Exos Probas corrigés

B1
Exercices probabilités
Exercice 1
Un candidat se présente à un concours où, cette fois, les 20 questions sont données sous forme de QCM.
A chaque question, sont proposées 4 réponses, une seule étant exacte. L’examinateur fait le compte des
réponses exactes données par les candidats. Certains candidats répondent au hasard à chaque question ; pour
ceux-la, définir une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité, son espérance.
Exercice 2
Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des courriers
publicitaires à envoyer aux clients. Pour cela, elle décide d’affranchir, au hasard, une proportion de 3 lettres
sur 5 au tarif urgent, les autres au tarif normal.
1. Quatre lettres sont envoyées dans un cabinet médical de quatre médecins : quelle est la probabilité des
événements :
A : «Au moins l’un d’entre eux reçoit une lettre au tarif urgent».
B : «Exactement 2 médecins sur les quatre reçoivent une lettre au tarif urgent».
2. Soit X la variable aléatoire : «nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi 10 lettres» : Quelle est
la loi de probabilité de X, quelle est son espérance, quelle est sa variance ?
Exercice 3
On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses. Calculer la
probabilité des événements :
A : au moins une ampoule est défectueuse ;
B : les 3 ampoules sont défectueuses ;
C : exactement une ampoule est défectueuse.
Exercice 4
Un fumeur, après avoir lu une série de statistiques effrayantes sur les risques de cancer, problèmes
cardiovasculaires liés au tabac, décide d’arrêter de fumer ; toujours d’après des statistiques, on estime les
probabilités suivantes : si cette personne n’a pas fumé un jour Jn, alors la probabilité pour qu’elle ne fume
pas le jour suivant Jn+1 est 0,3 ; mais si elle a fumé un jour Jn, alors la probabilité pour qu’elle ne fume pas le
jour suivant Jn+1 est 0,9 ; quelle est la probabilité Pn+1 pour qu’elle fume le jour Jn+1 en fonction de la
probabilité Pn pour qu’elle fume le jour Jn ? Quelle est la limite de Pn ? Va-t-il finir par s’arrêter ?
Exercice 5
Un professeur oublie fréquemment ses clés.
Pour tout n, on note : En l’événement «le jour n, le professeur
oublie ses clés», Pn = P(En), Qn = P( E n ).
On suppose que : P1 = a est donné et que si le jour n il oublie ses clés, le jour suivant il les oublie avec la
1
4
probabilité
; si le jour n il n’oublie pas ses clés, le jour suivant il les oublie avec la probabilité
10
10
1
4
Montrer que Pn+1= P n + Qn
10
10
En déduire une relation entre Pn+1 et Pn
Quelle est la probabilité de l’événement «le jour n, le professeur oublie ses clés» ?
Exercice 6
Une personne se trouve devant une porte fermée à clé. Elle dispose d'un trousseau de 10 clés parmi lesquelles
une seule ouvre la porte. Elle essaie les clés les unes après les autres, en écartant les clés déjà essayées.
Quelle est la probabilité qu'elle ouvre la porte au k-ième essai ?
Corrigé
Exercice 1
Un candidat se présente à un concours où, cette fois, les 20 questions sont données sous forme de QCM.
A chaque question, sont proposées 4 réponses, une seule étant exacte. L’examinateur fait le compte des
réponses exactes données par les candidats. Certains candidats répondent au hasard à chaque question ; pour
ceux-la, définir une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité, son espérance.
Soit X la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses du candidat qui répond au hasard.
1
Alors X suit une loi binomiale B(20, ). Et E(X) = 5. Ce qui représente la note moyenne obtenue en
4
répondant au hasard.
Exercice 2
Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs d’affranchissements des courriers
publicitaires à envoyer aux clients. Pour cela, elle décide d’affranchir, au hasard, une proportion de 3 lettres
sur 5 au tarif urgent, les autres au tarif normal.
1. Quatre lettres sont envoyées dans un cabinet médical de quatre médecins : quelle est la probabilité des
événements :
A : «Au moins l’un d’entre eux reçoit une lettre au tarif urgent».
B : «Exactement 2 médecins sur les quatre reçoivent une lettre au tarif urgent».
2. Soit X la variable aléatoire : «nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi 10 lettres» : Quelle est
la loi de probabilité de X, quelle est son espérance, quelle est sa variance ?
1.
