1 • Titre du projet: Modélisation de la croissance hétéroépitaxiale

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• Titre du projet: Modélisation de la croissance hétéroépitaxiale sous contrainte.
• Responsable scientifique Combe Nicolas
Maitre de conférence
• Adresse (jusqu’au 31/12/2006) Laboratoire de Physique des Solides de Toulouse UMR5477
Université Paul Sabatier
118 route de Narbonne
31062 Toulouse Cedex 4, France
tel : 05 61 55 83 34
fax : 05 61 55 62 33
email : [email protected]
• Adresse (à partir du 01/01/07) Centre d’Elaboration de Matériaux et d’Etudes Structurales,
CNRS UPR 8011,
29 rue J. Marvig, BP 94347,
31055 Toulouse cedex 4, France.
tel : 05 62 25 79 98
fax : 05 62 25 79 99
email : [email protected]
I.
CONTEXTE
Le projet développé concerne la croissance épitaxiale
sous contrainte. Des atomes sont déposés sur un substrat
dont le paramètre de maille diffère. Ces atomes voyant
le potentiel crée par le substrat sont obligés d’adapter
leur paramètre de maille à celui du substrat accumulant ainsi de l’énergie élastique. Les atomes diffusant
sur le substrat, le système est à même de relaxer cette
énergie élastique de différentes manières. Cette relaxation peut se faire soit par la création de dislocations
soit par une structuration en ı̂lots (croissance StranskiKrastanov). En effet, au sommet d’un ı̂lot, la contrainte
est relaxée. (cf Fig. 1).
FIG. 1: Illustration de la relaxation des contrainte lors de
la création d’ı̂les tridimensionnelles. Le matériaux déposé
(rouge) est en tension sur le substrat, le paramètre de maille
est relaxé au sommet des ı̂les.
Le projet poursuivi vise à comprendre les différents
paramètres jouant sur la naissance des ı̂les et comprendre
la part de la thermodynamique/cinétique dans la naissance de ces ı̂les. Les simulations numériques à l’échelle
atomique sont tout à fait adaptées à tel projet.
II.
MÉTHODES
Les études numériques à l’échelle atomique de la
croissance hétéroépitaxiale sont peu nombreuses dans la
littérature1. En effet, la prise en compte correcte de la
contrainte est très coûteuse en temps de calcul : les forces
élastiques sont des forces à longue portée et les échelles
de temps d’une croissance épitaxiale sont typiquement
de l’ordre de la dizaine de seconde, interdisant de ce
fait une simulation par Dynamique Moléculaire. Nous
avons développé un programme de simulation MonteCarlo afin de simuler la croissance des couches contraintes. L’originalité du programme consiste à ne relaxer la contrainte que localement lors de la diffusion
d’un atome. Ce programme simule une croissance en
dimension 1+1 et utilise des potentiels interatomiques
génériques (Potentiel Lennard Jones). Le projet comportait une partie développement du code en deux phases
principales :
• Tenir compte de la cinétique en calculant les
barrières d’énergie pour la diffusion : Monte-Carlo
cinétique
• Optimiser les temps de calculs et paralléliser le
code.
2
A.
• la taille de la région cutoffrelax dans laquelle nous
relaxons les contraintes après chaque pas MonteCarlo.
Monte Carlo Cinétique
Le programme a été modifié pour tenir compte de la
cinétique de diffusion de chaque atome. Pour chaque
mouvement possible, nous calculons la barrière d’énergie
à franchir. Ce calcul est effectué en utilisant l’algorithme
: Climbing Image- Nudge Elastic Band method2 . Cet
algorithme est robuste : il restera applicable si nous
souhaitons passé à des simulations en dimension 2+1.
C’est l’algorithme qui s’est révélé le plus rapide dans
notre cas et qui reste indépendant de la dimension du
système2 .
Parmi tous ces paramètres, nous avons choisi d’explorer
l’effet des variations du désaccord de maille en premier
lieu.
Les autres paramètres ont été fixés comme suit :
ǫss = 2.368eV , ǫsl = 2.043eV , ǫll = 1.93eV , cutoffpot =
cutoffrelax = 3.1 ∗ a0 où a0 est le pas du réseau du substrat; T = 1200K.
A.
B.
Optimisation du temps de calcul et
parallélisation
Nous avons tenté autant que possible d’optimiser le
temps de calculs. En plus de l’optimisation des différents
parties du programme, nous avons tenté de paralléliser
notre code : nous n’avons pas réussi à ce jour à paralléliser efficacement notre code. Un programme parallèle a été conçu mais le gain en temps de calcul
(speed-up) était très insatisfaisant. La parallélisation de
notre programme demande un effort de programmation
conséquent non réalisé à ce jour.
