Algèbre linéaire en dimension finie.

MPSI A 2004-2005
Feuille d’exercices
Algèbre linéaire en dimension finie.
Exercice 1: On regarde Ccomme R-espace vectoriel. Soit f:C→Cune ap-
plication R-linéaire. Montrer qu’il existe des nombres complexes aet btels que
f(z) = az+bz. À quelle condition est-elle C-linéaire?
Exercice 2: Soient A,B,Ctrois sous-espace vectoriel de E. Comparer A∩B+A∩C
et A∩(B+C).
Exercice 3: Soit f∈L(E). Montrer les équivalences :
f2=0⇐⇒ Im f⊂Ker f
Ker f2=Ker f⇐⇒ Im f∩Ker f={0}.
Exercice 4: On appelle matrice magique d’ordre ntoute matrice A∈Mn(K)telle
que la somme des éléments de chaque colonne, de chaque ligne et des deux diago-
nales soient égales à un même nombre, qu’on appelle la somme de la matrice. Soit
El’ensemble des matrices magiques.
1. Montrer que Eest un sous-espace vectoriel de Mn(K).
2. Soit Nl’ensemble des matrices magiques de somme nulle et Cl’ensemble
des matrices constantes, i.e. dont tous les coefficients sont égaux. Montrer que
Net Csont supplémentaires.
3. Dans N, on considère les sous-ensembles Set Aconstitués respectivement
des matrices symétriques (aj,k=ak,j) et antisymétriques (aj,k=−ak,j). Mon-
trer que Set Asont supplémentaires dans N.
4. Si n=3, déterminer toutes les matrices magiques.
Exercice 5: Soit fun endomorphisme du K-espace vectoriel E. Pour tout P=
∑kakXk∈K[X], on considère e
P(f) = ∑kakfk. Soient P,Q∈K[X].
1. Montrer que si Pdivise Q, Ker e P(f)⊂Ker e Q(f)et Im e Q(f)⊂Im e P(f)
2. Soit Dle PGCD de Pet Q. Montrer que
Ker e D(f) = Ker e P(f)∩Ker e Q(f)Im e D(f) = Im e P(f) + Im e Q(f).
1

Exercice 6: Soit Eun K-espace vectoriel, où Kest un corps de caractéristique
nulle (par exemple Q,Rou C, voire R(X)). Soit p∈L(E)un projecteur.
1. Montrer que u∈L(E)commute avec psi et seulement si Kerpet Im psont
stables par u.
2. Soit q∈L(E)un projecteur. Montrer que si p◦q+q◦p=0, alors p◦q=q◦p.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour avoir p+qprojecteur.
Déterminer dans ce cas Ker(p+q)et Im(p+q).
4. On suppose p◦q=q◦p. Montrer que p◦qest un projecteur, et préciser son
image et son noyau.
Exercice 7: Soit Iun intervalle contenant au moins deux points et E=C(I,R).
1. Soit ∈Net λ1<··· <λndes nombres réels. Montrer que la famille (t7→
eλit)1≤i≤nest libre dans E. (On pourra dériver.)
2. Montrer que la famille (sinkt)1≤k≤nest libre.
3. Montrer que la famille (coskt)1≤k≤nest libre.
Exercice 8:
1. Soit (Pj)june famille de polynômes de K[X]tels que pour tous i6=j, degPi6=
degPj. Montrer que (Pj)est libre. Réciproque?
2. Soit (Qj)june famille de polynômes de K[X]tels que pour tout n∈N, il
existe Qide degré n. Montrer que (Qj)est génératrice. Réciproque ?
Exercice 9: Soit n∈Net (ei)1≤i≤nla base canonique de Kn. Pour 1 ≤l≤n, on
pose e0
l=∑1≤i≤lei. Montrer que la famille (e0
i)iest une base
– par récurrence;
– en utilisant un isomorphisme avec Kn−1[X].
Exercice 10: Soit Eun espace vectoriel. Soit uun endomorphisme nilpotent de
E,i.e. un endomorphisme pour lequel il existe un entier n≥1 tel que un−16=0 et
un=0. Cet entier n(unique) s’appelle l’ordre de nilpotence.
1. Soit x∈Etel que un−1(x)6=0. Montrer que la famille (x,u(x),...,un−1(x))
est libre.
2. Donner un exemple d’endomorphisme nilpotent d’ordre k≤ndans Kn−1[X].
(Commencer par k=net k=1.)
Exercice 11: On considère n∈N,E=Cn[X]et pour tous 0 ≤k≤n,Pk=Xk(1−
X)n−k. Montrer que (P0, . . . , Pn)est une base de E.
Exercice 12:
1. Soit E=Kn. Donner un supplémentaire du sous-espace vectoriel
F={(x1, . . . , xn)∈E|x1+···xn=0}.
2

2. Soit E=C([0,1],R)et Φ:E→Rl’application linéaire qui à fassocie
R1
0f(t)dt. Donner un supplémentaire du noyau de Φdans E. (Tuyau : il y
en a beaucoup et ils sont tout petits.)
Exercice 13: [Polynômes interpolateurs de Lagrange]
On considère n∈N,E=Cn[X]et a0,...,andes nombres complexes distincts.
Pour tout itel que 0 ≤i≤n, on définit le polynôme interpolateur de Lagrange par
Pi=∏
0≤k≤n,k6=i
X−ak
ai−ak.
1. Déterminer que Pi(ak).
2. Montrer que (Pi)0≤i≤nest une base de E.
3. Préciser les coordonnées du vecteur P=∑0≤k≤nckXkdans cette base.
Exercice 14: [Lemme de l’échange]
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie n. Soit (ei)et (fj)deux bases.
Montrer que l’on peut échanger e1par un vecteur fj0de (fj)tel que (fj0)∪(ei)2≤i≤n
soit encore une base de E.
Exercice 15: Soit E,F,Gtrois espaces vectoriels de dimensions finies.
1. Soient u∈L(E,F)et v∈L(F,G). Montrer les inégalités
dimKerv◦u≤dimKeru+dimKerv
rgu+rgv−dimF≤rg(v◦u)≤min(rgu,rgv).
2. Soient uet vdans L(E,F). Montrer l’inégalité
|rgu−rgv| ≤ rg(u+v)≤rgu+rgv.
Exercice 16: Soit αun nombre complexe non-nul et E=Q[X]. On note Q(α)le
plus petit sous-corps de Cqui contient α.
1. Montrer que Rest un espace vectoriel de dimension infinie sur Q.
2. Soit Φ:E→Cl’application qui à Passocie P(α). Montrer que Φest linéaire
et déterminer son noyau.
3. On suppose qu αest algébrique, i.e. il existe P∈E\ {0}tel que P(α) = 0.
Montrer que Q(α)est un espace vectoriel de dimension finie sur Q. Montrer
que Q(α) = ImΦ.
4. On suppose αtranscendant. Montrer que Q(α)est de dimension infinie sur
Q.
5. Pour aller plus loin : Montrer que si αest transcendant, Q(α)est isomorphe
àQ(X)(en tant que quoi?).
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Exercice 17: Soit Eun espace vectoriel de dimension net u∈L(E).
1. On suppose que u2=0. Montrer que rgu≤n
2.
2. Soit v∈L(E). On suppose que keru+kerv=Imu+Imv=E. Montrer que
les deux sommes sont directes.
3. Montrer que si keru=Imu, alors nest pair. Réciproquement, si nest pair,
construire une application linéaire utelle que keru=Imu.
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