Corrigé Série 11

Cours de physique générale II (GM et EL) – Dr. Sylvain Bréchet
18 mai 2010
Corrigé Série 11
1. Rendement d’un cycle : isochores et adiabatiques
a) D’après les indications de l’énoncé, la première transformation est une compression adiabatique. La seconde
transformation correspond à un apport de chaleur à volume constant, ce qui implique une augmentation de
pression. Le reste du cycle découle logiquement ensuite.
Ce cycle est globalement un cycle moteur (voir les explications plus détaillées du deuxième exercice). Le travail
net fourni par le système est négatif, et donc fourni à
l’extérieur.
• Point A : La pression PA et la température TA sont donnés dans l’énoncé. Le volume
VA vaut,
nRTA
VA =
.
PA
• Point B : Selon l’adiabatique AB, PA VAγ = PB VBγ ⇒ TA VAγ−1 = TB VBγ−1 . Ainsi le
volume VB , la pression PB et la température TB sont données par,
VB =
VA
,
a
P B = aγ P A ,
TB = aγ−1 TA .
• Point C : Selon l’isochore BC, le volume
VC = VB =
VA
.
a
D’autre part, en utilisant la relation CV γ = CP = CV + R (cf. explication exercice 2),
Q0 = nCV (TC − TB ) =
Ainsi,
TC =
nR
(TC − TB ) .
γ−1
γ−1
γ−1
Q0 + TB =
Q0 + aγ−1 TA .
nR
nR
On en déduit aussi,
PA TC
PA
PC = a
=a
TA
TA
γ−1
Q0 + aγ−1 TA
nR
• Point D : Selon l’isochore DA, le volume
VD = VA .
1
=a
γ−1
Q 0 + aγ P A .
VA
Selon l’adiabatique CD, PD VDγ = PC VCγ
TC VCγ−1 = TD VDγ−1 . Ainsi,
⇒
PD = PC a−γ = a1−γ
TD = a1−γ
γ−1
Q0 + PA ,
VA
γ−1
Q0 + TA .
nR
b) Sur le cycle, le premier principe s’écrit,
∆U = W + Q0 + QDA = 0 .
L’énergie QDA se calcule de la même manière que Q0 (voir point C) :
QDA =
nR
(TA − TD ) = −a1−γ Q0 .
γ−1
Finalement, on en tire le travail,
W = −Q0 − QDA = −Q0 1 − a1−γ
.
b) Le rendement se définit par le rapport de la quantité de trvail net fourni et de la chaleur
reçue :
−W
η=
= 1 − a1−γ .
Q0
2. Cycle de Brayton
Ce cycle est un cycle moteur dans lequel de
la chaleur est reçue par le gaz et du travail est
globalement fourni. En se rappelant que le travail est l’opposé en signe de l’aire d’intégration
dans le diagramme (P, V ), on peut représenter le travail net global par l’aire restante qui
n’est pas annulée. Un cycle parcouru dans le
sens des aiguilles d’une montre est un cycle
moteur en général.
a) Travaux et chaleurs :
• Transformation AB : QAB = 0 , pour une adiabatique, P V γ = cste et donc le rapport
des volumes est donné par
VA
VB
1
= a γ . La variation de travail est donnée par,
∆WAB = −P dV = −P1 VAγ
dV
.
Vγ
Après intégration et réarrangement, on obtient,
WAB
P1 VA γ−1
γ
=
a
−1 >0 .
γ−1
2
• Transformation BC : La transformation se fait à pression constante, et donc,
δQBC = nCP dT .
On rappelle par ailleurs que
CP
CV
= γ et CP − CV = R, ce qui donne CP =
QBC = nCP (TC − TB ) =
γR
.
γ−1
Ainsi,
γ
P2 (VC − VB ) > 0 .
γ−1
Pour le travail, on trouve simplement,
WBC = −P2 (VC − VB ) < 0 .
• Transformation CD : En raisonnant de la même manière que pour AB, on trouve
QCD = 0 ,
WCD =
P2 VC − γ−1
a γ −1 <0 ,
γ−1
où on a utilisé le fait que,
1
VB
VC
= a− γ =
.
VD
VA
• Transformation DA : En reprennant le raisonnement de la transformation BC, on
trouve,
γ
QDA =
P1 (VA − VD ) < 0 ,
γ−1
WDA = −P1 (VA − VD ) > 0 .
b) Le rendement se calcule par le rapport du travail net fourni par le cycle et de la chaleur
reçue par le gaz, lors de la transformation BC,
P
− i Wi
η=
.
QBC
Or, d’après le premier principe, la variation d’énergie interne sur le cycle est nulle,
X
X
∆U =
W i + QBC + QDA = 0 ⇒ −
W i = QBC + QDA .
i
i
DA
DA
D
Ainsi, η = QBCQ+Q
= 1+ Q
= 1+ a1 VVAC −V
. En utilisant les relations entre les volumes
QBC
−VB
BC
établies lors des transformations adiabatiques, on obtient finalement,
η =1−a
3
1−γ
γ
.
3. Moteur de tracteur
a) Le diagramme du cycle,
b) Le gaz reçoit de la chaleur pendant la phase BC et restitue du travail de manière globale.
D’autre part, on a QAB = QCD = 0 et le premier principe nous dit que,
∆U = W + QBC + QDA = 0 .
Le rendement est donc,
−W
QDA
=1+
.
QBC
QBC
Le calcul des chaleurs nécessaires se fait comme suit,
• Pour l’isobare BC : QBC = nCP (TC − TB ) > 0
• Pour l’isochore DA : QDA = nCV (TA − TD ) < 0
En utilisant la proriété, CCVP = γ, le rendement s’écrit alors,
η=
η =1−
1 TD − TA
.
γ TC − TB
Les relations entre les différentes températures se déduisent d’après la nature des transformations :
• De l’adiabatique AB, on obtient TB = aγ−1 TA .
• L’isobare BC donne TC = bTB .
• De l’adiabatique CD et de l’isochore DA, on tire, TD = bγ TA .
En utilisant tout ceci, on obtient l’expression finale pour le rendement,
η =1−
1 bγ − 1
.
γ (b − 1) aγ−1
c) • Transformation AB : (adiabatique réversible → isentropique)
∆SAB = 0 ,
∆UAB = nCV (TB − TA ) =
4
nR
TA aγ−1 − 1 .
γ−1
• Transformation BC :
Z
C
∆SBC =
B
δQBC
=
T
Z
C
B
nCP dT
= nCP ln
T
∆UBC = nCV (TB − TA ) =
TC
TB
=
nRγ
lnb .
γ−1
nR γ−1
a TA (b − 1) .
γ−1
• Transformation CD : (adiabatique réversible → isentropique)
∆SCD = 0 ,
∆UCD = nCV (TD − TC ) =
nR
nR
TA bγ − baγ−1 =
bTA bγ−1 − aγ−1 .
γ−1
γ−1
• Transformation DA :
Z
A
∆SDA =
D
δQDA
=
T
Z
A
D
nCV dT
= nCV ln
T
∆UBC = nCV (TA − TD ) =
TA
TD
=−
nRγ
lnb = −∆SBC .
γ−1
nR γ−1
a TA (1 − bγ ) .
γ−1
On vérifier explicitement le statut de fonction d’état de U et de S en remarquant que
∆U = 0 et ∆S = 0 sur le cycle.
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