Les théorèmes à connaître pour le Bac

Les théorèmes à connaître pour le Bac
Dans ta copie de Bac, il faut citer deux ou trois théorèmes que tu as vus cette année en effet,
il ne faut pas oublier qu’il y a deux points pour la rédaction.
Tu peux faire ce travail toi-même en prenant leçon par leçon et en relevant les théorèmes ou
les définitions que tu as appris cette année seulement.
Définition : On appelle taux d’évolution moyen TM de n évolutions successives, le nombre
réel TM tel que n évolutions à ce taux TM donnera le même résultat que l’évolution globale
constatée.
Sur une grandeur y et n évolutions cela donne (y0 ≠ 0) :
TM
y0
TM
y1
TM
y2
TM
etc……
yn – 1
yn
Taux d’évolution T
y1 = y0 (1 + TM) ; y2 = y1(1 + TM) = y0(1 + TM)(1 + TM) = y0(1 + TM)2 ; etc…..
yn= y0 (1 + TM)n
t
TM est un pourcentage (TM = M = tM%). (1 + TM) est un coefficient multiplicateur.
100
Pour calculer TM, nous allons utiliser un exposant fractionnaire en effet, TM vérifie
l’équation : y0(1 + TM) = y0(1 + T) donc (1 + TM) = 1 + T et donc 1 + TM = (1 +
n
n
1
n
T)
On dit aussi que le coefficient multiplicateur 1 + TM est la moyenne géométrique de tous les
coefficients multiplicateurs successifs 1 + T1 ; 1 + T2 ; … etc… ; 1 + Tn.
Définition : L’indice de la grandeur Q par rapport à QR (la quantité de référence) est
Q
I=
× 100
QR
Enfin le lien entre le taux d’évolution et l’indice : T =
I
− 1 ou I = 100(1 + T) .
100
Les suites
Les suites vont nous permettre d’étudier des modèles de croissance.
La croissance linéaire c’est-à-dire régulière comme dans u0 = 0 et un+1 = un + 5 ; n∈N
(0 ; 5 ;10 ; 15 ; 20 etc….)
La croissance exponentielle (si q > 0), celle de l’exemple ci-dessus v0 = 1 et vn+1 = 5vn ; n∈N
(1 ; 5 ; 25 ; 125 ; 625 etc….)
Une suite (un) n∈N est arithmétique si et seulement si un+1 = un + r, le réel u0 étant donné
comme le premier terme. Le réel r s’appelle la raison de la suite.
Pour tout n∈N, un peut se calculer directement en faisant un = u0 + nr. Nous avons une
croissance ou une décroissance régulière en quantité – croissance ou décroissance linéaire)
Une suite (vn) n∈N est géométrique si et seulement si vn+1 = qvn ,le réel v0, premier terme
étant donné (v0 > 0). Le réel q s’appelle aussi la raison de la suite, nous prendrons q∈R+*
(q> 0). Pour tout n∈N, vn peut se calculer directement en faisant vn = v0(q)n.
Croissance ou décroissance sont alors exponentielles.
Remarque : si la suite commence à n = 1 c’est-à-dire n∈
∈N* alors les formules directes
changent, il faut bien lire les consignes.
Suite arithmétique (n∈N*), un = u1 + (n − 1)r.
Suite géométrique (n∈N*), vn = v1(q)n − 1.
Suites arithmétiques
Soit (un) une suite arithmétique de raison r, nous pouvons avoir à calculer la somme S des
termes consécutifs du rang i jusqu’au rang j.
(u + u J )
S = (Nombre de termes soit j – i + 1) × i
2
Si nous voulons la somme des termes de u0 à un alors :
u0 + u1 + u2 + …… + un = (n + 1) ×
(u 0 + u n )
2
Et si nous voulons la somme des termes de u1 à un alors :
u1 + u2 + u3 + …… + un = (n ) ×
(u 1 + u n )
2
Théorème
Si r > 0, alors la suite est croissante. Quand n tend vers +∞, un diverge vers +∞.
Si r < 0, alors la suite est décroissante. Quand n tend vers +∞, un diverge vers −∞.
Suites géométriques
Soit (vn) une suite géométrique de raison q > 0 et q ≠ 1, nous pouvons avoir à calculer la
somme S des termes consécutifs du rang i au rang j.
