Les matrices

Cours PCSI Les matrices
Table des matières
Introduction..........................................................................................................................................2
I- Rappels..............................................................................................................................................3
1- Définition.....................................................................................................................................3
2- Matrices associées à une application linéaire..............................................................................3
II- Opérations sur les matrices..............................................................................................................4
1- Structure d'espace vectoriel.........................................................................................................4
a- Somme et produit par un réel..................................................................................................4
b- Isomorphisme.........................................................................................................................4
c- Isomorphisme entre L(E)........................................................................................................5
2-Structure d'anneau .......................................................................................................................5
a- Produit de 2 matrices..............................................................................................................5
b- Exemples ................................................................................................................................6
c- Propriétés du produit...............................................................................................................6
d- Attention !!!!!!!!!....................................................................................................................7
e- Sous-anneau............................................................................................................................8
3- Le groupe linéaire........................................................................................................................8
4- Transposée d'une matrice.............................................................................................................9
a- Définition................................................................................................................................9
b- Matrices symétriques et anti-symétriques...............................................................................9
III- Matrices de passage......................................................................................................................11
1- Matrice dans une base d'une famille finie de vecteurs..............................................................11
2- Matrice dans une base d'une famille de formes linéaires..........................................................11
3- Bijection entre les bases de e et ................................................................................................11
a- Définition d'une matrice de passage......................................................................................11
b- Formule de changement de coordonnées..............................................................................12
4- Transformation de la matrice d'une application linéaire par un changement de base...............12
a- Matrices équivalentes............................................................................................................12
b- Matrices équivalentes...........................................................................................................12
IV- Rang d'une matrice.......................................................................................................................13
1- Définitions et propriétés............................................................................................................13
2- Rang de A et transposée de A....................................................................................................14
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Cours PCSI Les matrices
Introduction
« Les matrices : des tableaux de nombres pour représenter le monde »
Tangente hors série n°44.
Économie, électronique, astronomie, graphisme, jeux.
Démographie évolution d'une population.
Généralité de l'algèbre : extension des lois de composition interne à d'autres objets que des
nombres.
À l'origine matrice et déterminant liés.
Gauss utilise une substitution linéaire.
Terme « déterminant » dû à Cauchy.
James Sylvester (1814-1897 )emploie le terme matrice en 1850. Membre de la Royal Society,
American Journal of Mathematics.
ArthurCayley (1821-1895 1858 « A memoir on the theory of Matrices »
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Cours PCSI Les matrices
I- Rappels.
1- Définition
Matrice définie comme une application de
N
n
×
N
p
dans K.
Matrices Scalaires.
Identité : symbole de Kronecker.
2- Matrices associées à une application linéaire
Soit u une application linéaire de E dans F, avec
dim
(
E
)=
p
et
dim
(
F
)=
n
.
Soient {
e
i
}
1
≤
j
≤
p
est une base de E et {
f
i
}
1
≤
i
≤
n
une base de F.
La matrice
(
M
=
a
ij
)
de dimension
n
×
p
de M= est définie par : u(e
j
)=∑
i=1
n
a
ij
f
i
Soit x=∑
j
=
1
p
x
j
e
j
, alors u(x)=u
(
∑
j=1
p
x
j
e
j
)
=∑
j=1
p
x
j
u(e
j
) on remplace
u
(
e
j
) par son expression.
u(x)=∑
j
=
1
p
x
j
∑
i
=
1
n
a
ij
f
i
=∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
p
x
j
a
ij
f
i
. Et on trouve y
i
=∑
j
=
1
p
a
ij
x
j
. On pose
Y
=
MX
.
où Y et X sont des vecteurs colonnes.
M
=
Mat
e,f
(
u
)
M
B
E
,B
F
(
u
) Interprétation de la j
ième
colonne de la matrice.
Et de la n
ième
ligne.
Cas particulier où
E
=
F
, et on prend la même base pour l'ensemble de départ et l'espace d'arrivée.
Cas d'une forme linéaire.
Dans ce cas on prend 1 pour la base de K et on a en ligne les valeurs de
u
(
e
1
)
,
u
(
e
2
)
,
...
u
(
e
n
)
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Cours PCSI Les matrices
II- Opérations sur les matrices.
1- Structure d'espace vectoriel.
a- Somme et produit par un réel.
Définition : Soit
A
=(
a
ij
) et
B
=(
b
ij
) alors (
A
+
B
)=(
a
ij
+
b
ij
)
Propriété : Soient
u
∈
L
(
E
,
F
) et
v
∈
L
(
E
,
F
) de matrices respectives A et B dans les bases
B
1
et
B
2
, alors
M
B
1
,B
2
(
u
+
v
)=
A
+
B
.
Démonstration :
On calcule (
u
+
v
)(
e
j
)=
u
(
e
j
)+
v
(
e
j
). Et on écrit
u
(
e
j
) et
v
(
e
j
)
Définition : Soit
A
=(
a
ij
)
λ∈
K
, alors
(λ
A
)=(λ
a
ij
)
Propriété : Soient
u
∈
L
(
E
,
F
)
et de matrices A dans les bases
B
1
et
B
2
, alors
M
B
1
,B
2
(λ
u
)=λ
A
b- Isomorphisme de
L
(
E
,
F
)
sur
M
n
,
p
(
K
)
.
Théorème :
Une base
B
1
de E et une base
B
2
de F étant fixées.
L'application
Φ
:
est un isomorphisme.
Démonstration.
Les deux propriétés précédentes montrent que l'application est linéaire.
Elle est injective car
Ker
(Φ) est réduit à l'application nulle.
Elle est surjective. Une matrice M étant donnée, il existe une application linéaire qui à M comme
matrice dans les bases
B
1
et
B
2
.
Cas particulier : isomorphisme canonique sur
L
(
K
p
,
K
n
)
.
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1 2
,
,
( , ) ( )
( )
n p
B B
L E F M K
u M u
→
֏

Cours PCSI Les matrices
À toute matrice M on associe une application linéaire de
K
p
dans
K
n
munis de leur base
canonique.
Identification des matrices colonnes et vecteurs de
K
n
.
Identification des matrices lignes et des formes linéaires sur
K
p
Conséquence : dimension de
dim
(
L
(
E
,
F
))=
n
×
p
c- Isomorphisme entre L(E) et
M
n
(
K
)
Cas
particulier
E
=
F
.
Si E est munie d'une base B
2-Structure d'anneau
a- Produit de 2 matrices.
Soient E,F et G trois espaces tels que dim(E)=p, dim(F)=q et dim(G)=n.
Soient
B
E
,
B
F
, et
B
G
des bases de E, F et G.
On considère
u
∈
L
(
E
,
F
)
et
v
∈
L
(
F
,
G
)
.
On pose
A
=
Mat
B
E
,B
F
(
u
) et
B
=
Mat
B
F
,B
G
(
v
).
Soit
C
=
Mat
(
B
E
,
B
G
)(
v
∘
u
)
.
Par définition : v(u(e
j
))=∑
i
=
1
n
c
ij
g
i
.
Exprimons les coefficients de C en fonction de ceux de A et B.
u(e
j
)=∑
k
=
1
q
a
kj
f
k
v(u(e
j
))=v(∑
k
=
1
q
a
kj
f
k
)=∑
k
=
1
q
a
kj
v(f
k
)
Par définition v(f
k
)=∑
i=1
n
b
ik
g
i
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