Vecteurs - Rosamaths

Chapitre 5 : Vecteurs
Seconde
Fiche d’objectifs du chapitre 5
SAVOIR
Translation et vecteurs :
SAVOIR FAIRE
-
Somme de vecteurs :
2016 - 2017
-
Savoir placer un point défini par une égalité vectorielle
Utiliser un parallélogramme pour démontrer que deux
vecteurs sont égaux ( et réciproquement )
Utiliser le milieu d’un segment pour démontrer que deux
vecteurs sont égaux (et réciproquement )
Utiliser une égalité vectorielle pour démontrer qu’un
point est l’image d’un autre par une translation ( et
réciproquement )
Savoir placer un point défini par une égalité vectorielle
où figure une somme ou une différence de vecteurs
Savoir utiliser la relation de Chasles
- Utiliser le milieu d’un segment pour démontrer qu’un
vecteur est égal à une somme vectorielle ( et
réciproquement )
Coordonnées d’un vecteur
dans un repère du plan
Dans un repère donné :
- Savoir lire graphiquement les coordonnées d’un vecteur
.
- Savoir construire un vecteur défini par une égalité
vectorielle .
- Savoir calculer les coordonnées d’un vecteur AB à
partir des coordonnées des points A et B .
Savoir calculer les coordonnées de la somme de deux
vecteurs
Produit d’un vecteur par
un réel
- Savoir placer un point défini par une égalité vectorielle .
- Savoir calculer les coordonnées d’un point défini par une
égalité vectorielle .
- Savoir calculer les coordonnées du milieu d’un segment .
Vecteurs colinéaires
-
Dans un repère orthonormé donné :
Savoir démontrer que deux vecteurs sont colinéaires ou
non .
Savoir utiliser la colinéarité de deux vecteurs pour
démontrer l’alignement de trois points ou non .
- Savoir utiliser la colinéarité de deux vecteurs pour
démontrer que deux droites sont parallèles ou non .
1
Exercices
I – Translation :
I . 1 Activité d’introduction :
Une télécabine se déplace le long d’un câble
de 𝐴 vers 𝐵 .
Dessiner ci – contre la télécabine lorsqu’elle
sera arrivée au terminus 𝐵 .
On appelle ce déplacement une
…………………………… de 𝐴 vers 𝐵 .
A retenir :
Déplacer une figure par translation , c’est faire glisser cette figure sans la faire tourner .
Pour décrire ce déplacement , il faut donc donner la direction , le sens et la longueur de ce
parcours . Pour cela , on va utiliser un nouvel outil mathématique : les vecteurs .
I . 2 Translation
Définition :
On considère deux points distincts A et B .
A tout point C du plan , on associe , par la translation qui transforme A en B , l’unique
point D tel que  AD  et  BC  ont le même milieu .
Remarques : 1) On dit que D est l’image de C par la translation qui transforme A en B .
2) La figure obtenue est un ……………………..
2
II – Vecteurs :
II . 1 Qu’est – ce qu’un vecteur ?
Définition :
La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB .
On dit que 𝐴 est l’origine du vecteur AB et que 𝐵 est son extrémité .
Caractérisation d’un vecteur :
Un vecteur ( non nul ) est la donnée de trois éléments :
1) une direction ( une droite , deux droites parallèles ont la même direction )
2) un sens de parcours de cette direction .
3) une longueur ( appelée norme ) .
Exemples :
1) Le vecteur formé de la direction  AB  , de sens
« de A vers B » et de longueur AB est noté AB .
2) Les vecteurs AB et CD ont …………………………
………………………………………………………
3) Les vecteurs AB et BA ont …………………………
………………………………………………………
II . 2 Vecteurs égaux :
Définition :
On dit que deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction , le même sens et la
même longueur .
Exemple :
AB  CD signifie que :
Remarque :
Si deux vecteurs sont égaux , alors ils définissent la même translation .
Il existe donc une infinité de vecteurs associés à la même translation .
3
II . 3 Notation 𝑢
⃗ :
La translation de vecteur AB transforme le point 𝐶 en
𝐷 , le point 𝐸 en 𝐹 …
On a AB  CD  EF  ...
On dit que AB , CD , EF , ... sont des représentants
d’un même vecteur que l’on peut également noter u
On dit que AB est le représentant du vecteur u
d’origine A .
II . 4 Vecteurs particuliers :
Définition :
Soit 𝐴 un point quelconque .
Le vecteur AA est appelé vecteur nul et noté 0 .
Il n’a pas de direction , ni de sens et sa longueur est nulle .
Remarques :
1) AB  0 si et seulement si 𝐴 et 𝐵 sont ……………………
2) Le vecteur nul est associé à la translation identité ( qui transforme chaque point en lui – même )
Définition :
Soit u un vecteur non nul .
L’opposé du vecteur u est le vecteur noté u
ayant la même direction que u , le sens contraire
à celui de u et la même norme que u .
Remarque :
L’opposé du vecteur AB est le vecteur BA .
On écrit donc que : BA  ................
II . 5 Vecteurs égaux et translation :
Propriété :
Le point D est l’image du point C par la translation de vecteur AB si et
seulement si AB  CD
4
II . 6 Vecteurs égaux et parallélogramme :
Propriété :
Soient A , B , C et D quatre points distincts deux à deux
AB  DC si et seulement si ABCD est un
parallélogramme ( éventuellement aplati ) .
Remarque :
On a aussi
…………………….
……………………….
……………………..
II . 7 Vecteurs égaux et milieu d’un segment :
Propriété :
Le point I est le milieu du segment
 AB si et seulement si AI  IB
Remarque :
On a aussi ……………..
III – Somme de vecteurs :
III . 1 Somme vectorielle :
Définition :
On considère deux vecteurs u et v .
La somme des vecteurs u et v est le vecteur w associé à la translation résultant de
l’enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur v .
On écrit : u  v  w
Propriété :
Pour tous vecteurs u , v et w , on a :
u v  vu



