tes-lois-a-densite-doc-eleve ( PDF - 154 ko)

Chapitre 8 – Lois à densité TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 8 – Lois à densité
Table des matières
I Exercices I-1
1 ................................................ I-1
2 ................................................ I-2
3 ................................................ I-3
4 ................................................ I-3
5 ................................................ I-4
6 ................................................ I-4
7 ................................................ I-4
8 ................................................ I-5
9 ................................................ I-7
II Cours II-1
1 Loi à densité sur un intervalle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2 Espérance ..........................................II-2
3 Loiuniforme.........................................II-2
4 Loi normale centrée réduite N(0,1) ...........................II-2
5 Loi normale N(µ, σ2)...................................II-3
TES – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr

Chapitre 8 – Lois à densité I EXERCICES – page I-1
I Exercices
Loi à densité
1
Cet exercice est inspiré de l’activité 1 p 174 du manuel Indice 2012 de TES/L
Dans une région, on a constaté que tout habitant résidait à moins de six kilomètres d’un éco-point.
1. Un relevé statistique a permis d’établir l’his-
togramme des fréquences ci-contre.
Par exemple, 47 % des habitants des habitants rési-
dent à moins d’un kilomètre de l’éco-point.
(a) Quel est le pourcentage d’habitants résidants
à moins de 3 kilomètres de l’éco-point ?
(b) Que vaut la somme des aires des rectangles
de cet histogramme ?
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0123456
0,47 0,21 0,13 0,09 0,06 0,04
2. On choisit un habitant au hasard. On appelle X la distance séparant la résidence de cet habitant
de l’éco-point le plus proche. X est une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l’intervalle
[0 ; 6[. On veut définir la loi de probabilité de X.
(a) Compléter :
p(0 6X < 1)= ........... p(1 6X < 2)= ........... p(1 6X < 4)= ...........
(b) Pour tout entier ncompris entre 1 et 6, que représente sur le graphique la somme des
aires des rectangles situés à gauche de nsur l’axe des abscisses ?
3. Une étude statistique plus détaillée donne les valeurs suivantes.
Distance d[0 ; 0,5[ [0,5 ; 1[ [1 ; 1,5] [1,5 ; 2[ [2 ; 2,5[ [2,5 ; 3]
Fréquence 0,29 0,18 0,12 0,09 0,07 0,06
Distance d[3 ; 3,5[ [3,5 ; 4[ [4 ; 4,5] [4,5 ; 5[ [5 ; 5,5[ [5,5 ; 6]
Fréquence 0,05 0,04 0,03 0,03 0,02 0,02
Remarquons qu’en ajoutant les fréquences deux par deux, on retrouve bien sûr les fréquences
précédentes, par exemple : 0,29 + 0,18 = 0,47.
(a) Tracer l’histogramme des fréquences au crayon. L’his-
togramme du 1. est en pointillés pour comparer. Lire
la remarque page suivante.
(b) On considère à nouveau la variable aléatoire X du 2.
Compléter :
P(0 61,5)= ...........P(0 64,5)= ...........
(c) Que représente sur le graphique la somme des aires
des rectangles situés à gauche de 1,5 sur l’axe des
abscisses ?
(d) Que représente sur le graphique la somme des aires
des rectangles situés à gauche de 4,5 sur l’axe des
abscisses ?
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0123456
TES – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr

Chapitre 8 – Lois à densité I EXERCICES – page I-2
Remarque pour le tracé de l’histogramme
le premier rectangle de l’histogramme précédent (en pointillés) qui représente la fréquence 0,47
est remplacé par deux rectangles. Comme ces deux rectangles doivent représenter à eux deux
la même fréquence, il faut que la somme des aires de ces deux rectangles soit égale à l’aire de
ce premier rectangle. Il en est de même pour les autres rectangles.
4. Une étude plus précise a permis de relever les
distances à 0,25 km près et de construire l’his-
togramme ci-dessous, où chacun des 24 rectangles
a pour base 0,25 et pour aire la fréquence de la
classe correspondante.
Le premier rectangle a pour hauteur 0,67 car
16,75 % résident à moins de 0,25 kilomère de l’éco-
point, en effet 0,25 ×0,67 = 0,1675
(a) Que vaut la somme des aires de ces 24 rect-
angles ?
(b) Si on prend un nombre tcomme 0,25 ou 0,50
ou 0,75 ou 1,00 ou 1,25 ou . . . ou 5,75 ou 6,00
que représente sur ce graphique la somme des
aires des rectangles situés à gauche de tsur
l’axe des abscisses ?

