Chapitre I. Généralités sur les espaces vectoriels. Marc de Crisenoy

Chapitre I. Généralités sur les espaces vectoriels.
Marc de Crisenoy
Convention: dans tout le cours, K désigne un corps commutatif. (En pratique K = Q, R ou C).
§ Généralités.
Déf. 1. On appelle K-espace vectoriel un triplet (E, +, .) ayant les propriétés suivantes:
(E,+) est un groupe abélien
. est une application de K × E dans E (l’image de (λ, x) par cette application est notée λ.x).
∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x + y) = λ.x + λ.y
∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α + β).x = α.x + β.x
∀α, β ∈ K ∀x ∈ E α.(β.x) = (αβ).x
∀x ∈ E 1K .x = x
Lemme 2. Soit E un K-ev. Alors:
i) ∀α ∈ K α.0E = 0E ii) ∀α ∈ K ∀x ∈ E α.(−x) = −(α.x)
iii) ∀x ∈ E 0K .x = 0E iv) ∀α ∈ K ∀x ∈ E (−α).x = −(α.x)
Indication pour i).
Soit α ∈ K. Considérer α.(0E + 0E ).
Rq. 3. Soit E un K-ev. Alors:
i) ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(x − y) = λ.x − λ.y
ii) ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(−x + y) = −λ.x + λ.y
iii) ∀λ ∈ K ∀x, y ∈ E λ.(−x − y) = −λ.x − λ.y
iv) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (α − β).x = α.x − β.x
v) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (−α + β).x = −α.x + β.x
vi) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (−α − β).x = −α.x − β.x
vii) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E (−α).(β.x) = −((αβ).x)
viii) ∀α, β ∈ K ∀x ∈ E α.((−β).x) = −((αβ).x)
ix) ∀x ∈ E (−1K ).x = −x
Prop. 4. Soit E un K-ev. Soient α ∈ K et x ∈ E. Alors: α.x = 0E ⇐⇒ (α = 0K ou x = 0E )
Indication pour =⇒.
Si α 6= 0K , alors on dispose de α−1 .
Rq. 5. Soit E un K-ev. Alors E 6= {0E } ⇐⇒ ∃x ∈ E \ {0E }.
Ex. 6. Notons +K l’addition de K et .K la multiplication de K. Alors (K, +K , .K ) est un
K-ev.
Ex. 7. Soit n ∈ N∗ .
On définit +0 : Kn × Kn → Kn ainsi: (x1 , . . . , xn ) +0 (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ).
On définit . : K × Kn → Kn ainsi: λ.(x1 , . . . , xn ) = (λx1 , . . . , λxn ).
Alors (Kn , +0 , .) est un K-ev.
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Ex. 8. Soient E un K-ev et A un ensemble.
On note E A l’ensemble des applications de A dans E.
On définit +0 : E A × E A → E A ainsi: ∀x ∈ A (f +0 g)(x) = f (x) + g(x).
On définit . : K × E A → E A ainsi: ∀x ∈ A (λ.f )(x) = λf (x).
Alors (E A , +0 , .) est un K-ev.
Déf. 9. Soit E un K-ev. Soit x ∈ E. Soit k ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xk ∈ E. On dit que
x est combinaison linéaire de x1 , . . . , xk si ∃λ1 , . . . , λk ∈ K tels que x = λ1 x1 + . . . + λk xk .
§ Morphismes de K-ev (ou applications linéaires).
Déf. 10. Soient E, F deux K-ev. Soit u : E → F une application. On dit que u est linéaire
(ou que u est un morphisme de K-ev) si elle vérifie les deux conditions suivantes:
i) ∀x, y ∈ E u(x + y) = u(x) + u(y), ii) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E u(λ.x) = λ.u(x).
Rq. et déf. 11. Soient E, F deux K-ev. Alors l’application de E dans F qui à tout x
de E associe 0F est linéaire; on l’appelle l’application nulle de E dans F .
Exo. 12. Soit E un K-ev. Soit x ∈ E. On note u l’application de K dans E définie par
u(γ) = γx. Alors u est linéaire.
Rq. 13. Soient E, F deux K-ev. Soit u : E → F une application linéaire.
Soit k ∈ N∗ . Soient α1 , . . . , αk ∈ K et x1 , . . . , xk ∈ E.
Alors u(α1 x1 + . . . + αk xk ) = α1 u(x1 ) + . . . + αk u(xk ).
Rq. 14. Soient E, F deux K-ev. Soit u : E → F une application linéaire.
Alors i) u(0E ) = 0F , ii) ∀x ∈ E u(−x) = −u(x), iii) ∀x, y ∈ E u(x − y) = u(x) − u(y).
