Echanges et bilans d`énergie

Sup PCSI1 - Exercices de physique Premier principe
1
Premier principe : échanges et bilans d’énergie
1. Travail reçu dans une transformation adiabatique.
a) Une masse de 0,100 kg d'air, assimilé à un gaz parfait diatomique, subit une compression
adiabatique qui fait passer sa température de Ti = 293 K à Tf = 333 K. Trouver l'expression du travail
nécessaire à la compression.
b) Le même travail est fourni dans des conditions adiabatiques au même dispositif. Cependant, on a
placé préalablement dans l’enceinte un morceau de laine d’acier de masse 50,0 g. Quelle sera la
température finale ?
Application numérique :
Cvm = 5R/2 avec R = 8,314 J.K
-1
mol
-1
; masse molaire de l’air M = 29,0 g.mol
-1
;
Capacité thermique massique de l’acier inoxydable : c = 460 J.kg
-1
.K
-1
Réponse : a) ∆ U = W (adiabatique). W = 2,87 kJ b) T’
f
= 323 K.
2. Carabine à air comprimé.
Dans une carabine à air comprimé, une masse d'air (assimilée à un gaz parfait) de rapport de capacités
thermiques constant γ = 1,4 occupe un volume V = 5,0 cm
3
sous la pression P
0
= 1,0.10
6
Pa, à la
température de 15°C. Cette masse d'air se détend adiabatiquement dans le canon de longueur L = 1,0
m et de section s = 0,25 cm², en propulsant le projectile de masse m = 1,0 g dans l'atmosphère.
On précise que dans les conditions envisagées, on peut considérer que la transformation de l’air suit la
loi de Laplace reliant pression et volume par : P.V
γ
= cste.
a. Calculer la pression P
1
de la masse d'air à la fin de la détente.
b. Calculer la température de la masse d'air à la fin de la détente.
c. Calculer le travail W fourni par la masse d'air au cours de la détente.
d. En supposant que ce travail est intégralement cédé à la balle pour la propulser, quel est le
module de la vitesse à la sortie du canon ?
Réponse : a) P
1
= 1,1.10
5
Pa ; b) T
f
= 151 K ; c) n
air
= 2,09.10
-3
mol ; W
fourni
= 5,9 J. d) v = 110 m.s
-1
.
3. Echauffement d’un gaz par compression.
Un cylindre de section S = 1,0 cm², fermé par un piston, contient un nombre n de moles d’air prises
dans les conditions initiales :
V
i
= 15,0 cm
3
; T
i
= 293 K et P
i
= 1,01.10
5
Pa, égale à la pression atmosphérique.
L’air est considéré comme un gaz parfait diatomique de capacité thermique molaire à volume constant

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2
C
vm
= 5R/2. R = 8,31 J.K
-1
mol
-1
.
On exerce une action brutale de compression de norme F sur le dispositif, avec F = 65 N. Le frottement
du piston sur le cylindre met en jeu une force de module F
f
= 20 N.
La transformation est supposée suffisamment rapide pour être considérée comme adiabatique. Le
piston subit un déplacement sur une longueur ∆L = 10 cm.
Déterminer la température T
f
atteinte par l’air si l’on suppose que la transmission d’énergie aux parois
du cylindre se limite au phénomène de frottement.
Réponse : faire le bilan énergétique ∆U = W ; en explicitant ∆U et W on tire
ܶ
௙
= ܶ
௜
+
ଶ
ହ௡ோ
൫ܨ + ܲ
௔௧௠
. ܵ − ܨ
௙
൯. ∆ܮ avec n = P
i
.V
i
/(R.T
i
). AN : n = 6,22.10
-4
mol ; T
f
= 719 K = 446°C
4. Compression isotherme ou monotherme d’un gaz parfait :
Un cylindre est rempli d’un gaz parfait monoatomique de coefficient γ = C
p
/ C
v
= 5/3, sous une
pression initiale p
o
= 1 bar et à la température T
o
= 273 K.