Nous avons donc malheureusement utilisé notre programme dans sa version séquentielle. Ces simulations
restent malheureusement lourdes : typiquement, pour
un jeu de paramètres, le temps de calcul est de 100h
environ et le nombre de paramètre que nous pouvons
faire varier est très important comme nous pourrons le
voir ci-dessous. De plus, il nous faut dans l’absolu effectuer des moyennes sur plusieurs simulations des quantités mesurées. A ce jour, ces moyennes n’ont pas été
effectuées. Enfin, comme tout programme en cours
de développement, nous rencontrons régulièrement des
légères erreurs (bugs) du programme qui rendent l’étude
plus difficile.
III.
RÉSULTATS
Les paramètres de la simulation sur lesquels nous pouvons jouer sont multiples :
• 3 énergies de liaisons inter-atomiques : substratsubstrat (ǫss ), substrat-matériau déposé (ǫsl ),
matériau déposé-matériau déposé (ǫll ).
• Désaccord de maille m entre les deux matériaux.
• Flux d’atomes déposés.
• Température.
• la porté du potentiel cutoffpot de Lennard-Jones (la
même indépendamment des types d’atomes).
Morphologies et résultats qualitatifs
Nos simulations permettent de reproduire qualitativement les différents modes de croissance observés
expérimentalement.
Pour un flux faible, nous observons une croissance Stranski-Krastanov lorsque le
désaccord de maille est négatif; alors que nous observons
l’apparition de dislocations dans le cas d’un désaccord
de maille positif. Cette différence de comportement est
dû à la dissymétrie du potentiel Lennard-Jones entre
compression (en 1/r12 ) et tension (en 1/r6 ). On peut
noter à ce niveau que la théorie classique de l’élasticité
linéaire prévoit que l’énergie élastique varie comme le
désaccord de maille au carré : et donc indépendamment
du signe du désaccord de maille (approximation harmonique). Nos simulations atomistiques montrent donc
que l’anharmonicité du potentiel influence notablement
la croissance.
B.
Désaccord positif : Apparition des dislocations
A flux atomique donné, l’apparition des dislocations
est d’autant plus rapide que le désaccord de maille est
grand. Ce résultat est bien en accord avec l’observation
et se comprend facilement. Nous sommes actuellement
en train de quantifier cette dépendance en programmant
une routine détectant l’apparition et le nombre de dislocations. La figure 2 montre un exemple de morphologie
obtenue dans le cas d’un misfit de 2%, pour un flux de 1
monocouche par seconde après environ 27s de dépôt : le
nombre de pas Monte Carlo est de l’ordre de 20 millions.
A ce jour, nous n’avons pas été capable de corréler les
variations de l’énergie totale par atome avec la création
de dislocations.
C.
Désaccord négatif : apparition d’ı̂les.
La figure 3 montre la morphologie des ı̂les obtenues lors
d’un dépôt avec un désaccord de maille de −2% pour
un flux de 0.1 monocouches par secondes. Ces clichés
présentent clairement l’apparition d’ı̂lots à la surface du
substrat sur une couche de mouillage (2 monocouches
dans le cas de la figure 3). Ces résultats sont analogues à
3
ceux observés expérimentalement. Plus le désaccord de
maille est grand en valeur absolu, plus la hauteur de la
couche critique à partir de laquelle les ı̂les apparaissent
est faible. Une étude quantitative de la variation de cette
hauteur en fonction du désaccord de maille a été menée.
100.00
80.00
60.00
40.00
20.00
D.
Influence des autres paramètres
0.00
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
FIG. 2: Morphologie obtenue après 27s de dépôt à 1 monocouche par seconde. Désaccord de maille : 2%
Une étude en faisant varier le flux, la taille de la région
dans laquelle nous relaxons les contraintes cutoffrelax a
été effectuée. A l’heure actuelle, nous n’avons pas réussi
à déterminer quantitativement le rôle de ces paramètres.
L’étude est en cours.
L’effet de la température semble montrer qu’une
température faible favoriserait l’apparition de dislocations. Là aussi, une étude quantitative est prévue.
30.00
25.00
20.00
15.00
10.00
IV.
CONCLUSION
5.00
FIG. 3: Morphologie des ı̂les lors d’un dépôt avec un
désaccord de maille : −2%
Le programme mise au point demande encore des
améliorations notamment au niveau du temps de calcul.
Mais les premiers résultats se sont montrés prometteurs
notamment au niveau des différents régimes obtenus, Une
étude quantitative du rôle de chaque paramètre est maintenant nécessaire et fera l’objet de la prochaine campagne
de calcul.
1
2
0.00
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
350.0
F. Much and M. Biehl, Europhys. Lett. 63, 14 (2003) M.
Biehl, M. Ahr, W. Kinzel, F. Much, Thin Solid Films 428,
52 (2003) F. Much, M. Ahr, M. Biehl, and W. Kinzel Comp.
Phys. Comm. 147, 226 (2002) F. Much, M. Ahr, M. Biehl,
and W. Kinzel Europhys. Lett. 56, 791 (2001)
G. Henkelman, G. Jóhannesson, and H. Jónsson, “Methods
for Finding Saddle Points and Minimum Energy Paths”, in
Progress on Theoretical Chemistry and Physics, Ed. S. D.
Schwartz (Kluwer Academic Publishers, 2000) pp. 269-300.