Chapitre I. Généralités sur les espaces vectoriels. Marc de Crisenoy

Chapitre I. G´en´eralit´es sur les espaces vectoriels.
Marc de Crisenoy
Convention: dans tout le cours, Kd´esigne un corps commutatif. (En pratique K=Q,Rou C).
§G´en´eralit´es.
D´ef. 1. On appelle K-espace vectoriel un triplet (E, +, .) ayant les propri´et´es suivantes:
(E,+) est un groupe ab´elien
.est une application de K×Edans E(l’image de (λ, x) par cette application est not´ee λ.x).
∀λ∈K∀x, y ∈E λ.(x+y) = λ.x +λ.y
∀α, β ∈K∀x∈E(α+β).x =α.x +β.x
∀α, β ∈K∀x∈E α.(β.x) = (αβ).x
∀x∈E1K.x =x
Lemme 2. Soit Eun K-ev. Alors:
i) ∀α∈Kα.0E= 0Eii) ∀α∈K∀x∈E α.(−x) = −(α.x)
iii) ∀x∈E0K.x = 0Eiv) ∀α∈K∀x∈E(−α).x =−(α.x)
Indication pour i).
Soit α∈K. Consid´erer α.(0E+ 0E).
Rq. 3. Soit Eun K-ev. Alors:
i) ∀λ∈K∀x, y ∈E λ.(x−y) = λ.x −λ.y
ii) ∀λ∈K∀x, y ∈E λ.(−x+y) = −λ.x +λ.y
iii) ∀λ∈K∀x, y ∈E λ.(−x−y) = −λ.x −λ.y
iv) ∀α, β ∈K∀x∈E(α−β).x =α.x −β.x
v) ∀α, β ∈K∀x∈E(−α+β).x =−α.x +β.x
vi) ∀α, β ∈K∀x∈E(−α−β).x =−α.x −β.x
vii) ∀α, β ∈K∀x∈E(−α).(β.x) = −((αβ).x)
viii) ∀α, β ∈K∀x∈E α.((−β).x) = −((αβ).x)
ix) ∀x∈E(−1K).x =−x
Prop. 4. Soit Eun K-ev. Soient α∈Ket x∈E. Alors: α.x = 0E⇐⇒ (α= 0Kou x= 0E)
Indication pour =⇒.
Si α6= 0K, alors on dispose de α−1.
Rq. 5. Soit Eun K-ev. Alors E6={0E} ⇐⇒ ∃x∈E\ {0E}.
Ex. 6. Notons +Kl’addition de Ket .Kla multiplication de K. Alors (K,+K, .K) est un
K-ev.
Ex. 7. Soit n∈N∗.
On d´efinit +0:Kn×Kn→Knainsi: (x1, . . . , xn) +0(y1, . . . , yn)=(x1+y1, . . . , xn+yn).
On d´efinit .:K×Kn→Knainsi: λ.(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn).
Alors (Kn,+0, .) est un K-ev.
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Ex. 8. Soient Eun K-ev et Aun ensemble.
On note EAl’ensemble des applications de Adans E.
On d´efinit +0:EA×EA→EAainsi: ∀x∈A(f+0g)(x) = f(x) + g(x).
On d´efinit .:K×EA→EAainsi: ∀x∈A(λ.f )(x) = λf(x).
Alors (EA,+0, .) est un K-ev.
D´ef. 9. Soit Eun K-ev. Soit x∈E. Soit k∈N∗. Soient x1, . . . , xk∈E. On dit que
xest combinaison lin´eaire de x1, . . . , xksi ∃λ1, . . . , λk∈Ktels que x=λ1x1+. . . +λkxk.
§Morphismes de K-ev (ou applications lin´eaires).
D´ef. 10. Soient E, F deux K-ev. Soit u:E→Fune application. On dit que uest lin´eaire
(ou que uest un morphisme de K-ev) si elle v´erifie les deux conditions suivantes:
i) ∀x, y ∈E u(x+y) = u(x) + u(y), ii) ∀λ∈K∀x∈E u(λ.x) = λ.u(x).
Rq. et d´ef. 11. Soient E, F deux K-ev. Alors l’application de Edans Fqui `a tout x
de Eassocie 0Fest lin´eaire; on l’appelle l’application nulle de Edans F.
Exo. 12. Soit Eun K-ev. Soit x∈E. On note ul’application de Kdans Ed´efinie par
u(γ) = γx. Alors uest lin´eaire.
Rq. 13. Soient E, F deux K-ev. Soit u:E→Fune application lin´eaire.
Soit k∈N∗. Soient α1, . . . , αk∈Ket x1, . . . , xk∈E.
Alors u(α1x1+. . . +αkxk) = α1u(x1) + . . . +αku(xk).
Rq. 14. Soient E, F deux K-ev. Soit u:E→Fune application lin´eaire.
Alors i) u(0E) = 0F, ii) ∀x∈E u(−x) = −u(x), iii) ∀x, y ∈E u(x−y) = u(x)−u(y).
Exo. 15. Soient E, F deux K-ev. Soit u:E→Fune application.
