Cours PCSI Les matrices Table des matières Introduction..........................................................................................................................................2 I- Rappels..............................................................................................................................................3 1- Définition.....................................................................................................................................3 2- Matrices associées à une application linéaire..............................................................................3 II- Opérations sur les matrices..............................................................................................................4 1- Structure d'espace vectoriel.........................................................................................................4 a- Somme et produit par un réel..................................................................................................4 b- Isomorphisme.........................................................................................................................4 c- Isomorphisme entre L(E)........................................................................................................5 2-Structure d'anneau .......................................................................................................................5 a- Produit de 2 matrices..............................................................................................................5 b- Exemples ................................................................................................................................6 c- Propriétés du produit...............................................................................................................6 d- Attention !!!!!!!!!....................................................................................................................7 e- Sous-anneau............................................................................................................................8 3- Le groupe linéaire........................................................................................................................8 4- Transposée d'une matrice.............................................................................................................9 a- Définition................................................................................................................................9 b- Matrices symétriques et anti-symétriques...............................................................................9 III- Matrices de passage......................................................................................................................11 1- Matrice dans une base d'une famille finie de vecteurs..............................................................11 2- Matrice dans une base d'une famille de formes linéaires..........................................................11 3- Bijection entre les bases de e et ................................................................................................11 a- Définition d'une matrice de passage......................................................................................11 b- Formule de changement de coordonnées..............................................................................12 4- Transformation de la matrice d'une application linéaire par un changement de base...............12 a- Matrices équivalentes............................................................................................................12 b- Matrices équivalentes...........................................................................................................12 IV- Rang d'une matrice.......................................................................................................................13 1- Définitions et propriétés............................................................................................................13 2- Rang de A et transposée de A....................................................................................................14 1/14 Cours PCSI Les matrices