S = (Premier terme de S soit vi) ×
1 − (q ) Nombre de termes
1 − (q ) j − i + 1
= vi ×
1− q
1−q
Si nous voulons la somme des termes de v0 à vn alors :
v0 + v1 + v2 + …… + vn = v 0 ×
1 − (q ) n + 1
1−q
Et si nous voulons la somme des termes de v1 à vn alors :
1 − (q ) n
v1 + v2 + v3 + …… + vn = v 1 ×
1− q
Théorème
Si q > 1 (et v0 > 0) alors (vn) est croissante et diverge vers +∞ quand n tend vers +∞.
Si 0< q < 1 (et v0 > 0) alors (vn) est décroissante et converge vers 0 quand n tend vers +∞.
La programmation linéaire
Toute droite du plan (P) d’équation ax+by+c = 0 partage le plan en deux régions dans
lesquelles ax+by+c garde le même signe.
Il s’agit dans les problèmes, en traitant les inéquations les unes après les autres, de déterminer
graphiquement le domaine des contraintes c’est-à-dire l’ensemble des points M(x ;y) qui
répondent à l’ensemble des données du problème.
Ensuite, il s’agit de trouver les coordonnées d’un point réalisant le minimum d’un coût ou le
maximum d’un bénéfice .
Les statistiques
Définition :
On appelle point moyen d’un nuage, le point G( x ; y ) x et y moyennes calculées dans chaque
série.
Au programme, il est demandé d’utiliser la méthode dite « des moindres carrés » pour
trouver la droite d’ajustement linéaire de la forme y = ax + b . Les coefficients a et b sont
donnés par la calculette après avoir rentré les données concernant les deux séries statistiques.
Remarque ; la calculette parle d’un coefficient r, coefficient de corrélation qui indique si
l’alignement est valable ou pas. Règle : si |r|≈1, alors l’alignement est de bonne qualité.
Utilité : Cette droite va permettre des prévisions à court terme par le calcul.
Les probabilités
Théorème : Dans l’équiprobabilité, nous utilisons la formule de Pascal.
Soit A un événement, alors P(A) =
Card A
.
Card E
Th1 : Si on a deux évènements A et B incompatibles (c’est-à-dire A∩B = ∅, A et B ne
peuvent pas se produire en même temps) alors : P(A∪
∪B) = P(A) + P(B).
S’ils ne sont pas incompatibles alors : P(A∪
∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩
∩B).
Th2 : Tout événement A possède son événement contraire noté A .
( A ∪ A = E ; A ∩ A =∅) et nous avons P(A) = 1− P( A ).
Les probabilités conditionnelles.
Soit un événement A supposé réalisé, la probabilité d’avoir B réalisé sera :
PA (B ) =
P( A ∩ B )
P( A )
P(A) ≠ 0.
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si PA (B ) = P(B ) .
(ou bien autrement dit, si P(A∩
∩B) = P(A)P(B)).
Formule des probabilités totales : Soit B1, B2, ……, Bn une partition de l’univers E, alors
pour tout événement A, nous aurons :
P(A) = PB1(A)P(B1) + PB2(A)P(B2) + …… + PBn(A)P(Bn) ou autrement écrit
P(A) = P(A∩
∩B1) + P(A∩
∩B2) + …… + P(A∩
∩Bn).
Les arbres :
C
P(A) × PA(C) = P(A∩C)
PA(C)
P(A) × PA(D) = P(A∩D)
A
P(A)
(Sur cette partie, on suppose A réalisé)
PA(D)
D
P(B)
C
(Sur cette partie, on suppose B réalisé)
PB(C)
P(B) × PB(C) = P(B∩C)
B
PB(D)
D
P(B) × PB(D) = P(B∩D)
A chaque nœud, nous avons la somme des probabilités attachées à ce nœud égale à 1 :
P(A) + P(B) = 1 ; PA(C) + PA(D) = 1 ; PB(C) + PB(D) = 1 ;
et au bout de l’arbre : P(A∩C) + P(A∩D) + P(B∩C) + P(B∩D) = 1.
Remarque : Dans notre arbre, B = A .
Nous pouvons aussi faire un tableau pour représenter la situation ci-dessus.
Les fonctions
Trois types ont été utilisées en première :
a) Les fonctions affines f(x) = ax + b avec a et b réels donnant des droites.
b) Les polynômes de degré 2 f(x) = ax2 + bx + c, a réel non nul et b et c des réels (Paraboles).
ax + b
avec c ≠ 0, a, b et d quelconques (Hyperboles) et
c) Les fonctions rationnelles (f(x) =
cx + d
P( x )
plus généralement f(x) =
P et Q étant des polynômes, Q au moins de degré 1)
Q( x )
Les dérivées
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a ;b], le nombre dérivé de f en chaque point x0
sera calculé en faisant :
lim
f ( x 0 + h) − f (x 0 )
= f ' (x 0 )
h
(h étant un réel petit 0,1 ou – 0,001 par exemple)
h 0
par définition, f ’(x0) s’appelle le nombre dérivé de f en x0.
