincts A et B .
A tout point C du plan , on associe , par la translation qui transforme A en B , l’unique
point D tel que
AD
et
BC
ont le même milieu .
Remarques : 1) On dit que D est l’image de C par la translation qui transforme A en B .
2) La figure obtenue est un ……………………..

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II – Vecteurs :
II . 1 Qu’est – ce qu’un vecteur ?
Définition : La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur
AB
.
On dit que  est l’origine du vecteur
AB
et que  est son extrémité .
Caractérisation d’un vecteur : Un vecteur ( non nul ) est la donnée de trois éléments :
1) une direction ( une droite , deux droites parallèles ont la même direction )
2) un sens de parcours de cette direction .
3) une longueur ( appelée norme ) .
Exemples :
1) Le vecteur formé de la direction
AB
, de sens
« de A vers B » et de longueur AB est noté
AB
.
2) Les vecteurs
et AB CD
ont …………………………
………………………………………………………
3) Les vecteurs
et AB BA
ont …………………………
………………………………………………………
II . 2 Vecteurs égaux :
Définition : On dit que deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction , le même sens et la
même longueur .
Exemple :
AB CD
signifie que :
Remarque : Si deux vecteurs sont égaux , alors ils définissent la même translation .
Il existe donc une infinité de vecteurs associés à la même translation .

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II . 3 Notation 
:
La translation de vecteur
AB
transforme le point  en
 , le point  en  …
On a
...AB CD EF  
On dit que
, , , ...AB CD EF
sont des représentants
d’un même vecteur que l’on peut également noter
u
On dit que
AB
est le représentant du vecteur
u
d’origine A .
II . 4 Vecteurs particuliers :
Définition : Soit  un point quelconque .
Le vecteur
AA
est appelé vecteur nul et noté
0
.
Il n’a pas de direction , ni de sens et sa longueur est nulle .
Remarques :
1)
0AB 
si et seulement si  et  sont ……………………
2) Le vecteur nul est associé à la translation identité ( qui transforme chaque point en lui – même )
Définition : Soit
u
un vecteur non nul .
L’opposé du vecteur
u
est le vecteur noté
u
ayant la même direction que
u
, le sens contraire
à celui de
u
et la même norme que
u
.
Remarque : L’opposé du vecteur
AB
est le vecteur
BA
.
On écrit donc que :
................BA 
II . 5 Vecteurs égaux et translation :
Propriété : Le point D est l’image du point C par la translation de vecteur
AB
si et
seulement si
AB CD

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II . 6 Vecteurs égaux et parallélogramme :
Propriété :
Soient A , B , C et D quatre points distincts deux à deux
AB DC
si et seulement si ABCD est un
parallélogramme ( éventuellement aplati ) .
Remarque :
On a aussi ……………………. ………………………. ……………………..
II . 7 Vecteurs égaux et milieu d’un segment :
Propriété :
Le point I est le milieu du segment
AB
si et seulement si
AI IB
Remarque : On a aussi ……………..
III – Somme de vecteurs :
III . 1 Somme vectorielle :
Définition : On considère deux vecteurs
et uv
.
La somme des vecteurs
et uv
est le vecteur
w
associé à la translation résultant de
l’enchaînement des translations de vecteur
u
et de vecteur
v
.
On écrit :
u v w
Propriété : Pour tous vecteurs
, et u v w
, on a :
u v v u u v w u v w u v w          