Introduction « Les matrices : des tableaux de nombres pour représenter le monde » Tangente hors série n°44. Économie, électronique, astronomie, graphisme, jeux. Démographie évolution d'une population. Généralité de l'algèbre : extension des lois de composition interne à d'autres objets que des nombres. À l'origine matrice et déterminant liés. Gauss utilise une substitution linéaire. Terme « déterminant » dû à Cauchy. James Sylvester (1814-1897 )emploie le terme matrice en 1850. Membre de la Royal Society, American Journal of Mathematics. ArthurCayley (1821-1895 1858 « A memoir on the theory of Matrices » 2/14 Cours PCSI Les matrices I- Rappels. 1- Définition Matrice définie comme une application de Nn ×N p dans K. Matrices Scalaires. Identité : symbole de Kronecker. 2- Matrices associées à une application linéaire Soit u une application linéaire de E dans F, avec dim (E)=p et dim (F)=n . Soient {ei }1≤ j≤p est une base de E et {f i}1≤i≤n une base de F. n La matrice (M=a ij ) de dimension n×p de M= est définie par : u( e j )=∑ a ij f i i=1 p Soit x=∑ x j e j , alors u( x)=u j=1 p n j=1 i =1 n (∑ ) ∑ p p x j ej = j=1 x j u( e j ) on remplace u( e j ) par son expression. j=1 p p u( x)=∑ x j ∑ a ij f i=∑ ∑ x j a ij f i . Et on trouve yi =∑ a ij x j . On pose Y=MX . i=1 j=1 j=1 où Y et X sont des vecteurs colonnes. M=Mat e, f ( u) M B ,B (u) Interprétation de la jième colonne de la matrice. Et de la nième ligne. E F Cas particulier où E=F , et on prend la même base pour l'ensemble de départ et l'espace d'arrivée. Cas d'une forme linéaire. Dans ce cas on prend 1 pour la base de K et on a en ligne les valeurs de u( e1 ), u( e2 ), ... u (e n ) 3/14 Cours PCSI Les matrices II- Opérations sur les matrices. 1- Structure d'espace vectoriel. a- Somme et produit par un réel. Définition : Soit A=(a ij ) et B=(bij ) alors ( A+B)=(a ij +bij ) Propriété : Soient u∈L (E , F) et v ∈L( E , F) de matrices respectives A et B dans les bases B1 et B2 , alors M B ,B ( u+v )=A+B . 1 2 Démonstration : On calcule ( u+v )(e j)=u (e j)+v (e j) . Et on écrit u( e j ) et v ( e j) Définition : Soit A=(a ij ) λ ∈K , alors (λ A)=(λ a ij) Propriété : Soient u∈L (E , F) et de matrices A dans les bases B1 et B2 , alors M B ,B (λ u )=λ A 1 2 b- Isomorphisme de L (E , F) sur M n , p(K) . Théorème : Une base B1 de E et une base B2 de F étant fixées. L'application Φ : L( E , F ) → M n, p ( K ) u ֏ M B1 , B2 (u ) est un isomorphisme. Démonstration. Les deux propriétés précédentes montrent que l'application est linéaire. Elle est injective car Ker (Φ) est réduit à l'application nulle. Elle est surjective. Une matrice M étant donnée, il existe une application linéaire qui à M comme matrice dans les bases B 1 et B2 . Cas particulier : isomorphisme canonique sur L (K p , K n ) . 4/14 Cours PCSI Les matrices À toute matrice M on associe une application linéaire de K p dans K n munis de leur base canonique. Identification des matrices colonnes et vecteurs de K n . Identification des matrices lignes et des formes linéaires sur K p Conséquence : dimension de dim (L (E , F))=n×p c- Isomorphisme entre L(E) et M n (K ) Cas particulier E=F . Si E est munie d'une base B 2-Structure d'anneau a- Produit de 2 matrices. Soient E,F et G trois espaces tels que dim(E)=p, dim(F)=q et dim(G)=n. Soient BE , BF , et BG des bases de E, F et G. On considère u∈L (E , F) et v ∈L(F , G) . On pose A=Mat B ,B (u) et B=Mat B ,B (v) . E F F G Soit C=Mat( BE , BG)( v ∘ u) . n Par définition : v ( u (e j))=∑ c ij g i . i=1 Exprimons les coefficients de C en fonction de ceux de A et B. q u( e j )=∑ a kj f k k =1 q q k=1 k=1 v ( u (e j))=v( ∑ a kj f k )=∑ a kj v (f k ) n Par définition v ( f k )=∑ bik g i i=1 5/14 Cours PCSI Les matrices q n k =1 i=1 n q n v ( u (e j))=∑ a kj ∑ b ik g i=∑ ∑ a kj bik g i=∑ i=1 k=1 i=1 (∑ ) q k =1 b ik a kj g i q Et la matrice C=(c ij ) avec c ij=∑ bik a kj k=1 Définition du produit de deux matrices. 