On peut alors construire la fonction dérivée sur l’intervalle [a ;b] :
Pour tout x0 ∈ [a ;b], x0 y = f ’(x0).
Une chose très importante : la fonction dérivée f ’donne la vitesse instantanée de f en toute
valeur de l’intervalle où elle est définie.
Théorème important
Soit une fonction f, définie sur un intervalle I et dérivable sur cet intervalle :
Si pour tout x∈ I, f ‘(x)> 0 , alors sera strictement croissante sur I.
Si pour tout x∈ I, f ‘(x)< 0, alors f sera strictement décroissante sur I.
Si pour tout x∈ I, f ‘(x) = 0, alors f sera constante sur I.
Evidemment, il faut bien connaître les formules donnant les dérivées et surtout :
Théorème 1 : Dérivée d’une somme de fonctions dérivables
(u(x) + v(x)) ‘ = u ‘(x) + v ‘(x) ou plus simplement (u + v) ‘ = u ‘+ v ‘.
Théorème 2 : Dérivée d’un produit de deux fonctions dérivables
(u(x) v(x))’ = u ‘(x) v(x) + u(x) v ‘(x) ou plus simplement (uv)’ = u’v + u v’.
Théorème 3 : Dérivée du quotient de deux fonctions dérivables
'
 u( x )  u' ( x )v( x ) − u( x )v' ( x )

 =
[ v( x )] 2
 v( x ) 
v(x) ≠ 0 ou plus simplement
'
 u  u' v − uv'
.
  =
v
v2
Théorème 4 : dérivée d’une fonction composée [v(u(x)] ‘ = v ‘(u(x)) (u ‘(x))
Exemple :
Si f(x) = (3x – 5)2 , nous avons bien x 3x – 5 puis (3x – 5)2 (Fonction composée)
Alors f ‘(x) = 2(3x – 5) (3) car la dérivée de u2 est 2u et (3x – 5) ‘ = 3
f ‘(x) = 6(3x – 5) = 18x – 30.
La valeur de la fonction dérivée f’ de f en x0 peut se voir sur un graphique en traçant en x0 la
tangente à la courbe (Cf) en effet, l’équation de la tangente en x0 à la courbe (Cf) a pour
équation : (Tx0) y = f ’(x0)( x – x0) + f(x0).
f ’(x0) représente le coefficient directeur de la tangente (Tx0)
La fonction ln et la fonction exponentielle
Pour tout a et tout b strictement positifs, ln a + ln b = ln ab.
1
Pour tout a strictement positif, ln   = – ln a.
a
Pour tout a strictement positif et n entier relatif, ln (an) = n ln a.
a
Pour tout a et b strictement positifs, ln   = ln a – ln b.
b
Théorème : a et b strictement positifs, ln a = ln b ⇔ a = b.
Théorème : a et b strictement positifs, ln a ≥ ln b ⇔ a ≥ b ou bien ln a ≤ ln b ⇔ a ≤ b.
Théorème : Soit a strictement positif et b un réel quelconque, alors nous pouvons calculer ab
et ln ab = b ln a.
Soit une fonction u strictement positive, la fonction ln u(x) est une fonction composée
u' ( x )
parfaitement définie et dérivable : (ln u(x)) ’ =
(u(x) >0)
u( x )
ou plus simplement pour le retenir : (ln u) ’ =
u'
(u(x) >0).
u
Le logarithme décimal log : log x =
ln x ln x
≈
, x > 0.
ln 10 2.3
f(x) = ex est définie pour tout réel x. C’est une fonction strictement positive, ∀x∈
∈R, ex > 0.
Théorème : ea = eb ⇔ a = b .
Théorème : a > b ⇔ ea > eb ,∀a∈R et ∀b∈R.(L’exponentielle ex est aussi une fonction
croissante sur R comme la fonction logarithme)
ea eb = ea+b
ea
∀a∈R et ∀b∈R.
= ea – b
∀a∈R et ∀b∈R.
(ea)b = eab
∀a∈R et ∀b∈R.
e
b
En particulier, (ex)2 = e2x, e – x = (ex) – 1 =
1
ex
, ∀x∈R
Enfin une propriété très importante pour les équations : y = ln x , x > 0 ⇔ x = ey.
Théorème : (ex)’ = ex pour tout réel x et (eu(x))’ = u’(x) eu(x) lorsque la fonction u est définie
et dérivable.
Voilà, il faut apprendre tout ça.