MM2 - Algèbre et analyse élémentaires Arithmétique 1. Résoudre dans (N∗ )2 l’équation pgcd(x, y) + ppcm(x, y) = y + 9 2. Trouver tous les entiers naturels x et y tels que : ( x + y = 420 pgcd(x, y) = 12 3. Trouver pgcd(275, 174), puis trouver u et v dans Z tels que 275u + 174v = pgcd(275, 174) 4. Trouver tous les entiers relatifs x et y tels que : (a) 11 x - 29 y =1, (b) 11 x - 29 y =3, (c) 4 x - 6 y = 3. 5. (a) Soit a dans Z. Montrer que le reste de la division euclidienne de a2 par 8 est égal à 0, 1 ou 4. (b) Soit n dans N. Montrer que si 8 divise n − 7, alors n ne peut pas être la somme des carrés de trois nombres entiers. (c) Résoudre x2 + y 2 + z 2 = x2 y 2 , d’inconnue (x, y, z) ∈ Z3 . 6. Soit a un entier naturel non nul distinct de 1 et m et n deux entiers naturels non nuls. (a) Monter que, pour tout entier naturel non nul k, an − 1 divise akn − 1. (b) Montrer que le reste de la division euclidienne de am − 1 par an − 1 est ar − 1, o r est le reste de la division euclidienne de m par n. (c) Montrer : pgcd(am − 1, an − 1) = apgcd(m,n) − 1. 7. Calculer pgcd(−300, 840) et ppcm(−300, 840). 8. Nombres de Fermat (a) Montrer que si a et m sont des entiers naturels non nuls supérieurs ou égaux à 2 et tels que am + 1 est premier alors a est pair et il existe n ∈ N tel que m = 2n . n (b) Calculer les premiers nombres de Fermats Fn = 22 +1. Que constatet-on ? 9. Nombres de Mersenne 1 (a) Montrer que, si a et n sont deux entiers naturels non nuls et distincts de 1 tels que an − 1 est premier, alors a = 2 et n est premier. (b) Calculer les premiers nombres de Mersenne Mp = 2p −1. Que constatet-on ? 10. Soit N ∈ N tel que N ne soit pas le carré d’aucun entier. Montrer : √ (a) N 6∈ Q. √ (b) (1, N ) est Q-libre. √ √ (c) (1, 2, 4 2) est Q-libre. 11. Trouver x dans N tel que x = 3 mod 5 et x = 4 mod 3. 12. Montrer que l’équation 6x2 + 5x + 1 = 0 n’a pas de solution dans Z, mais que, pour tout n ∈ Z, elle en admet une modulo n, c’est-à-dire : ∀n ∈ Z, ∃x ∈ Z | 6x2 + 5x + 1 = 0 mod n. 13. Soit p un nombre premier. Montrer : (ab = 0 mod p) ⇐⇒ (a = 0 mod p) ou (b = 0 mod p). Que dire si p n’est plus premier ? 14. Soit n un entier. On dira qu’un entier relatif a est inversible modulo n s’il existe b dans Z tel que ab = 1 mod n. (a) Montrer que a est inversible modulo n si, et seulement si, a et n sont premiers entre eux. (b) Montrer que l’ensemble des entiers inversibles modulo n forme un groupe pour la multiplication. 15. Soit p un nombre premier. Notons x la classe de x modulo p et posons Z2p = {x2 | x ∈ Z} l’ensemble des ”carrés modulo p”. (a) Décrire Z2p , pour p = 3, 5, 7, .. et calculer son cardinal. (b) Soit x un entier relatif non nul. Quel est le cardinal de l’ensemble {y | y 2 = x2 } ? En déduire le cardinal de Z2p \ {0} puis celui de Z2p . (c) Montrer que l’équation ax2 + by 2 + c = 0 a au moins une solution (x, y) modulo p. 16. Montrer que l’équation x2 − 5y 2 = 3 n’a pas de solution dans Z2 . 2