Algèbre linéaire en dimension finie.

MPSI A
2004-2005
Feuille d’exercices
Algèbre linéaire en dimension finie.
Exercice 1: On regarde C comme R-espace vectoriel. Soit f : C → C une application R-linéaire. Montrer qu’il existe des nombres complexes a et b tels que
f (z) = az + bz. À quelle condition est-elle C-linéaire ?
Exercice 2: Soient A, B,C trois sous-espace vectoriel de E. Comparer A∩B+A∩C
et A ∩ (B +C).
Exercice 3: Soit f ∈ L (E). Montrer les équivalences :
f 2 = 0 ⇐⇒ Im f ⊂ Ker f
Ker f 2 = Ker f ⇐⇒ Im f ∩ Ker f = {0}.
Exercice 4: On appelle matrice magique d’ordre n toute matrice A ∈ Mn (K) telle
que la somme des éléments de chaque colonne, de chaque ligne et des deux diagonales soient égales à un même nombre, qu’on appelle la somme de la matrice. Soit
E l’ensemble des matrices magiques.
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de Mn (K).
2. Soit N l’ensemble des matrices magiques de somme nulle et C l’ensemble
des matrices constantes, i.e. dont tous les coefficients sont égaux. Montrer que
N et C sont supplémentaires.
3. Dans N , on considère les sous-ensembles S et A constitués respectivement
des matrices symétriques (a j,k = ak, j ) et antisymétriques (a j,k = −ak, j ). Montrer que S et A sont supplémentaires dans N .
4. Si n = 3, déterminer toutes les matrices magiques.
Exercice 5: Soit f un endomorphisme du K-espace vectoriel E. Pour tout P =
e f ) = ∑k ak f k . Soient P, Q ∈ K[X].
∑k ak X k ∈ K[X], on considère P(
e f ) et Im Q(
e f ) ⊂ Im P(
e f ) ⊂ Ker Q(
e f)
1. Montrer que si P divise Q, Ker P(
2. Soit D le PGCD de P et Q. Montrer que
e f)
e f ) = Ker P(
e f ) ∩ Ker Q(
Ker D(
1
e f ).
e f ) = Im P(
e f ) + Im Q(
Im D(
Exercice 6: Soit E un K-espace vectoriel, où K est un corps de caractéristique
nulle (par exemple Q, R ou C, voire R(X)). Soit p ∈ L (E) un projecteur.
1. Montrer que u ∈ L (E) commute avec p si et seulement si Ker p et Im p sont
stables par u.
2. Soit q ∈ L (E) un projecteur. Montrer que si p◦q+q◦ p = 0, alors p◦q = q◦ p.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour avoir p + q projecteur.
Déterminer dans ce cas Ker(p + q) et Im(p + q).
4. On suppose p ◦ q = q ◦ p. Montrer que p ◦ q est un projecteur, et préciser son
image et son noyau.
Exercice 7: Soit I un intervalle contenant au moins deux points et E = C (I, R).
1. Soit ∈ N et λ1 < · · · < λn des nombres réels. Montrer que la famille (t 7→
eλit )1≤i≤n est libre dans E. (On pourra dériver.)
2. Montrer que la famille (sin kt)1≤k≤n est libre.
3. Montrer que la famille (cosk t)1≤k≤n est libre.
Exercice 8:
1. Soit (Pj ) j une famille de polynômes de K[X] tels que pour tous i 6= j, deg Pi 6=
deg Pj . Montrer que (Pj ) est libre. Réciproque ?
2. Soit (Q j ) j une famille de polynômes de K[X] tels que pour tout n ∈ N, il
existe Qi de degré n. Montrer que (Q j ) est génératrice. Réciproque ?
Exercice 9: Soit n ∈ N et (ei )1≤i≤n la base canonique de Kn . Pour 1 ≤ l ≤ n, on
pose e0l = ∑1≤i≤l ei . Montrer que la famille (e0i )i est une base
– par récurrence ;
– en utilisant un isomorphisme avec Kn−1 [X].