Un piston de masse négligeable l’isole de l’extérieur. Le fond du cylindre est un très bon conducteur
thermique et se trouve au contact d’un thermostat de température T
o
= 273 K. Sa section est S = 100
cm². On donne l’intensité du champ de pesanteur g = 9,8 m.s
-2
.
Calculer la hauteur finale h, le travail W reçu par le gaz et le transfert thermique Q mis en jeu lorsque,
partant d’une hauteur h
o
= 1 m et à T
o
= 273 K :
a) On ajoute progressivement de petites masses sur le piston pour atteindre finalement une masse
totale m = 50 kg ;
b) On pose brutalement une masse de 50 kg sur la face supérieure du piston.
Réponse : 1°) Transfo isotherme. pV = cste, W = -Q = nRT
o
Ln(p/p
o
). h = 0,67 m ; W = 405 J.
2°) Transfo monotherme. W = p
f
.(h
o
– h
f
)S , h
f
= 0,67 m inchangée. W = -Q = 500 J
5. Pertes thermiques :
Une maison d'habitation subit, pour une durée dt, des pertes thermiques à travers mur et toit
d'expression : δQ
pertes
= K.(T(t) – T
o
)dt où T(t) est la température intérieure, To la température
extérieure et K un facteur constant. Le chauffage de la maison étant coupé à l'instant t = 0 , déterminer
l'évolution T(t) de la température intérieure. Commenter le rôle joué par les différents paramètres.
On notera T
1
la température initiale, (T
1
> T
o
) et C
p
la capacité thermique de l'habitation.
R : faire un bilan thermique sur une durée infinitésimale dt. Intégrer. T(t) = T
o
+ (T
1
– T
o
).exp(-Kt/C
p
).

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6. Mesure de la capacité thermique massique (ou "chaleur massique") d'un solide :
Un calorimètre contient m
1
= 95,0 g d'eau à t
1
= 20,0 °C. On ajoute une masse m
2
= 71,0 g d'eau prise à
la température t
2
= 50,0 °C. La capacité thermique massique de l'eau est c = 4,18 Jg
-1
K
-1
.
a) Quelle serait la température d'équilibre t
e
si l'on pouvait négliger la capacité thermique du vase et
des accessoires?
b) La température d'équilibre est en fait t'
e
= 31,3 °C. En déduire la "valeur en eau" µ du calorimètre
c'est à dire la masse d'eau µ ayant une capacité thermique égale à celle du calorimètre.
c) Le même calorimètre contient maintenant m'
1
= 100 g d'eau à t'
1
= 15,0 °C. On y plonge un
échantillon métallique de masse m = 25,0 g sortant d'une étuve à t'
2
= 95,0 °C. La température
d'équilibre est t
éq
= 16,7 °C. Calculer la capacité thermique massique c
mét
du métal (parfois nommée
« chaleur massique » par abus de langage).
Réponse : Equation calorimétrique ∆ H = 0 → t
e
= 32,8 °C ; µ = 22,5 g ; c
mét
= 443 J.kg
-1
K
-1
.
7. Etude d'un cycle de Stirling. Rendement thermodynamique.
On envisage le cycle ABCDA décrit par 0,10 kg d'air, assimilable à un gaz parfait de masse molaire M =
29 g.mol-1 et de coefficient γ = 1,4 supposé constant. Le cycle est défini comme suit : les
transformations AB et CD sont isothermes, de températures respectives T1 et T2 et les transformations
BC et DA sont isochores. On précise : VA < VB et T1 > T2.
a) Représenter ce cycle en coordonnées de Clapeyron. Discuter le signe des transferts thermiques sur
les différentes parties du cycle. Montrer que Q
BC
+ Q
DA
= 0.
b) En fonction des variables d'état VA , T1 , T2 et PC , exprimer les transferts thermiques :
Q
1
, reçu par le système de la part de la source chaude au cours d'un cycle moteur réversible,
Q
2
, cédé par le système à la source froide au cours d'un cycle moteur réversible,
Exprimer le rendement thermodynamique du cycle : ρ = -W / Q1 , - W étant le travail produit sur un
cycle par le système.