Exo. 15. Soient E, F deux K-ev. Soit u : E → F une application.
Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
i) u est linéaire
ii) ∀x, y ∈ E ∀α, β ∈ K u(αx + βy) = αu(x) + βu(y)
iii) ∀x, y ∈ E ∀α ∈ K u(αx + y) = αu(x) + u(y)
Lemme 16. Soient E, F, G des K-ev. Soient u : E → F et v : F → G des applications
linéaires. Alors v ◦ u est linéaire.
Déf. 17. Soient E, F des K-ev. On appelle isomorphisme de E dans F une application
de E dans F qui est linéaire, bijective et dont la réciproque est linéaire.
Rq. 18. Soient E, F des K-ev. Soit u un isomorphisme de E dans F . Alors u−1 est un
isomorphisme de F dans E.
Lemme 19. Soient E, F des K-ev. Soit u : E → F une application linéaire. On suppose
que u est bijective. Alors u−1 est un isomorphisme.
Déf. 20. Soit E un K-ev. On appelle endomorphisme de E une application linéaire de E
dans E.
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Déf. et rq. 21. Soit E un K-ev. Soit γ ∈ K. L’application de E dans E qui à x associe γx est appelée homothétie de rapport γ. C’est un endomorphisme de E.
Rq. 22. Soit E un K-ev. Alors l’homothétie de rapport 1K est l’identité de E, l’homothétie
de rapport 0K est l’application linéaire nulle de E.
Déf. 23. Soit E un K-ev. On appelle automorphisme de E un isomorphisme de E dans
E.
Rq. 24. Soit E un K-ev. Soit u un automorphisme de E. Alors u−1 est un automorphisme de E.
Ex. 25. Soit E un K-ev. Alors l’identité de E est un automorphisme de E.
Notations 26. a) Soient E, F deux K-ev. On note LK (E, F ) l’ensemble des applications
de E dans F qui sont linéaires.
b) Soit E un K-ev. L’ensemble des endomorphismes de E, LK (E, E), est noté LK (E).
c) Soit E un K-ev. On note GLK (E) l’ensemble des automorphismes de E.
Rq. 27. Dans les notations précédentes, lorsqu’il n’y a pas de risque de confusion, on omet
parfois de mettre K en indice.
Lemme 28. Soit E un K-ev. Alors GLK (E) est un sous groupe du groupe des permutations de E.
§ Généralités sur les sous espaces vectoriels.
Déf. 29. Soit E un K-ev. Un sev de E est une partie E 0 de E vérifiant les conditions
suivantes: i) 0E ∈ E 0 , ii) ∀x, y ∈ E 0 x + y ∈ E 0 , iii) ∀x ∈ E 0 ∀λ ∈ K λx ∈ E 0 .
Rq. 30. Soit E un K-ev. Soit E 0 un sev de E. Alors:
a) ∀x ∈ E 0 − x ∈ E 0 , b) ∀x, y ∈ E 0 x − y ∈ E 0 , c) ∀x, y ∈ E 0 ∀α, β ∈ K αx + βy ∈ E 0 .
Ex. 31. Soit E un K-ev. Alors {0E } et E sont des sev de E.
Rq. 32. Soit E un K-ev. Soit E 0 un sev de E. Alors E 0 muni des lois induites est un
K-ev.
Exo. 33. Soit E un K-ev. Soit E 0 une partie de E. Alors les assertions suivantes sont
équivalentes:
a) E 0 est un sev de E,
b) 0E ∈ E 0 et ∀x, y ∈ E 0 ∀α, β ∈ K αx + βy ∈ E 0 ,
c) E 0 6= ∅ et ∀x, y ∈ E 0 ∀α, β ∈ K αx + βy ∈ E 0 ,
d) E 0 6= ∅ et ∀x, y ∈ E 0 ∀λ ∈ K λx + y ∈ E 0 ,
e) 0E ∈ E 0 et ∀x, y ∈ E 0 ∀λ ∈ K λx + y ∈ E 0 ,
f) E 0 6= ∅ et ∀x, y ∈ E 0 x + y ∈ E 0 et ∀x ∈ E 0 ∀λ ∈ K λx ∈ E 0 ,
Ex. 34. Les sev de K sont {0K } et K.
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Indications.
Soit E 0 un sev de K. On suppose que E 0 =
6 {0K }.
0
a) Remarquer qu’il existe x ∈ E \ {0K }. b) Montrer que 1 ∈ E 0 . c) En déduire que E 0 = K.
Prop. 35. Soient E, F des K-ev. Alors L(E, F ) est un sev de F E .
Lemme 36. Soient E, F des K-ev et u : E → F une application linéaire.
a) Soit E 0 est un sev de E. Alors u(E 0 ) est un sev de F .
b) Soit F 0 est un sev de F . Alors u−1 (F 0 ) est un sev de E.
