Les théorèmes à connaître pour le Bac

Les théorèmes à connaître pour le Bac
Dans ta copie de Bac, il faut citer deux ou trois théorèmes que tu as vus cette année en effet,
il ne faut pas oublier qu’il y a deux points pour la rédaction.
Tu peux faire ce travail toi-même en prenant leçon par leçon et en relevant les théorèmes ou
les définitions que tu as appris cette année seulement.
Définition : On appelle taux d’évolution moyen T
M
de n évolutions successives, le nombre
réel T
M
tel que n évolutions à ce taux T
M
donnera le même résultat que l’évolution globale
constatée.
Sur une grandeur y et n évolutions cela donne (y
0
≠ 0) :
T
M
T
M
T
M
T
M
y
0
y
1
y
2
etc…… y
n – 1
y
n
Taux d’évolution T
y
1
= y
0
(1 + T
M
) ; y
2
= y
1
(1 + T
M
) = y
0
(1 + T
M
)(1 + T
M
) = y
0
(1 + T
M
)
2
; etc…..
y
n
= y
0
(1 + T
M
)
n
T
M
est un pourcentage (T
M
=
100
t
M
= t
M
%). (1 + T
M
) est un coefficient multiplicateur.
Pour calculer T
M
, nous allons utiliser un exposant fractionnaire en effet, T
M
vérifie
l’équation : y
0
(1 + T
M
)
n
= y
0
(1 + T) donc (1 + T
M
)
n
= 1 + T et donc 1 + T
M
=
n
1
)T1( +
++
+
On dit aussi que le coefficient multiplicateur 1 + T
M
est la moyenne géométrique de tous les
coefficients multiplicateurs successifs 1 + T
1
; 1 + T
2
; … etc… ; 1 + T
n.
Définition : L’indice de la grandeur Q par rapport à Q
R
(la quantité de référence) est
I = 100
Q
Q
R×
Enfin le lien entre le taux d’évolution et l’indice : )T1(100Iou1
100
I
T+
++
+=
==
=−
−−
−=
==
=.
Les suites
Les suites vont nous permettre d’étudier des modèles de croissance.

La croissance linéaire c’est-à-dire régulière comme dans u
0
= 0 et u
n+1
= u
n
+ 5 ; n∈N
(0 ; 5 ;10 ; 15 ; 20 etc….)
La croissance exponentielle (si q > 0), celle de l’exemple ci-dessus v
0
= 1 et v
n+1
= 5v
n
; n∈N
(1 ; 5 ; 25 ; 125 ; 625 etc….)
Une suite (u
n
) n ∈ N est arithmétique si et seulement si u
n+1
= u
n
+ r, le réel u
0
étant donné
comme le premier terme. Le réel r s’appelle la raison de la suite.
Pour tout n ∈ N, u
n
peut se calculer directement en faisant u
n
= u
0
+ nr. Nous avons une
croissance ou une décroissance régulière en quantité – croissance ou décroissance linéaire)
Une suite (v
n
) n ∈ N est géométrique si et seulement si v
n+1
= qv
n
,le réel v
0
, premier terme
étant donné (v
0
> 0). Le réel q s’appelle aussi la raison de la suite, nous prendrons q ∈ R
+*
(q > 0). Pour tout n ∈ N, v
n
peut se calculer directement en faisant v
n
= v
0
(q)
n
.
Croissance ou décroissance sont alors exponentielles.
Remarque : si la suite commence à n = 1 c’est-à-dire n∈
∈∈
∈N
*
alors les formules directes
changent, il faut bien lire les consignes.
Suite arithmétique (n∈N
*
), u
n
= u
1
+ (n − 1)r.
Suite géométrique (n∈N
*
), v
n
= v
1
(q)
n − 1
.
Suites arithmétiques
Soit (u
n
) une suite arithmétique de raison r, nous pouvons avoir à calculer la somme S des
termes consécutifs du rang i jusqu’au rang j.
S = (Nombre de termes soit j – i + 1) 2)uu(
Ji
+
++
+
×
××
×
Si nous voulons la somme des termes de u
0
à u
n
alors :
u
0
+ u
1
+ u
2
+ …… + u
n
= 2)uu( )1n(
n0
+
++
+
×
××
×+
++
+
Et si nous voulons la somme des termes de u
1
à u
n
alors :
u
1
+ u
2
+ u
3
+ …… + u
n
= 2)uu( )n(
n1
+
++
+
×
××
×
Théorème
Si r > 0, alors la suite est croissante. Quand n tend vers +∞, u
n
diverge vers +∞.
Si r < 0, alors la suite est décroissante. Quand n tend vers +∞, u
n
diverge vers −∞.