Chapitre 8 – Lois à densité I EXERCICES – page I-3
(b) Calculer sa probabilité, en détaillant les calculs.
2. Mêmes consignes (a) et (b) pour l’évènement {66X67}
3. En arrondissant au centième près, calculer les probabilités que l’appareil tombe en panne
(a) avant la fin de la 10eannée ;
(b) entre la fin de la 3eannée et la fin de la 4eannée.
4. Calculer la probabilité que l’appareil tombe en panne après la fin de la 8eannée.
5. À partir de quel nombre d’années nla probabilité que l’appareil ait sa première panne avant
la fin de l’année nsoit supérieure ou égale à 0,99. Arrondir à l’unité près.
3
Exercice inspiré de l’exercice 1 p. 177 du manuel Indice de TES
On choisit une journée au hasard dans la production quotidienne d’un produit donné. La production
quotidienne X de ce produit en tonnes est une variable aléatoire continue qui prend ses valeurs dans
l’intervalle [0 ; 10] avec la densité de probabilité fdéfinie par : f(x) = 0,006(10x−x2).
1. Que signifie concrètement « la variable aléatoire prend ses valeurs dans l’intervalle [0 ; 10] » ?
2. Vérifier que fest une densité de probabilité sur [0 ; 10].
3. Calculer la probabilité que la production soit comprise entre 2 et 3 tonnes.
4. Calculer p(0 6X67)
5. Calculer p(X > 7).
6. Ce jour là, la production est supérieure à 5 tonnes. Calculer la probabilité que la production
soit inférieure à 7 tonnes.
4
Exercice inspiré de l’exercice 35 p. 257 du manuel Odyssée de TES
Au 1er janvier 2011, une entreprise a mis sur le marché français un téléphone portable. Le public visé
est l’ensemble des personnes agées de 15 à 30 ans résidant en France. Le temps écoulé, exprimé en
mois, entre la mise sur le marché et l’acquisition de ce produit par une telle personne est modélisé
par une loi dont la densité fest définie sur IR par :
f(x) = e−x+8
(1 + e−x+8)2
1. Démontrer qu’une primitive de la fonction fest la fonction F définie par :
F(x) = −e−x+8
1 + e−x+8
2. On choisit au hasard une personne âgée de 15 à 30 ans résidant en France.
X est la variable aléatoire égale au temps écoulé en mois entre la mise sur le marché et et
l’acquisition du produit par cette personne.
(a) Quelle est la probabilité qu’elle soit déjà en possession de ce produit avant le 1er juil-
let 2011 ?
(b) Quelle est la probabilité qu’elle n’ait pas encore acheté ce produit au bout de 11 mois ?
(c) Avec la calculatrice, déterminer le nombre de mois nà partir duquel on a :
p(X 6n) > 0,99.
(d) Une personne qui a entre 15 et 30 ans n’a toujours pas acheté ce téléphone portable à la
fin du 6emois. Calculer la probabilité qu’elle ne l’ait toujours pas acheté à la fin du 9e
mois.
TES – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr

Chapitre 8 – Lois à densité I EXERCICES – page I-4
Loi uniforme
5
On choisit un nombre au hasard entre 3 et 7, et on appelle X la variable aléatoire égale à ce nombre.
Cette variable aléatoire a donc ses valeurs dans l’intervalle [3 ; 7].
012345678
1. Sans justifier, déterminer les probabilités suivantes.
(a) p(3 6X65) (b) p(3 6X67) (c) p(5 6X66) (d) p(3,56X64)
2. Pour deux nombres cet dde l’intervalle [3 ; 7] tels que c6d, quelle sera la formule permettant
de calculer : p(c6X6d) ?
3.
La fonction fest définie par f(x) = 1
4,
et Y est la variable aléatoire à valeurs
dans [3 ; 7] dont la loi de probabilité a
pour densité la fonction f. Cette loi est
appellée loi uniforme sur [3 ; 7].
La fonction fest représentée ci-contre.
0
0.5
1.0
01234567
(a) Calculer : (a) p(5 6Y66) (b) p(3,56Y64)
(b) En hachurant ou en coloriant, faire apparaître les résultats précédents sur la figure ci-
dessus.
(c) Calculer : p(c6Y6d)
4. Que constate-t-on pour les deux variables aléatoires X et Y et leurs lois de probabilité ?
5. Dans la question 3, comment a été choisie la valeur 1
4?
6. Si on choisit un nombre aléatoire entre 3 et 7 un très grand nombre de fois, la moyenne de
ces nrésultats se rapproche de quelle valeur ?
7. Que signifie le résultat précédent pour la variable aléatoire X ?
8. Calculer Z7
3
tf(t)dt
9. Que constate-t-on pour les deux résultats précédents ?
6
Exercice inspiré de l’exercice 30 p 215 du manuel Déclic de TES.
Un établissement doit recevoir la visite d’un inspecteur entre 7 h et 17 h. L’heure d’arrivée de cet
inspecteur est aléatoire. X est la variable aléatoire égale à l’arrivée de l’inspecteur.
1. Déterminer la fonction fde densité de probabilité de X.
2. Calculer la probabilité que l’inspecteur arrive
(a) avant 8 h (b) après 12 h (c) entre 9 h 30 et 10 h
3. Calculer l’espérance de l’heure d’arrivée de l’inspecteur.
4. L’établissement apprend que l’inspecteur n’arrivera pas avant 11 h. Calculer la probabilité que
l’inspecteur arrive après 12 h.
7
Une personne vient assurer 1 h de travail entre 16 h et 17 h chaque jour. Une deuxième personne
vient travailler pendant 1 h, mais son heure d’arrivée est aléatoire entre 14 h et 19 h.
Calculer la probabilité que ces deux personnes se croisent.
TES – Mathématiques TDM http://www.maths.lyceebellepierre.fr