Déf., notation et rq. 37. Soient E, F des K-ev et u : E → F une application linéaire.
u(E) est appelé image de u et est noté Im(u). C’est un sev de F . u est surjective ssi Im(u) = F .
Déf., notation et rq. 38. Soient E, F des K-ev et u : E → F une application linéaire.
u−1 (0F ) est appelé noyau de u et est noté Ker(u). C’est un sev de E.
Prop. 39. Soient E, F des K-ev et u : E → F une application linéaire.
Alors u est injective ssi Ker(u) = {0E }.
§ Intersection de sous espaces vectoriels. Sous espace vectoriel engendré par une
partie.
Prop. 40. Soit E un K-ev.
a) Soit\I un ensemble non vide. Soit (Ei )i∈I une famille de sev de E indexée par I.
Ei est un sev de E.
Alors
i∈I
\
F est un sev de E.
b) Soit F un ensemble non vide de sev de E. Alors
F ∈F
Cor., déf. et notation 41. Soit E un K-ev. Soit A une partie de E. Alors il existe un
plus petit (pour l’inclusion) sev contenant A. Il est unique. On l’appelle le sev engendré par A
et on le note Vect(A).
Indications pour l’existence.
\
Noter F = {F sev de E | A ⊂ F } puis poser G =
F.
F ∈F
Vérifier que G est un plus petit élément (pour l’inclusion) de F.
Ex. 42. Soit E un K-ev. Alors Vect(∅) = {0E } et Vect(E) = E.
Rq. 43. Soit E un K-ev. Soit F un sev de E. Alors Vect(F ) = F .
Rq. 44. Soit E un K-ev. Soient A et B deux parties de E. On suppose que A ⊂ B.
Alors Vect(A) ⊂ Vect(B).
Déf. 45. Soit E un K-ev. Soit A une partie de E. Si Vect(A) = E, alors on dit que A
est une partie génératrice de E.
Théo. 46. Soit E un K-ev. Soit m ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xm ∈ E.
Alors Vect{x1 , . . . , xm } = {y ∈ E | ∃λ1 , . . . , λm ∈ K y = λ1 x1 + . . . + λm xm }.
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(Le sev engendré par x1 , . . . , xm est l’ensemble des combinaisons linéaires de ces éléments.)
Indications.
On pose F = {y ∈ E | ∃λ1 , . . . , λm ∈ K y = λ1 x1 + . . . + λm xm } et G = Vect{x1 , . . . , xm }.
a) Vérifier que F est un sev de E. b) Justifier que F ⊂ G.
c)i) Justifier que {x1 , . . . , xm } ⊂ F . ii) En déduire que G ⊂ F .
Notation et rq. 47. Soit E un K-ev. Soit x ∈ E.
On note Kx = {y ∈ E | ∃λ ∈ K y = λx} (= ”{λx | λ ∈ K}”). On a que x ∈ Kx.
Kx est le sev engendré par x (ou plus précisément, par {x}).
On note que x = 0E ⇐⇒ Kx = {0E }.
Déf. 48. Soit E un K-ev. On dit que E est une droite s’il existe x ∈ E \ {0E } tel que
E = Kx.
Rq. 49. Soit E un K-ev. Soit x ∈ E \ {0E }. Posons D = Kx. Alors D est une droite
et est le sev engendré par x. Par abus de langage, on dit parfois que D est la droite engendrée
par x.
Rq. 50. Soit D un K-ev. On suppose que D est une droite. Alors ∀x ∈ D \ {0D } D = Kx.
§ Somme de sous espaces vectoriels.
Lemme et déf. 51. Soit E un K-ev. Soient F, G deux sev de E.
Alors {x ∈ E | ∃f ∈ F ∃g ∈ G x = f + g} est un sev de E.
On l’appelle somme de F et de G et on le note F + G.
Rq. 52. Soit E un K-ev. Soient F, G deux sev de E.
Alors F + G = G + F , F ⊂ F + G et G ⊂ F + G.
Rq. 53. Soit E un K-ev. Soit F un sev de E.
Alors a) F + {0E } = F et {0E } + F = F , b) F + E = E et E + F = E, c) F + F = F .
Rq. 54. Soit E un K-ev. Soient F, F 0 , G, G0 des sev de E.
On suppose que F ⊂ F 0 et que G ⊂ G0 . Alors F + G ⊂ F 0 + G0 .
Exo. 55. Soit E un K-ev. Soient F, G deux sev de E. Montrer que F + G = G ⇐⇒ F ⊂ G.
Exo. 56. Soit E un K-ev. Soient F, G deux sev de E. Montrer que F + G = Vect(F ∪ G).