Le nombre de lettres au tarif urgent suit une binomiale B(4,
4
2
Donc P(A) = 1 - ( )
5
Et P(B) =
()
2
3
)
5
2
4 2 3
( )( )
2 5 5
2. X suit une binomiale B(10,
3
12
), E(X) = 6, V(X) =
5
5
Exercice 3
On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses. Calculer la
probabilité des événements :
A : au moins une ampoule est défectueuse ;
B : les 3 ampoules sont défectueuses ;
C : exactement une ampoule est défectueuse.
P(A) = 1 -
(103)
(153)
P(B) =
( 53)
(153)
P(C) =
(51)×( 102)
( 153)
Exercice 4
Un fumeur, après avoir lu une série de statistiques effrayantes sur les risques de cancer, problèmes
cardiovasculaires liés au tabac, décide d’arrêter de fumer ; toujours d’après des statistiques, on estime les
probabilités suivantes : si cette personne n’a pas fumé un jour Jn, alors la probabilité pour qu’elle ne fume
pas le jour suivant Jn+1 est 0,3 ; mais si elle a fumé un jour Jn, alors la probabilité pour qu’elle ne fume pas le
jour suivant Jn+1 est 0,9 ; quelle est la probabilité Pn+1 pour qu’elle fume le jour Jn+1 en fonction de la
probabilité Pn pour qu’elle fume le jour Jn ? Quelle est la limite de Pn ? Va-t-il finir par s’arrêter ?
Définissons les événements : Fn «Fumer le nème jour», et Fn l’événement complémentaire. Alors ( Fn , Fn )
constitue un système complet d’événements, Pn = P(Fn) ;
on peut donc écrire : P(Fn+1) = P(Fn+1/ Fn)P(Fn)+ P(Fn+1= Fn )P( Fn ).
Comme P(Fn+1/Fn) = 0,9 et P(Fn+1/ Fn ) = 0,3
1 - Pn+1 = 0,9Pn +0,3(1 - Pn), soit Pn+1 = - 0,6Pn +0,7.
Suite arithmético-géométrique, qu'il faut résoudre
7
16
n
Alors, la suite Qn = (Pn -L ) vérifie : Qn+1 = - 0, 6Qn, ce qui permet de conclure : Qn+1 = (−0,6) Q 1
7
Donc lim Pn =
, ce qui prouve que le fumeur ne va pas s'arrêter de fumer.
16
n →+∞
Cherchons la solution de l’équation «L= - 0,6 L +0,7». On obtient L =
Exercice 5
Un professeur oublie fréquemment ses clés.
Pour tout n, on note : En l’événement «le jour n, le professeur
oublie ses clés», Pn = P(En), Qn = P( E n ).
On suppose que : P1 = a est donné et que si le jour n il oublie ses clés, le jour suivant il les oublie avec la
1
4
probabilité
; si le jour n il n’oublie pas ses clés, le jour suivant il les oublie avec la probabilité
10
10
1
4
Montrer que Pn+1= P n + Qn
10
10
En déduire une relation entre Pn+1 et Pn
Quelle est la probabilité de l’événement «le jour n, le professeur oublie ses clés» ?
Pn+1 = P(En+1) = P(En+1/En)P(En)+P(En+1/ E n )P( E n ) =
Suite arithmético-géométrique.
n−1
4
−3
+a (
)
On trouve : Pn =
13
10
1
4
1
4
4
3
P n + Qn = P n + (1−Pn )= − Pn
10
10
10
10
10 10
Exercice 6
Une personne se trouve devant une porte fermée à clé. Elle dispose d'un trousseau de 10 clés parmi lesquelles
une seule ouvre la porte. Elle essaie les clés les unes après les autres, en écartant les clés déjà essayées.
Quelle est la probabilité qu'elle ouvre la porte au k-ième essai ?
Soit A i l'évènement 'l' essai numéro i est infructueux'.
Soit E k l'évènement 'elle ouvre la porte au k-ième essai'
k−1
Alors E k =( ∩ A i )∩A k
i=1
D'après la formule des probabilités totales :
9−(k−2)
9 8
1
P(E k )=( × ×..×
)×
10 9
10−(k−2) 10−(k−1)
(10−(k−1))!
9!
1
=
×
×
(9−(k−1))!
10 !
11−k
(11−k)!
1
=
=
10
(10−k)!×10×(11−k)