1≤i≤q et A=(A kj )1≤k ≤n , on définit le produit C=B×A par : Soient B=( bik )1≤k≤ p 1≤ j≤q q c ij=∑ bik a kj k=1 Propriété : M B ,B (v ∘ u )=M B ,B ( v)×M B , B ( u) 1 3 2 3 1 2 Remarques : – on ne peut pas toujours faire le produit de 2 matrices. Et si n≠p , la multiplication n'est pas une loi de composition interne. – on peut adopter l'un des points de vue (matrices ou applications linéaires) pour démontrer une propriété sur l' autre. – Compatibilité avec le produit Y=MX . b- Exemples Produit de 2 matrices scalaires (homothéties), diagonales, triangulaires supérieures ,inférieures. Produit de deux rotations. Projecteurs TD 19 exercice 10 On note (e 1 , e2 , e3 ) la base canonique de ℝ3 . On définit l'endomorphisme f : ℝ 3 → ℝ3 , par : f (e 1)=3 e 1+4 e 22 e3, f (e 2 )=e1e2+e3, f (e 3)=e1+2 e2 et on pose g=f Id . Symétrie : la conjugaison. c- Propriétés du produit. Associative : C×(B×A)=(C×B)×A Démonstration : le produit matriciel traduit la composée de deux applications linéaires. 6/14 Cours PCSI Les matrices Démonstration analytique : n q i=1 k =1 n q e lj=∑ d li ∑ bik a kj =∑ ∑ d li bik a kj q d lj =∑ k =1 ( n ∑ cli b ik i=1 i=1 k =1 ) a kj d'où le résultat. Forme bilinéaire : l'application de M n , p(K )×M n , p(K ) → M n , p(K ) qui au couple (A,B) associe A×B est bilinéaire. A×(α B+β C)=α A×B+β A×C En particulier : La multiplication est distributive par rapport à l'addition. A×(B+C)=A×B+A×C Cas particulier des matrices carrées. Dans ce cas la multiplication est une loi de composition interne. (M n (K ),+ , ∘ ) est un anneau Démonstration : (M n (K ),+) est un groupe abélien. × Est une loi de composition interne : associative, distributive par rapport à + et possédant un élément neutre. Matrice identité. I n =δij . Interprétation avec des applications linéaires. d- Attention !!!!!!!!! C'est un anneau non commutatif. Certaines matrices commutent, par exemple les matrices scalaires commutent avec toutes les matrices et ce sont les seules. Exemple : Propriété : M n (K ) n'est pas intègre. Matrice nilpotente. 7/14 Cours PCSI Les matrices Exemple la dérivée dans un espace de polynômes est une application linéaire nilpotente et sa représentation matricielle l'est aussi. e- Sous-anneau. Matrice scalaire. Matrice diagonale. Matrice triangulaire supérieure. Matrices triangulaires inférieures. 3- Le groupe linéaire. Définition : Une matrice M ∈M n (K) est inversible si et seulement si il existe M 1 telle que MM 1=M1 M =I n . M 1 est l'inverse de la matrice M. Propriété :Soit BE , une base de E et u∈L (E) tel que M=Mat B (u) alors M est inversible si et seulement si u∈GL( E) . E 1 Démonstration : si u est inversible, soit N=Mat B ( u ) , et la traduction de u ∘ u1=u 1 ∘ u=Id E en termes matricielles donne M×N=N×M=I n E Propriété : Soit M ∈M n (K) s'il existe N∈M n ( K) tel que M×N=I n alors M est inversible et M 1=N Démonstration : interprétation avec les applications linéaires. Si u ∘v=Id E ⇒ v injective et u surjective . Et dans un espace vectoriel de dimension finie si une application linéaire est injective ou surjective alors elle est un automorphisme. Définition L'ensemble des matrices inversibles est un groupe. C'est le groupe linéaire noté GLn (K) Démonstration : Le produit de 2 matrices du groupes linéaires est une matrice du groupe linéaire. Cela se traduit par : la composée de deux automorphismes est un automorphisme. On a : ( A×B)1=B1×A1 . 8/14 Cours PCSI Les matrices C'est le groupe des unités de l'anneau M n (K ) . Exemples : L'identité, les matrices scalaires avec λ≠0 . Les matrices diagonales avec tous les termes diagonaux non nul. Les matrices triangulaires qui ont tous leurs coefficients diagonaux non nuls. Les matrices de symétrie. Les matrices de rotation. Remarques: – deux applications linéaires u et v peuvent être des automorphismes sans que u+v soient un automorphisme. – Si M ∈GLn ( K) et λ≠0 alors λ M∈GL n ( K) . 4- Transposée d'une matrice. a- Définition. Définition : Soit A∈M n , p ( K) , alors B= t A est la matrice de M p ,n (K) qui vérifie bij =a ji . Exemples : Propriété : t (A+B)=t (A)+ t (B) Propriété : t (λ A)=λ t ( A) L'application de M n , p(K) dans M p ,n ( K) qui à une matrice associe sa transposée est linéaire. Propriété : t (A×B)=t (B)×t ( A) b- Matrices symétriques et anti-symétriques. Définition : Soit A∈M n ( K) , A est symétrique si t A=A . Définition : Soit A∈M n (K) , A est antisymétrique si t A=A . Propriété : une matrice antisymétrique a ses coefficients diagonaux nulles. 