c) On peut montrer théoriquement que tout cycle moteur ditherme (mettant en jeu deux sources de
chaleur), de températures T1 pour la source chaude et T2 pour la source froide, a un rendement
inférieur ou égal au rendement de Carnot : ρ
carnot
= 1 – T
2
/T
1
. Comparer le rendement précédent à
cette limite théorique, qui est valide quelle que soit la technologie et le fluide employés. En pratique,
les transferts thermiques des phases isochores du cycle ont lieu avec un organe interne à la machine
de Stirling, nommé régénérateur, formé d’un treillis métallique qui est traversé par le fluide lors de ces
transformations. Commenter son rôle et les conditions qu’il devrait remplir pour amener un
fonctionnement selon le cycle étudié.
d) Calculer numériquement les grandeurs exprimées en a) b) et c) pour : VA = 2,87.10
-3
m
3
;
PA = 40 bar ; PC = 1,0 bar ; T2 = 300 K. On donne R = 8,314 J.K-1mol-1.
e) Le moteur envisagé a une vitesse de rotation ω = 9,0 tour.min
-1.
Quelle est sa puissance ?

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Réponse : a) Cycle moteur → sens horaire. b)
2
1 1
ln
C A
nRT
Q nRT
P V
=
;
2 2
2
ln
C A
P V
Q nRT
nRT
=
où n = m/M
c) ρ = ρ
carnot
. d) nRT
1
= P
A
.V
A
; avec m = 0,10 kg, T
1
= ((M/m).P
A
V
A
)/R = 400 K ; Q
DA
= -Q
BC
= 8,6.10
2
J.
Q
1
= P
A
.V
A
.ln((P
A
.T
2
)/(P
C
.T
1
)) = 39 kJ et Q
2
= P
A
.V
A
.(T
2
/T
1
).ln((P
A
.T
2
)/(P
C
.T
1
)) = -29 kJ ; W = -10 kJ ρ = 0,25.
e) fréquence de cycle : f = 9,0/60 = 0,15 cycle.s
-1
donc P = (-W).f = 1,5 kW.
8. Cycle d'un moteur Diesel.
Dans le cycle Diesel, après un premier temps d'admission
(AoA) suit est une compression adiabatique réversible de
l'air seul (AB), avec un rapport volumétrique a = VA/VB assez
important.
Le carburant n'est injecté qu'à partir de B. La température
en B est suffisante pour que le mélange s'enflamme
spontanément (sans l'aide de bougies d'allumage).
Le taux d'injection est réglé de telle façon que la pression reste constante pendant la phase BC de la
détente.
On arrête l'injection en C, et on laisse le mélange se détendre adiabatiquement (de façon supposée
réversible) selon CD. En D le piston est alors au point mort bas ; on suppose un refroidissement
isochore DA. Les gaz brûlés sont enfin refoulés hors du cylindre (AAo).
On peut considérer que le carburant n'intervient que par la réaction de combustion, constituant
l'apport énergétique nécessaire au fonctionnement de la machine. La capacité thermique du fluide
contenu dans le cylindre peut être considérée comme constante sur le cycle ABCD. Elle correspond
approximativement à la capacité thermique de l'air (gaz diatomique) subissant ces transformations. Le
gaz est supposé parfait.
Exprimer le rendement de ce cycle en fonction du rapport des capacités thermiques γ, supposé
constant et indépendant de la composition du mélange, du rapport volumétrique de compression a et
du rapport volumique de détente b = VD / VC.
Réponse : En calculant : QBC = ∆H
BC
= Cp.(TC - TB) et QDA = ∆U
DA
= Cv.(TA - TD)
avec η = -W / QBC = 1 + QBC / QDA .
On tire après remise en forme (on relie les températures entre elles par les adiabatiques réversibles et
l’on utilise le fait que B→C soit isobare) :
ߟ = 1 + 1
ߛ.ܽ
ିఊ
− ܾ
ିఊ
1
ܾ−1
ܽ
P
V
Ao A
B
C
D