Ex. 8. Soient Eun K-ev et Aun ensemble.
On note EAl’ensemble des applications de Adans E.
On d´efinit +0:EA×EA→EAainsi: ∀x∈A(f+0g)(x) = f(x) + g(x).
On d´efinit .:K×EA→EAainsi: ∀x∈A(λ.f )(x) = λf(x).
Alors (EA,+0, .) est un K-ev.
D´ef. 9. Soit Eun K-ev. Soit x∈E. Soit k∈N∗. Soient x1, . . . , xk∈E. On dit que
xest combinaison lin´eaire de x1, . . . , xksi ∃λ1, . . . , λk∈Ktels que x=λ1x1+. . . +λkxk.
§Morphismes de K-ev (ou applications lin´eaires).
D´ef. 10. Soient E, F deux K-ev. Soit u:E→Fune application. On dit que uest lin´eaire
(ou que uest un morphisme de K-ev) si elle v´erifie les deux conditions suivantes:
i) ∀x, y ∈E u(x+y) = u(x) + u(y), ii) ∀λ∈K∀x∈E u(λ.x) = λ.u(x).
Rq. et d´ef. 11. Soient E, F deux K-ev. Alors l’application de Edans Fqui `a tout x
de Eassocie 0Fest lin´eaire; on l’appelle l’application nulle de Edans F.
Exo. 12. Soit Eun K-ev. Soit x∈E. On note ul’application de Kdans Ed´efinie par
u(γ) = γx. Alors uest lin´eaire.
Rq. 13. Soient E, F deux K-ev. Soit u:E→Fune application lin´eaire.
Soit k∈N∗. Soient α1, . . . , αk∈Ket x1, . . . , xk∈E.
Alors u(α1x1+. . . +αkxk) = α1u(x1) + . . . +αku(xk).
Rq. 14. Soient E, F deux K-ev. Soit u:E→Fune application lin´eaire.
Alors i) u(0E) = 0F, ii) ∀x∈E u(−x) = −u(x), iii) ∀x, y ∈E u(x−y) = u(x)−u(y).
Exo. 15. Soient E, F deux K-ev. Soit u:E→Fune application.
Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) uest lin´eaire
ii) ∀x, y ∈E∀α, β ∈Ku(αx +βy) = αu(x) + βu(y)
iii) ∀x, y ∈E∀α∈Ku(αx +y) = αu(x) + u(y)
Lemme 16. Soient E, F, G des K-ev. Soient u:E→Fet v:F→Gdes applications
lin´eaires. Alors v◦uest lin´eaire.
D´ef. 17. Soient E, F des K-ev. On appelle isomorphisme de Edans Fune application
de Edans Fqui est lin´eaire, bijective et dont la r´eciproque est lin´eaire.
Rq. 18. Soient E, F des K-ev. Soit uun isomorphisme de Edans F. Alors u−1est un
isomorphisme de Fdans E.
Lemme 19. Soient E, F des K-ev. Soit u:E→Fune application lin´eaire. On suppose
que uest bijective. Alors u−1est un isomorphisme.
D´ef. 20. Soit Eun K-ev. On appelle endomorphisme de Eune application lin´eaire de E
dans E.
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