Lemme 57. Soit E un K-ev. Soient F, G, H des sev de E. Alors:
i) (F + G) + H = {x ∈ E | ∃(f, g, h) ∈ F × G × H x = f + g + h}.
ii) F + (G + H) = {x ∈ E | ∃(f, g, h) ∈ F × G × H x = f + g + h}.
iii) (F + G) + H = F + (G + H).
Prop. 58. Soit E un K-ev. Soit m ∈ N∗ . Soient E1 , . . . , Em des sev de E. Alors:
E1 + . . . + Em = {x ∈ E | ∃(x1 , . . . , xm ) ∈ E1 × . . . × Em x = x1 + . . . + xm }.
Rq. 59. Soit E un K-ev. Soit m ∈ N∗ . Soient E1 , . . . , Em des sev de E.
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Alors E1 , . . . , Em ⊂ E1 + . . . + Em .
Rq. 60. Soit E un K-ev. Soit m ∈ N∗ . Soient x1 , . . . , xm ∈ E.
Alors Vect{x1 , . . . , xm } = Kx1 + . . . + Kxm .
Exo. 61. Soit E un K-ev. Soit m ∈ N∗ . Soient E1 , . . . , Em des sev de E.
Alors E1 + . . . + Em = Vect (E1 ∪ . . . ∪ Em ).
Déf. et notation 62. Soit E un K-ev. Soit m ∈ N∗ . Soient E1 , . . . , Em des sev de E.
On dit que E1 , . . . , Em sont en somme directe (ou encore, par abus de langage, que la somme
E1 + . . . + Em est directe) si:
∀(x1 , . . . , xm ) ∈ E1 × . . . × Em (x1 + . . . + xm = 0E =⇒ x1 = 0E , . . . , xm = 0E ).
E1 + . . . + Em est alors noté E1 ⊕ . . . ⊕ Em .
Rq. 63. Soit E un K-ev. Soit m ∈ N∗ . Soient E1 , . . . , Em des sev de E. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
i) E1 , . . . , Em sont en somme directe,
ii) pour tous (x1 , . . . , xm ), (x01 , . . . , x0m ) ∈ E1 × . . . × Em on a:
x1 + . . . + xm = x01 + . . . + x0m =⇒ (x1 , . . . , xm ) = (x01 , . . . , x0m ),
iii) ∀x ∈ E1 + . . . + Em ∃!(x1 , . . . , xm ) ∈ E1 × . . . × Em x = x1 + . . . + xm .
Exo. 64. Soit E un K-ev. Soit m ∈ N∗ . Soient E1 , . . . , Em des sev de E.
Alors E = E1 ⊕. . .⊕Em si et seulement si ∀x ∈ E ∃!(x1 , . . . , xm ) ∈ E1 ×. . .×Em x = x1 +. . .+xm .
Prop. 65. Soit E un K-ev. Soient F, G deux sev de E. Alors F et G sont en somme
directe ssi F ∩ G = {0E }.
Ce critère est valable uniquement pour DEUX sev, et pas pour trois ou plus. En effet:
Ex. 66. On note E = K2 . On considère E1 = K × {0K } E2 = {0K } × K et E3 = {(λ, µ) ∈
K2 | λ = µ}. E1 , E2 et E3 sont des sev de E (ce sont des droites). E1 ∩E2 = {0E } E1 ∩E3 = {0E }
E2 ∩ E3 = {0E }. E1 , E2 et E3 ne sont pas en somme directe.
§ Sous espaces vectoriels supplémentaires.
Théo. 67. Soit E un K-ev. Soient F, G deux sev de E. Alors les assertions suivantes
sont équivalentes:
i) E = F ⊕ G, ii) E = F + G et F ∩ G = {0E }, iii) ∀x ∈ E ∃!(f, g) ∈ F × G x = f + g.
Indications.
Montrer que i) ⇐⇒ ii) et que i) ⇐⇒ iii).
Déf. 68. Soit E un K-ev. Soit F un sev de E. Un supplémentaire de F dans E est un
sev G de E tel que E = F + G et F ∩ G = {0E }.
Rq. et déf. 69. Soit E un K-ev. Soient F, G deux sev de E. Alors les assertions suivantes sont équivalentes:
i) G est un supplémentaire de F dans E, ii) F est un supplémentaire de G dans E.
Lorsque ces assertions sont vraies on dit que F et G sont supplémentaires dans E.
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Ex. 70. Soit E un K-ev. Alors {0E } et E sont supplémentaires dans E.
Ex. 71. K × {0K } et {(λ, µ) ∈ K2 | λ = µ} sont des supplémentaires de {0K } × K dans
K2 .
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