Alors les assertions suivantes sont ´equivalentes:
i) uest lin´eaire
ii) ∀x, y ∈E∀α, β ∈Ku(αx +βy) = αu(x) + βu(y)
iii) ∀x, y ∈E∀α∈Ku(αx +y) = αu(x) + u(y)
Lemme 16. Soient E, F, G des K-ev. Soient u:E→Fet v:F→Gdes applications
lin´eaires. Alors v◦uest lin´eaire.
D´ef. 17. Soient E, F des K-ev. On appelle isomorphisme de Edans Fune application
de Edans Fqui est lin´eaire, bijective et dont la r´eciproque est lin´eaire.
Rq. 18. Soient E, F des K-ev. Soit uun isomorphisme de Edans F. Alors u−1est un
isomorphisme de Fdans E.
Lemme 19. Soient E, F des K-ev. Soit u:E→Fune application lin´eaire. On suppose
que uest bijective. Alors u−1est un isomorphisme.
D´ef. 20. Soit Eun K-ev. On appelle endomorphisme de Eune application lin´eaire de E
dans E.
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D´ef. et rq. 21. Soit Eun K-ev. Soit γ∈K. L’application de Edans Equi `a xasso-
cie γx est appel´ee homoth´etie de rapport γ. C’est un endomorphisme de E.
Rq. 22. Soit Eun K-ev. Alors l’homoth´etie de rapport 1Kest l’identit´e de E, l’homoth´etie
de rapport 0Kest l’application lin´eaire nulle de E.
D´ef. 23. Soit Eun K-ev. On appelle automorphisme de Eun isomorphisme de Edans
E.
Rq. 24. Soit Eun K-ev. Soit uun automorphisme de E. Alors u−1est un automor-
phisme de E.
Ex. 25. Soit Eun K-ev. Alors l’identit´e de Eest un automorphisme de E.
Notations 26. a) Soient E, F deux K-ev. On note LK(E, F ) l’ensemble des applications
de Edans Fqui sont lin´eaires.
b) Soit Eun K-ev. L’ensemble des endomorphismes de E,LK(E, E), est not´e LK(E).
c) Soit Eun K-ev. On note GLK(E) l’ensemble des automorphismes de E.
Rq. 27. Dans les notations pr´ec´edentes, lorsqu’il n’y a pas de risque de confusion, on omet
parfois de mettre Ken indice.
Lemme 28. Soit Eun K-ev. Alors GLK(E) est un sous groupe du groupe des permuta-
tions de E.
§G´en´eralit´es sur les sous espaces vectoriels.
D´ef. 29. Soit Eun K-ev. Un sev de Eest une partie E0de Ev´erifiant les conditions
suivantes: i) 0E∈E0, ii) ∀x, y ∈E0x+y∈E0, iii) ∀x∈E0∀λ∈Kλx ∈E0.
Rq. 30. Soit Eun K-ev. Soit E0un sev de E. Alors:
a) ∀x∈E0−x∈E0, b) ∀x, y ∈E0x−y∈E0, c) ∀x, y ∈E0∀α, β ∈Kαx +βy ∈E0.
Ex. 31. Soit Eun K-ev. Alors {0E}et Esont des sev de E.
Rq. 32. Soit Eun K-ev. Soit E0un sev de E. Alors E0muni des lois induites est un
K-ev.
Exo. 33. Soit Eun K-ev. Soit E0une partie de E. Alors les assertions suivantes sont
´equivalentes:
a) E0est un sev de E,
b) 0E∈E0et ∀x, y ∈E0∀α, β ∈Kαx +βy ∈E0,
c) E06=∅et ∀x, y ∈E0∀α, β ∈Kαx +βy ∈E0,
d) E06=∅et ∀x, y ∈E0∀λ∈Kλx +y∈E0,
e) 0E∈E0et ∀x, y ∈E0∀λ∈Kλx +y∈E0,
f) E06=∅et ∀x, y ∈E0x+y∈E0et ∀x∈E0∀λ∈Kλx ∈E0,
Ex. 34. Les sev de Ksont {0K}et K.
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Indications.
Soit E0un sev de K. On suppose que E06={0K}.
a) Remarquer qu’il existe x∈E0\ {0K}. b) Montrer que 1 ∈E0. c) En d´eduire que E0=K.
Prop. 35. Soient E, F des K-ev. Alors L(E, F ) est un sev de FE.
Lemme 36. Soient E, F des K-ev et u:E→Fune application lin´eaire.
a) Soit E0est un sev de E. Alors u(E0) est un sev de F.
b) Soit F0est un sev de F. Alors u−1(F0) est un sev de E.
D´ef., notation et rq. 37. Soient E, F des K-ev et u:E→Fune application lin´eaire.
u(E) est appel´e image de uet est not´e Im(u). C’est un sev de F.uest surjective ssi Im(u) = F.
D´ef., notation et rq. 38. Soient E, F des K-ev et u:E→Fune application lin´eaire.
u−1(0F) est appel´e noyau de uet est not´e Ker(u). C’est un sev de E.