Suites géométriques
Soit (v
n
) une suite géométrique de raison q >
>>
> 0 et q ≠
≠≠
≠ 1, nous pouvons avoir à calculer la
somme S des termes consécutifs du rang i au rang j.
S = (Premier terme de S soit v
i
) q1 )q(1 v
q1
)q(1
1ij
i
termesdeNombre
−
−−
−
−
−−
−
×
××
×=
==
=
−
−−
−
−
−−
−
×
××
×
+
++
+
−
−−
−
Si nous voulons la somme des termes de v
0
à v
n
alors :
v
0
+ v
1
+ v
2
+ …… + v
n
= q1 )q(1 v
1n
0
−
−−
−
−
−−
−
×
××
×
+
++
+
Et si nous voulons la somme des termes de v
1
à v
n
alors :
v
1
+ v
2
+ v
3
+ …… + v
n
= q1 )q(1 v
n
1
−
−−
−
−
−−
−
×
××
×
Théorème
Si q > 1 (et v
0
>
>>
> 0) alors (v
n
) est croissante et diverge vers +∞ quand n tend vers +∞.
Si 0< q < 1 (et v
0
>
>>
> 0) alors (v
n
) est décroissante et converge vers 0 quand n tend vers +∞.
La programmation linéaire
Toute droite du plan (P) d’équation ax+by+c = 0 partage le plan en deux régions dans
lesquelles ax+by+c garde le même signe.
Il s’agit dans les problèmes, en traitant les inéquations les unes après les autres, de déterminer
graphiquement le domaine des contraintes c’est-à-dire l’ensemble des points M(x ;y) qui
répondent à l’ensemble des données du problème.
Ensuite, il s’agit de trouver les coordonnées d’un point réalisant le minimum d’un coût ou le
maximum d’un bénéfice .
Les statistiques
Définition :
On appelle point moyen d’un nuage, le point G(
y
;
x
)
y
et
x
moyennes calculées dans chaque
série.
Au programme, il est demandé d’utiliser la méthode dite « des moindres carrés » pour
trouver la droite d’ajustement linéaire de la forme y = ax + b . Les coefficients a et b sont
donnés par la calculette après avoir rentré les données concernant les deux séries statistiques.
Remarque ; la calculette parle d’un coefficient r, coefficient de corrélation qui indique si
l’alignement est valable ou pas. Règle : si |r|≈1, alors l’alignement est de bonne qualité.
Utilité : Cette droite va permettre des prévisions à court terme par le calcul.

