Enoncé - MPSI Corot

Primitives et intégrales
© Laurent Garcin
MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Exercice 1.
Exercice 6.
Z π/2
Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
sin(2x)3 dx.
Calculer l’intégrale
−3t2
1. t 7→ te
7.
1
2. t 7→
t(ln t)4
8.
1
th t
t2
4. t 7→
1 + t3
sin(2t)
5. t 7→
1 + sin2 t
10.
6. t 7→ tan2 t
12.
3. t 7→
9.
11.
−π/2
1
√
t 7→
2
cos t tan t
1
√
t 7→
t+ t
ln(ln t)
t 7→
t
t
t 7→ ee +t
1
t 7→
t + t(ln t)2
1
t 7→ 2
ch t
Exercice 7.O
Calculer, en fonction du nombre réel x, l’intégrale suivante
Z1
0
Exercice 8.O
Calculer :
Z π/4 »
1. I =
1 + tan2 (t)dt en posant u = tan(t) ;
0
Z1
Exercice 2.
√
dx
en posant u = x ;
x+1
0
Z ln(2)
√
√
3. K =
ex − 1dx en posant u = ex − 1 ;
0
Z 2π
2. Jm,n =
√
2. J =
Soit (m, n) ∈ N2 . Calculer
Z 2π
1. Im,n =
cos(mt) cos(nt) dt
0
Z1
sin(mt) sin(nt) dt
√
4. L =
0
Z 2π
3. Km,n =
0
5. M =
0
Z π/3
Exercice 3.
6. N =
π/4
Z π/2
Calculer les intégrales suivantes.
Z π/2
Z1
x sin x dx ,
J=
0
√
Z2
ex dx ,
0
K=
0
0
Z π/4
A=
0
Zπ
3
B=
(sin x) dx ,
0
Z1 p
C=
1 − x2 dx .
0
Exercice 5.
Déterminer une primitive de la fonction f(x) = (sin(2x))3 cos(3x).
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dx
en posant u = sin(x) ;
cos(x)
dx
en posant u = cos(x) ;
sin(x)
sin(2x)dx
en posant u = cos(2x) ;
1
+ cos2 (x)
0
Z1
1−x
9. Q =
dx en posant x = cos(2u) ;
1+x
0
Z1 √
x + x1/4
√
dx en posant u = x1/4 .
10. R =
x+1
0
8. P =
Calculer les intégrales suivantes
1
√
dx ,
4 − x2
√
du
en posant x = u2 + u + 1 − u ;
+u+1
cos2 (x) sin3 (x)dx en posant u = cos(x) ;
7. O =
2x dx
√
.
2 + 2x
Exercice 4.
Z1
u2
Z π/4
cos(mt) sin(nt) dt
0
I=
|x − t| dt.
f(x) =
1
Primitives et intégrales
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Exercice 9.
Exercice 13.
Z π2
Z π2
sin t
cos t
On pose S =
dt et C =
dt.
sin
t
+
cos
t
sin
t
+ cos t
0
0
1. Justifier que S et C sont bien définies.
Soit α ∈ R et H la fonction définie par :
∀x ∈ R, H(x) = α cos x + sin x + 2
1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur α pour que H ne s’annule
pas.
2. Montrer que S = C par changement de variable.
3. Que vaut S + C ? En déduire S et C.
Z1
dt
√
.
4. En déduire I =
1 − t2
0 t+
2. On
Z x suppose la condtion précédente satisfaite et on pose pour x ∈ R, F(x) =
dt
. Justifier que F est bien définie et continue sur R et donner une
H(t)
0
expression de F(x) pour x ∈] − π, π[.
Exercice 14.
3. Calculer l’intégrale F(2π).
Calculer
Zπ
sin t dt
1.
en posant u = cos t ;
4
− cos2 t
0
Zx
dt
2.
pour x ∈]0, π[ en posant u = cos t ;
π sin t
2
Z π4
dt
3.
en posant u = sin t ;
3t
cos
−π
4
Z π2
dt
4.
en posant u = tan 2t .
0 sin t + cos t
Exercice 10.
Soient α et β deux réels strictement positifs. On définit une fonction f par :
∀x ∈ R, f(x) =
1
α + β cos2 x
1. Justifier que f admet des primitives sur R. On note F celle qui s’annule en
0.
2. Montrer que F(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞.
3. Déterminer une expression de F(x) pour x ∈ − π2 , π2 .
Z 2π
dt
4. Calculer I =
.
2
0 49 − 45 sin t
Exercice 15.
Pour n ∈ N et x ∈ R, on pose
Zx
Exercice 11.
In (x) =
Z b2 »
Calculer I =
x (x − a2 )(b2 − x) dx.
0
dt
(1 + t2 )n+1
1. Déterminer une relation entre In+1 (x) et In (x).
a2
2. En déduire l’existence et une expression simple de limx→+∞ In (x).
Exercice 12.
Calculer
Z
1. x arctan2 (x) dx
Z
2. ex sin2 (x) dx
Z
3. cos(ln x) dx en posant u = ln x
Exercice 16.
Z1
Z
(1 − x)n x
e dx.
n!
0
1. Montrer que (In ) converge vers 0.
√
x dx
4. √
en posant u = 1 + x.
1+x
Z
dx
5.
ch x
On pose pour n ∈ N, In =
2. Déterminer une relation de récurrence entre In et In+1 .
+∞
X
1
3. En déduire que e =
.
k!
k=0
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2
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Exercice 17.
Exercice 21.O
Z1
On considère la suite de terme général In =
0
Soit f : R −→ R une fonction continue. Etablir la dérivabilité puis calculer la
dérivée de la fonction ψ définie par
tn
dt.
1+t
Z1
1. Déterminer la limite de (In ).
x 7−→
2. Déterminer une relation de récurrence entre In et In+1 .
n
X
(−1)k+1
. Exprimer Sn en fonction de In .
3. On pose Sn =
k
f(t + x)dt.
0
Exercice 22.
k=1
Z x3
4. En déduire la convergence et la limite de (Sn ).
Justifier que f : x 7→
x2
Exercice 18.
t
dt est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
1 + et
Exercice 23.
Pour (n, p) ∈ N2 , on pose
Z1
Calculer les limites suivantes. On ne cherchera pas à calculer les intégrales.
Zx
1. lim
sin(t2 ) dt.
tn (1 − t)p dt
In,p =
0
x→0 −x
Z 2x
∗
1. Montrer que pour tout n ∈ N et tout p ∈ N
In,p =
2.
n
In−1,p+1
p+1
3.
2. En déduire un expression de In,p pour tout n ∈ N.
Exercice 19.OO
Pour n ∈ N, on pose
Z1
In =
√
tn 1 − tdt.
0
1. Trouver une relation de récurrence entre In−1 et In .
2. Calculer I0 puis In pour tout n > 0.
3. Calculer In d’une autre manière et montrer que
Ç å
n
X
(−1)k n
n!(n + 2)!
= 22n+2
.
2k + 3 k
(2n + 4)!
k=0
Exercice 20.
Calculer une primitive des fonctions suivantes.
1
1 + t + t2
2 − 5t
2. t 7→
1 + t2
1. t 7→
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3. t 7→
3t + 2
2t2 − 4t + 3
3
lim
dt
.
ln t
lim
sin t
dt.
t
x→+∞ x
Z 2x
x→+∞ x