Exercice 10: Soit E un espace vectoriel. Soit u un endomorphisme nilpotent de
E, i.e. un endomorphisme pour lequel il existe un entier n ≥ 1 tel que un−1 6= 0 et
un = 0. Cet entier n (unique) s’appelle l’ordre de nilpotence.
1. Soit x ∈ E tel que un−1 (x) 6= 0. Montrer que la famille (x, u(x), . . . , un−1 (x))
est libre.
2. Donner un exemple d’endomorphisme nilpotent d’ordre k ≤ n dans Kn−1 [X].
(Commencer par k = n et k = 1.)
Exercice 11: On considère n ∈ N, E = Cn [X] et pour tous 0 ≤ k ≤ n, Pk = X k (1 −
X)n−k . Montrer que (P0 , . . . , Pn ) est une base de E.
Exercice 12:
1. Soit E = Kn . Donner un supplémentaire du sous-espace vectoriel
F = {(x1 , . . . , xn ) ∈ E | x1 + · · · xn = 0}.
2
2. Soit E = C ([0, 1], R) et Φ : E → R l’application linéaire qui à f associe
R1
0 f (t)dt. Donner un supplémentaire du noyau de Φ dans E. (Tuyau : il y
en a beaucoup et ils sont tout petits.)
Exercice 13: [Polynômes interpolateurs de Lagrange]
On considère n ∈ N, E = Cn [X] et a0 , . . . , an des nombres complexes distincts.
Pour tout i tel que 0 ≤ i ≤ n, on définit le polynôme interpolateur de Lagrange par
Pi =
X − ak
.
0≤k≤n,k6=i ai − ak
∏
1. Déterminer que Pi (ak ).
2. Montrer que (Pi )0≤i≤n est une base de E.
3. Préciser les coordonnées du vecteur P = ∑0≤k≤n ck X k dans cette base.
Exercice 14: [Lemme de l’échange]
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Soit (ei ) et ( f j ) deux bases.
Montrer que l’on peut échanger e1 par un vecteur f j0 de ( f j ) tel que ( f j0 )∪(ei )2≤i≤n
soit encore une base de E.
Exercice 15: Soit E, F, G trois espaces vectoriels de dimensions finies.
1. Soient u ∈ L (E, F) et v ∈ L (F, G). Montrer les inégalités
dim Ker v ◦ u ≤ dim Ker u + dim Ker v
rg u + rg v − dim F ≤ rg(v ◦ u) ≤ min(rg u, rg v).
2. Soient u et v dans L (E, F). Montrer l’inégalité
| rg u − rg v| ≤ rg(u + v) ≤ rg u + rg v.
Exercice 16: Soit α un nombre complexe non-nul et E = Q[X]. On note Q(α) le
plus petit sous-corps de C qui contient α.
1. Montrer que R est un espace vectoriel de dimension infinie sur Q.
2. Soit Φ : E → C l’application qui à P associe P(α). Montrer que Φ est linéaire
et déterminer son noyau.
3. On suppose qu α est algébrique, i.e. il existe P ∈ E \ {0} tel que P(α) = 0.
Montrer que Q(α) est un espace vectoriel de dimension finie sur Q. Montrer
que Q(α) = Im Φ.
4. On suppose α transcendant. Montrer que Q(α) est de dimension infinie sur
Q.
5. Pour aller plus loin : Montrer que si α est transcendant, Q(α) est isomorphe
à Q(X) (en tant que quoi ?).
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Exercice 17: Soit E un espace vectoriel de dimension n et u ∈ L (E).
1. On suppose que u2 = 0. Montrer que rg u ≤ n2 .
2. Soit v ∈ L (E). On suppose que ker u + ker v = Im u + Im v = E. Montrer que
les deux sommes sont directes.
3. Montrer que si ker u = Im u, alors n est pair. Réciproquement, si n est pair,
construire une application linéaire u telle que ker u = Im u.
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