uvw uv wu vw
5

III . 2 Construction géométrique de u  v :
1er cas : Vecteurs « bout à bout »
Quels que soient les points A , B et C ,
on a la relation de Chasles : AB  BC  AC
2nd cas :
Vecteurs quelconques
On déplace l’un ou l’autre des vecteurs
pour se ramener à la configuration « bout
à bout » précédente .
Pour construire AB  CD , on construit
le point 𝐸 tel que BE  CD .
Alors , on a : AB  CD  AB  BE
Donc , d’après la relation de Chasles :
AB  CD  AE
III . 3 Somme de vecteurs et parallélogramme :
Propriété :
règle du parallélogramme
Soient A , B , C et D quatre points distincts .
ABCD est un parallélogramme si et seulement si AC  AB  AD
Démonstration :
Remarque :
On a aussi : …………………………..…..
………………..……………..
…………………..…………..
III . 4 Somme de vecteurs et milieu d’un segment :
Propriété :
Soient A , B et I trois points distincts .
I est le milieu de
Remarque :
 AB si et seulement si
IA  IB  0
On a aussi : ………………..
…………………..
6
…………………
III . 5 Différence de deux vecteurs :
Définition :
Soient u et v deux vecteurs non nuls .
On appelle différence entre u et v , le vecteur
noté u  v défini par : u  v  u  v
 
IV – Coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan :
IV . 1 Définition :
Définition :
Dans un repère  O; I , J  , les coordonnées du vecteur u sont celles du point M tel
que OM  u .
Exemple :
On considère le plan muni du repère
orthonormé  O; I , J  ci – dessous .
Déterminer graphiquement les
coordonnées des vecteurs u , v et w .
IV . 2 Propriétés :
Théorème : Soit  O; I , J  un repère du plan .
Soient A et B deux points du plan de coordonnées respectives
Alors le vecteur AB a pour coordonnées
Propriété :
 xA ; y A  et  xB ; yB  .
 xB  xA ; yB  y A  .
Soit  O; I , J  un repère du plan .
Soient u et v deux vecteurs de coordonnées respectives
 x; y 
et
 x '; y '
.
1) Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées :
x  x '