9/14 Cours PCSI Les matrices Exemples : Produit vectoriel dans ℝ3 Sous-espaces en somme directe. Propriété: L'ensemble des matrices symétriques Sn (A) et l'ensemble des matrices antisymétriques An ( A) sont deux sous-espaces vectoriels en somme directe. Démonstration : Ce sont les noyaux des applications qui à A associe t AA et t A+A . donc ce sont des sous-espaces vectoriels. Leur intersection est nulle. Leur somme est tout l'espace (analogie décomposition paire et impaire). La somme de leur dimension est n2 . n ( n+1) n ( n1) et dim (A n ( K))≤ et on en déduit que leur dimension sont 2 2 n ( n+1) n ( n1) respectivement et . 2 2 On a : dim (Sn ( K))≤ 10/14 Cours PCSI Les matrices III- Matrices de passage. 1- Matrice dans une base d'une famille finie de vecteurs. Définition Soit E un espace vectoriel de dimension n et une famille de p vecteurs (x 1, …, x p) , la matrice dans la base B(e 1, ....., e n ) , notée Mat B (x 1, ...., x p) est la matrice dont la jième colonne est formée des coordonnées de x j dans la base B. Remarque : Mat B 1, B2 ( u)=Mat B ( u (B1 )) . 2 2- Matrice dans une base d'une famille de formes linéaires. 3- Bijection entre les bases de e et GLn (K) a- Définition d'une matrice de passage Définition : Soient B et B' deux bases de E, la matrice de passage de la base B à la base B', notée P (B, B') est la matrice des vecteurs (e '1 ,… ., e ' n ) dans la base (e 1 , ...., e n ) . Exemples. Matrice de rotation. Propriété : La matrice de passage de la base B à la base B' est la matrice de l'identité dans les base B' et B. P (B, B')=Mat B ', B (Id E ) Conséquence : P (B, B')×P (B ', B)=P (B ', B)×P (B, B')=1 . P(B,B') est une matrice inversible et son inverse est P(B',B). Démonstration : on utilise Id E ∘ Id E=Id E 11/14 Cours PCSI Les matrices Exemple : matrice de rotation. Réciproque : Les vecteurs définis par une matrice inversible à partir d'une base forment une base. Démonstration : Dans ce cas, si la matrice est inversible elle définit un isomorphisme, et l'image d'une base par un isomorphisme est une base. b- Formule de changement de coordonnées. On interprète que P (B, B')=Mat B ', B (Id E ) . X=PX' On a les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles. 4- Transformation de la matrice d'une application linéaire par un changement de base. a- Matrices équivalentes. M '=Q1 MP b- Matrices semblables. 1 M '=P MP 12/14 Cours PCSI Les matrices IV- Rang d'une matrice. 1- Définitions et propriétés Définition : Le rang d'une matrice A est le rang de ces vecteurs colonnes considérés comme des vecteurs de K n . Exemples : dans M 2 ( K) et M 3 ( K) et M 2,3 ( K) . Propriété : Lien entre le rang d'une matrice et le rang d'une famille de vecteurs. rang (Mat B (x 1, ...., x p ))=rang( x 1, x 2, ..., x p) Démonstration : on utilise l'isomorphisme entre K n et E, une base de E étant fixée. Mat B (x 1, ...., x p) Et un isomorphisme conserve la dimension. Théorème : Le rang d'une application linéaire est le rang d'une matrice qui la représente. rang(u )=rg (Mat B , B (u )) . 1 2 Remarque : tous les calculs du rang se ramène au calcul du rang d'une matrice. Corollaire 1 : deux applications linéaires représentées par la même matrice dans des bases différentes ont le même rang. Corollaire 2 : deux matrices équivalentes ont le même rang et en particulier deux matrices semblables ont le même rang. Corollaire 3 : le rang d'une matrice est invariant quand on la multiplie à droite ou à gauche par une matrice inversible. Théorème : une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est de rang n. Démonstration : elle est inversible si et seulement si u∈GL( E) , c'est-à-dire si u est surjective. u est surjective si et seulement si rang(u )=n . 13/14 Cours PCSI Les matrices 2- Rang de A et transposée de A. Théorème : Une matrice M est de rang r si et seulement si elle est équivalente à J n , r, p Démonstration : On prend un supplémentaire E' du noyau, et on forme une base de E avec en prenant une base du noyau et une base du supplémentaire. On considère l'image de la base de E' (qui est libre car la restriction de u à E' est injective, et une application injective transforme une famille libre en une famille libre) dans F et on la complète en une base de F. Corollaire 1 : une matrice et sa transposée ont le même rang. Corollaire 2 : le rang d'une matrice est le rang de ces vecteurs colonnes et aussi le rang de ces vecteurs lignes. 14/14