Chap 10 Probabilités

Chap 10
Probabilités
I. Vocabulaire
Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs résultats possibles mais qu'on ne
peut pas prévoir lequel va se produire.
Les résultats possibles d'une telle expérience sont appelés les issues.
exemple : Si on lance un dé à 6 faces, il y a 6 issues : 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6.
Un événement est une condition qui peut être réalisée, ou non, lors d'une expérience.
exemple : Si on lance un dé à 6 faces :
• "obtenir un 5" est un événement réalisé par l'issue 5.
• "obtenir un nombre pair" est un événement réalisé par 3 issues : 2 – 4 – 6.
• "obtenir un 9" est un événement ne pouvant pas être réalisé.
Un événement est dit :
• élémentaire si une seule issue le réalise : "obtenir un 5".
• impossible si aucune issue ne peut le réaliser : "obtenir un 9".
• certain si toutes les issues le réalisent : "obtenir un nombre inférieur ou égal à 6".
L'événement contraire d'un événement A est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.
On l'appelle "non A" et se note A .
exemple : Si l'événement A est "obtenir un nombre pair", son événement contraire est A est
"obtenir un nombre impair".
Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
exemple : A : "obtenir un nombre pair" et B : "obtenir un 5". A et B sont incompatibles.
II. Notion de probabilités
exercices : fiche 1 - Vocabulaire
1. définition
Activité informatique : lancers de dés
Lorsque l'on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire, la fréquence
d'apparition d'un événement A se stabilise. Cette fréquence "stable" s'appelle la probabilité
de A et se note p(A).
exemple : Si on lance un seul dé, la probabilité de A : "obtenir 5" par exemple est p(A) =
1
.
6
Si on lance 2 dés et que l'on fait la somme des faces, la plus grande probabilité est de sortir 7
1
1
et cette probabilité est de
. Alors qu'il n'y a qu'une probabilité de
d'obtenir 2.
6
36
2. propriétés
propriété : La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
p(A) = 0 signifie que A est un événement impossible et p(B) = 1 signifie que B est un
événement certain.
exemple :
Lors d'un lancer de dé, on considère les événements A : "obtenir un nombre supérieur à 8" et
B : "obtenir un nombre inférieur ou égal à 6". Il n'y a aucune chance de réaliser A donc p(A) = 0.
Par contre, B est réalisable quelque soit l'issue : on a 6 chances sur 6 soit p(B) = 1.
propriété : La somme des probabilités de tous les événements élémentaires d'une expérience
aléatoire est égale à 1.
exemple :
Lors d'un lancer de dé, les événements élémentaires sont "obtenir 1", "obtenir 2", ... chacun
1
de ces événements a une probabilité de
.
6
1
1
1
1
1
1
6
     = =1
Si on les ajoute, on a bien :
6 6 6 6 6 6 6
propriété : La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des
événements élémentaires qui le compose.
exemples :
1. Obtenir un nombre pair est réalisé par les issues : 2, 4 ou 6. Donc on a :
1 1 1
3 1
p(pair) = p(2) + p(4) + p(6) = + + = =
6 6 6 6 2
2. Dans un jeu de 32 cartes, l'événement A "tirer un as ou un trèfle" est réalisé lors
d'une des 11 issues suivantes : as de pique, as de cœur, as de carreau, as de trèfle ou
l'une des 7 autres cartes de trèfle. Il y a donc 11 fois 1 chance sur 32 de tirer un as ou un
11
trèfle soit une probabilité de
.
32
propriété : La somme des probabilités d'un événement A et de son contraire A est 1.
exemple :
Reprenons le jeu de 32 cartes. L'événement contraire à A est A : "ne pas tirer un as ou un
11
21
=
trèfle". Sa probabilité est donc : pA = 1 − pA = 1 −
32 32
3. Équiprobabilité
Lors d'une expérience aléatoire, si tous les événements élémentaires ont la même probabilité
de se réaliser alors il s'agit d'une situation d'équiprobabilité.
exemples :
1. Lors d'un lancé de dé, on a autant de chance de réaliser les 6 issues possibles
1
.
6
Il s'agit donc bien d'une situation d'équiprobabilité.
2. Dans une urne, j'ai 4 boules rouges et 7 boules noires.
Les 2 événements élémentaires sont "tirer une boule rouge" et "tirer une boule noire".
4
7
Or p(R)=
et p(N)= . Il ne s'agit pas d'une situation d'équiprobabilité.
11
11
exercices : fiche 2 – Calculs
fiche 3 – type Brevet
III. Expérience aléatoire à 2 épreuves : exemple
Dans une urne, il y a 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire successivement et
avec remise deux boules. Pour gagner, il faut tirer deux boules de la même couleur.
Quelle est la probabilité de gagner ?
Il y a 2 méthodes pour représenter cette expérience : un tableau à double entrée ou un
arbre des possibles (méthode la plus utilisée).
1ére méthode : tableau à double entrée
premier tirage
deuxième tirage
R1
R2
R3
B1
B2
R1
(R1 ; R1)
(R1 ; R2)
(R1 ; R3)
(R1 ; B1)
(R1 ; B2)
R2
(R2 ; R1)
(R2 ; R2)
(R2 ; R3)
(R2 ; B1)
(R2 ; B2)
R3
(R3 ; R1)
(R3 ; R2)
(R3 ; R3)
(R3 ; B1)
(R3 ; B2)
B1
(B1 ; R1)
(B1 ; R2)
(B1 ; R3)
(B1 ; B1)
(B1 ; B2)
B2
(B2 ; R1)
(B2 ; R2)
(B2 ; R3)
(B2 ; B1)
(B2 ; B2)
Il y a 25 issues possibles et l'événement "2 boules de la même couleur" est réalisé 13 fois. La
13
probabilité de gagner est donc de
.
25
L'inconvénient de cette méthode est que le tableau peut vite devenir long à construire.
2ème méthode : arbre des possibles
On s'aperçoit qu'il n'y a que 2 issues possibles à chaque fois que je tire une boule :
3
• tirer une boule rouge avec une probabilité de
.
5
2
• tirer une boule bleue avec une probabilité de
.
5
On construit donc l'arbre des possibles suivant :
On pondère chaque chemin, c'est-à-dire qu'on indique les probabilités sur chacune des
branches. Pour obtenir la probabilité d'un chemin, on multiplie toutes les probabilités le long de
celui-ci.
3 3
9
Pour obtenir (R ; R), la probabilité est donc p  R ;R  = × =
.
5 5 25
2 2
4
Pour obtenir (B ; B), la probabilité est donc p  B ;B  = × =
.
5 5 25
9
4 13
 =
Ainsi, l'événement "tirer 2 boules de même couleur" a une probabilité de
.
25 25 25
exercices : fiche 4 – expérience à 2 épreuves