y  y'
1) Le vecteur u  v a pour coordonnées
u  v ssi
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 x  x '; y  y '
Exemple : Dans un repère orthonormé  O; I , J  on considère les points
A  2;3 , B  4; 1 , C  5;3
et D  2; 1
1) Calculer les coordonnées de AB et CD .
2) En déduire les coordonnées de AB  CD .
3) Déterminer les coordonnées du point E tel que AE  AB  CD
V – Produit d’un vecteur par un réel :
V . 1 Définition :
Définition :
Soit  O; I , J  un repère du plan .
Soit u un vecteur de coordonnées  x; y  . Soit k un réel .
On appelle produit du vecteur u par le réel k le vecteur noté ku ayant pour
coordonnées  kx; ky  .
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On considère le plan muni du repère orthonormé  O; I , J  ci – dessous .
Exemple :
1) Lire les coordonnées de u : ………………………………
2) En déduire les coordonnées des vecteurs v et w tels que
v  2u et w  3u .
3) Construire des représentants des vecteurs v et w .
V . 2 Constructions vectorielles :
Propriétés :
1)
Si AB est un vecteur non nul et k est un réel non nul , alors k AB est le vecteur CD
défini ainsi :
a) Si
b) Si
-
k  0 , alors :
CD a la même direction que AB .
CD a le même sens que AB .
CD  kAB .
k < 0 , alors :
CD a la même direction que AB .
CD est de sens contraire à celui de AB .
CD  kAB .
2) Si AB  0 ou si k  0 , on convient que k AB  0 .
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Exemple 1 :
Soit  AB  un segment de longueur 5cm .
Construire le point C tel que AC 
6
AB .
5
2
Exemple 2 : On considère le triangle ABC ci - contre . Construire le point D tel que CD   AB .
3
V . 3 Propriétés :
Propriétés ( admises ) :
Soient u et v deux vecteurs . Soient k et k’ deux réels .

1) ku  kv  k u  v

2) ku  k ' u   k  k ' u
 
3) k k ' u   kk ' u
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Exemples : 1) 2 AB  2 BC  ...........................................................................................................
2)  5 AB  3 AB  ...........................................................................................................


3
5 AB  ...........................................................................................................
5
3)
Propriétés : Soient A , B et I trois points distincts .
1) I est le milieu de
2) I est le milieu de
 AB ssi
 AB ssi
AI 
𝐴
𝐼
𝐵
𝐴
𝐼
𝐵
1
AB
2
AB  2 AI
VI – Vecteurs colinéaires :
Définition :
Soient u et v deux vecteurs non nuls .
On dit que u et v sont colinéaires s’ils ont la même direction .
Exemple :
𝐴
𝐵
𝐷
𝐶
CD et AB sont colinéaires .
Propriétés : Soient u et v deux vecteurs non nuls .
1) u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k non nul tel que u  kv .
2) u  x; y  et v  x '; y '  sont colinéaires si et seulement si xy ' x ' y  0
Exemple : Dans un repère  O; I , J  , on considère les vecteurs u  4; 3 , v  8;6  et w  2; 5  .
1) Etudier la colinéarité des vecteurs u et v .
2) Etudier la colinéarité des vecteurs u et w .
Convention : Comme 0u  0 , le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs .
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Théorème : 1) Soient A , B , C et D quatre points tels que A  B et C  D .
Les droites  AB  et  CD  sont parallèles ssi CD et AB sont colinéaires .
2) Soient A , B et C trois points distincts .
Les points A , B et C sont alignés ssi AB et AC sont colinéaires .
Exemple : Dans un repère  O; I , J  , on considère les points A 1; 1 , B  3;1 , C  2; 3 et D  5;0  .
1) Les points A, B et C sont - ils alignés ?
2) Les droites
 AB  et  CD 
sont - elles parallèles ?
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