Les probabilités
Théorème : Dans l’équiprobabilité, nous utilisons la formule de Pascal.
Soit A un événement, alors P(A) =
ECard ACard
.
Th1 : Si on a deux évènements A et B incompatibles (c’est-à-dire A ∩ B = ∅ , A et B ne
peuvent pas se produire en même temps) alors : P(A∪
∪∪
∪B) = P(A) + P(B).
S’ils ne sont pas incompatibles alors : P(A∪
∪∪
∪B) = P(A) + P(B) −
−−
− P(A∩
∩∩
∩B).
Th2 : Tout événement A possède son événement contraire noté
A
.
(
A
A
∪
= E ; A ∩
A
=∅) et nous avons P(A) = 1−
−−
− P(
A
).
Les probabilités conditionnelles.
Soit un événement A supposé réalisé, la probabilité d’avoir B réalisé sera :
)A(P )BA(P
)B(PA∩
∩∩
∩
=
==
=
P(A) ≠
≠≠
≠ 0 .
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si )B(P)B(P
A
=
==
= .
(ou bien autrement dit, si P(A∩
∩∩
∩B) = P(A)P(B) ).
Formule des probabilités totales : Soit B
1
, B
2
, ……, B
n
une partition de l’univers E, alors
pour tout événement A, nous aurons :
P(A) = P
B1
(A)P(B
1
) + P
B2
(A)P(B
2
) + …… + P
Bn
(A)P(B
n
) ou autrement écrit
P(A) = P(A∩
∩∩
∩B
1
) + P(A∩
∩∩
∩B
2
) + …… + P(A∩
∩∩
∩B
n
).
Les arbres :
C (Sur cette partie, on suppose A réalisé)
P
A
(C) P(A)
×
P
A
(C) = P(A∩
∩∩
∩C)
A P(A)
×
P
A
(D) = P(A∩
∩∩
∩D)
P(A) P
A
(D)
D
P(B) C (Sur cette partie, on suppose B réalisé)
P
B
(C)
B P(B)
×
P
B
(C) = P(B∩
∩∩
∩C)
P
B
(D)
D
P(B)
×
P
B
(D) = P(B∩
∩∩
∩D)

A chaque nœud, nous avons la somme des probabilités attachées à ce nœud égale à 1 :
P(A) + P(B) = 1 ; P
A
(C) + P
A
(D) = 1 ; P
B
(C) + P
B
(D) = 1 ;
et au bout de l’arbre : P(A∩C) + P(A∩D) + P(B∩C) + P(B∩D) = 1.
Remarque : Dans notre arbre, B =
A
.
Nous pouvons aussi faire un tableau pour représenter la situation ci-dessus.
Les fonctions
Trois types ont été utilisées en première :
a) Les fonctions affines f(x) = ax + b avec a et b réels donnant des droites.
b) Les polynômes de degré 2 f(x) = ax
2
+ bx + c, a réel non nul et b et c des réels (Paraboles).
c) Les fonctions rationnelles (f(x) =
d
cx
bax +
+
avec c ≠ 0, a, b et d quelconques (Hyperboles) et
plus généralement f(x) = )x(Q )x(P P et Q étant des polynômes, Q au moins de degré 1)
Les dérivées
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ;b], le nombre dérivé de f en chaque point x
0
sera calculé en faisant :
)x('f
h)x(f)hx(f
lim
0
00
=
==
=
−
−−
−
+
++
+
(h étant un réel petit 0,1 ou – 0,001 par exemple)
h 0
par définition, f ’(x
0
) s’appelle le nombre dérivé de f en x
0
.
On peut alors construire la fonction dérivée sur l’intervalle [a ;b] :
Pour tout x
0
∈ [a ;b], x
0
y = f ’(x
0
) .
Une chose très importante : la fonction dérivée f ’donne la vitesse instantanée de f en toute
valeur de l’intervalle où elle est définie .
Théorème important
Soit une fonction f, définie sur un intervalle I et dérivable sur cet intervalle :
Si pour tout x∈
∈∈
∈ I, f ‘(x)>
>>
> 0 , alors sera strictement croissante sur I.
Si pour tout x∈
∈∈
∈ I, f ‘(x)<
<<
< 0, alors f sera strictement décroissante sur I.
Si pour tout x∈
∈∈
∈ I, f ‘(x) = 0, alors f sera constante sur I.
Evidemment, il faut bien connaître les formules donnant les dérivées et surtout :
Théorème 1 : Dérivée d’une somme de fonctions dérivables
(u(x) + v(x)) ‘ = u ‘(x) + v ‘(x) ou plus simplement (u + v) ‘ = u ‘+ v ‘ .
Théorème 2 : Dérivée d’un produit de deux fonctions dérivables
(u(x) v(x))’ = u ‘(x) v(x) + u(x) v ‘(x) ou plus simplement (uv)’ = u’v + u v’
.