Prop. 39. Soient E, F des K-ev et u:E→Fune application lin´eaire.
Alors uest injective ssi Ker(u) = {0E}.
§Intersection de sous espaces vectoriels. Sous espace vectoriel engendr´e par une
partie.
Prop. 40. Soit Eun K-ev.
a) Soit Iun ensemble non vide. Soit (Ei)i∈Iune famille de sev de Eindex´ee par I.
Alors \
i∈I
Eiest un sev de E.
b) Soit Fun ensemble non vide de sev de E. Alors \
F∈F
Fest un sev de E.
Cor., d´ef. et notation 41. Soit Eun K-ev. Soit Aune partie de E. Alors il existe un
plus petit (pour l’inclusion) sev contenant A. Il est unique. On l’appelle le sev engendr´e par A
et on le note Vect(A).
Indications pour l’existence.
Noter F={Fsev de E |A⊂F}puis poser G=\
F∈F
F.
V´erifier que Gest un plus petit ´el´ement (pour l’inclusion) de F.
Ex. 42. Soit Eun K-ev. Alors Vect(∅) = {0E}et Vect(E) = E.
Rq. 43. Soit Eun K-ev. Soit Fun sev de E. Alors Vect(F) = F.
Rq. 44. Soit Eun K-ev. Soient Aet Bdeux parties de E. On suppose que A⊂B.
Alors Vect(A)⊂Vect(B).
D´ef. 45. Soit Eun K-ev. Soit Aune partie de E. Si Vect(A) = E, alors on dit que A
est une partie g´en´eratrice de E.
Th´eo. 46. Soit Eun K-ev. Soit m∈N∗. Soient x1, . . . , xm∈E.
Alors Vect{x1, . . . , xm}={y∈E| ∃λ1, . . . , λm∈Ky=λ1x1+. . . +λmxm}.
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(Le sev engendr´e par x1, . . . , xmest l’ensemble des combinaisons lin´eaires de ces ´el´ements.)
Indications.
On pose F={y∈E| ∃λ1, . . . , λm∈Ky=λ1x1+. . . +λmxm}et G= Vect{x1, . . . , xm}.
a) V´erifier que Fest un sev de E. b) Justifier que F⊂G.
c)i) Justifier que {x1, . . . , xm} ⊂ F. ii) En d´eduire que G⊂F.
Notation et rq. 47. Soit Eun K-ev. Soit x∈E.
On note Kx={y∈E| ∃λ∈Ky=λx}(= ”{λx |λ∈K}”). On a que x∈Kx.
Kxest le sev engendr´e par x(ou plus pr´ecis´ement, par {x}).
On note que x= 0E⇐⇒ Kx={0E}.
D´ef. 48. Soit Eun K-ev. On dit que Eest une droite s’il existe x∈E\ {0E}tel que
E=Kx.
Rq. 49. Soit Eun K-ev. Soit x∈E\ {0E}. Posons D=Kx. Alors Dest une droite
et est le sev engendr´e par x. Par abus de langage, on dit parfois que Dest la droite engendr´ee
par x.
Rq. 50. Soit Dun K-ev. On suppose que Dest une droite. Alors ∀x∈D\ {0D}D=Kx.
§Somme de sous espaces vectoriels.
Lemme et d´ef. 51. Soit Eun K-ev. Soient F, G deux sev de E.
Alors {x∈E| ∃f∈F∃g∈G x =f+g}est un sev de E.
On l’appelle somme de Fet de Get on le note F+G.
Rq. 52. Soit Eun K-ev. Soient F, G deux sev de E.
Alors F+G=G+F,F⊂F+Get G⊂F+G.
Rq. 53. Soit Eun K-ev. Soit Fun sev de E.
Alors a) F+{0E}=Fet {0E}+F=F, b) F+E=Eet E+F=E, c) F+F=F.
Rq. 54. Soit Eun K-ev. Soient F, F 0, G, G0des sev de E.
On suppose que F⊂F0et que G⊂G0. Alors F+G⊂F0+G0.
Exo. 55. Soit Eun K-ev. Soient F, G deux sev de E. Montrer que F+G=G⇐⇒ F⊂G.
Exo. 56. Soit Eun K-ev. Soient F, G deux sev de E. Montrer que F+G= Vect(F∪G).
Lemme 57. Soit Eun K-ev. Soient F, G, H des sev de E. Alors:
i) (F+G) + H={x∈E| ∃(f, g, h)∈F×G×H x =f+g+h}.
ii) F+ (G+H) = {x∈E| ∃(f, g, h)∈F×G×H x =f+g+h}.
iii) (F+G) + H=F+ (G+H).
Prop. 58. Soit Eun K-ev. Soit m∈N∗. Soient E1, . . . , Emdes sev de E. Alors:
E1+. . . +Em={x∈E| ∃(x1, . . . , xm)∈E1×. . . ×Emx=x1+. . . +xm}.
Rq. 59. Soit Eun K-ev. Soit m∈N∗. Soient E1, . . . , Emdes sev de E.
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