AP : Équations du premier degré Partie Exercices EQ
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AP : Équations du premier degré 2nde Quelques définitions de base : Une égalité est une affirmation concernant des nombres, utilisant le signe "=", et qui est soit vraie, soit fausse. Par exemple l’égalité 4 × 5 = 20 est ...................., l’égalité π = 3, 1415 est ........................, l’égalité (x + 1)2 = x 2 + 2x + 1 est ..................... pour ..................................................................... (on qualifie alors cette égalité d’identité), l’égalité 2x + 1 = 3 est ....................... pour ...................... En fait, une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu, représenté par une lettre (souvent par la lettre x bien que ce ne soit pas une obligation), s’appelle une équation à une inconnue. Si cette équation peut s’écrire, après éventuelles transformations, sous la forme ax + b = 0 où a, b ∈ R, a non nul, alors cette équation est dite du premier degré. Si cette équation peut s’écrire, après éventuelles transformations, sous la forme ax 2 + bx + c = 0 où a, b, c ∈ R, a non nul, alors cette équation est dite du second degré, etc. pour les degrés suivants. Par exemple 2(x + 1) = x + 3 est une équation du ...................... degré, (x − 2)2 − 4 = 0 est une équation du ........................ degré, (2x + 1)2 = 4x 2 − 3x + 5 est une équation du ........................ degré. Résoudre une équation consiste à trouver toutes les valeurs du nombre inconnu x pour lesquelles l’égalité est vraie ; ces valeurs sont appelées solutions de l’équation. Ce module a pour but de faire le tour des différentes méthodes à mettre en œuvre pour résoudre différents types d’équations du premier degré. Exercice 1 : vérifier une égalité 1. Les égalités suivantes sont-elles vraies ou fausses ? 2 = 0, 667 3 p p 3 12 = 6 p p p 3 + 12 = 15 p 1 5 p = 5 5 2. Vérifier que les égalités suivantes sont vraies : x 2 − 6x + 1 = (x − 3)2 − 8 pour tout réel x 2 3 2x + 5x − 1 = pour tout réel x 6= −2 x +2 x +2 2x − 5 = 5(−x + 3) + 36 pour x = 8 2x + 1 − (2x − 1)2 = 9 pour x = −1 (6x − 2)(4 − x) = 0 http://lycee.lagrave.free.fr pour x = 4 ou x = 1 3 Partie Exercices EQ 1/2 AP : Équations du premier degré 2nde Méthode pour résoudre les équations du premier degré : Nous suivrons l’exemple de la résolution de l’équation 4x − 5 = 3(3 − 2x). Toutes les opérations que l’on peut faire sur cette équation, et qui sont décrites ci-dessous, ne changent pas l’ensemble de ses solutions. – On a le droit de transformer chaque membre de l’équation en développant, en réduisant au même dénominateur, etc. : ................................................................................................................... – On a le droit d’ajouter ou de retrancher à chaque membre de l’équation la même quantité, ou encore de multiplier ou de diviser chaque membre de l’équation par un même nombre non nul, ceci dans le but d’isoler l’inconnue dans le membre de gauche, et les constantes dans le membre de droite, pour aboutir finalement à une équation du type ax = b : ................................................................................................................... ................................................................................................................... – Si a 6= 0 alors on peut déterminer la valeur de l’unique solution de cette équation en divisant chaque membre de l’équation par a (donnez la solution sous la forme la plus simple possible) : ................................................................................................................... – On donne l’ensemble des solutions : .................................................................................................................... Exercice 2 : résoudre algébriquement une équation du premier degré Résoudre sur R (c’est-à-dire déterminer l’ensemble de toutes les solutions réelles) les équations suivantes : ¯ ¯ 2x + 8 = −4 2x + 8 = −4x + 1 ¯ 2x + 8 = −4(x − 2) première série : ¯¯ 2x + 8 = −4(x + 1) ¯ 2x + 8 = −4(x + 1) + 6(x + 2) 2x + 8 = −4(x + 1) + 6(x + 1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ seconde série : ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 x +8 = − 4 2 p p x 2− 6 = 2 2x + 1 −5 = 3 6 p p x 2− 6 = x +2 5−x =2 6 2x + 1 −3x − 1 = 3 6 x + 5 2x + 3 3x − 1 − = 4 3 12 5x + 1 1 = x −4 3 2 Dans le cas d’une équation avec quotients, si l’inconnue ne figure pas au dénominateur, on réduit tous les quotients au même dénominateur puis on multiplie les deux membres de l’équation par le dénominateur commun. troisième série : 3 6 = x − 1 3x + 5 x +6 x = 2x 2x + 1 Dans le cas d’une équation avec quotients, si l’inconnue figure au dénominateur, on détermine les valeurs interdites de l’équation (celles qui annulent les dénominateurs), on réduit tous les quotients au même dénominateur dans chaque membre, puis on utilise le fait que ba = dc équivaut à ad = bc http://lycee.lagrave.free.fr Partie Exercices EQ 2/2
