Matrices aléatoires non commutatives et mesure de Plancherel

Matrice de Biane et mesure de Plancherel
Lien avec le comportement de matrices gaussiennes
Étude combinatoire plus ne
Matrices aléatoires non commutatives et mesure de
Plancherel
Valentin Féray
Laboratoire d'Informatique de l'Institut Gaspard-Monge, Université Paris-Est
Séminaire du laboratoire, 8 avril 2008
Valentin Féray
Matrices et partitions aléatoires
Matrice de Biane et mesure de Plancherel
Lien avec le comportement de matrices gaussiennes
Étude combinatoire plus ne
Cadre de travail
Notation : Sn groupe des permutations de {1, . . . , n}
Représentations irréductibles de Sn ' partitions λ ` n.
Objectif : Etudier asymptotiquement la forme de certaines
partitions.
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Matrices et partitions aléatoires
Matrice de Biane et mesure de Plancherel
Lien avec le comportement de matrices gaussiennes
Étude combinatoire plus ne
Plan
1
Matrice de Biane et mesure de Plancherel
Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Valentin Féray
Matrices et partitions aléatoires
Matrice de Biane et mesure de Plancherel
Lien avec le comportement de matrices gaussiennes
Étude combinatoire plus ne
Plan
1
2
Matrice de Biane et mesure de Plancherel
Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Lien avec le comportement de matrices gaussiennes
Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
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Matrices et partitions aléatoires
Matrice de Biane et mesure de Plancherel
Lien avec le comportement de matrices gaussiennes
Étude combinatoire plus ne
Plan
1
2
3
Matrice de Biane et mesure de Plancherel
Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Lien avec le comportement de matrices gaussiennes
Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
Étude combinatoire plus ne
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Matrices et partitions aléatoires
Matrice de Biane et mesure de Plancherel
Lien avec le comportement de matrices gaussiennes
Étude combinatoire plus ne
Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Partitions et diagrammes de Young
Une partition λ d'un entier n ≥ 0 est une suite décroissante
λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λr de somme n.
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Matrices et partitions aléatoires
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Étude combinatoire plus ne
Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Partitions et diagrammes de Young
Une partition λ d'un entier n ≥ 0 est une suite décroissante
λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λr de somme n.
Représentation graphique par un digramme de Young (à la russe) :
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
λ1 = 3; λ2 = λ3 = 2; λ4 = 1; λ5 = . . . = 0.
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Matrices et partitions aléatoires
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Étude combinatoire plus ne
Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Partitions et diagrammes de Young
Une partition λ d'un entier n ≥ 0 est une suite décroissante
λ1 ≥ λ2 ≥ . . . ≥ λr de somme n.
Représentation graphique par un digramme de Young (à la russe) :
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
x y x y
1
1
2
2
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x y x
3
3
4
Matrices et partitions aléatoires
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Étude combinatoire plus ne
Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Mesure de transition
diagramme de
mesure de
→
Young λ ` n
transition mλ
La mesure mλ est la mesure de probabilité sur R dénie par :
z − yi
d mλ (s )
= Qi
R z −s
i z − xi
Z
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Q
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Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Mesure de transition
diagramme de
mesure de
→
Young λ ` n
transition mλ
La mesure mλ est la mesure de probabilité sur R dénie par :
z − yi
d mλ (s )
= Qi
R z −s
i z − xi
Z
Q
mλ est supportée par


endroits où on peut ajouter


une case au diagramme λ ` n
{xi } '


pour obtenir un autre diagramme µ ` n + 1
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Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Génération aléatoire de diagramme
Interprétation : mesure de transition entre diagrammes.

 mesure de Plancherel :
mesure de proba P n sur
Itération depuis −→

les diagrammes à n cases
Objectif : Calculer les moments de la mesure
mP =
X
n
.
λ`n
P n (λ)mλ
−→ permet de connaître la forme limite des diagrammes.
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Étude combinatoire plus ne
Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Autre question liée
On tire une permutation de longueur n au hasard
1 2 3 4 5 6 7
3 1 5 6 4 7 2
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Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Autre question liée
On tire une permutation de longueur n au hasard
1 2 3 4 5 6 7
1 5 6
7
Distribution de la longueur maximale d'une sous suite
croissante (ici 4) ?
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Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Autre question liée
On tire une permutation de longueur n au hasard
1 2 3 4 5 6 7
1 5 6
7
Distribution de la longueur maximale d'une sous suite
croissante (ici 4) ?
Proposition
Distribution de la
Distribution de la première
longueur maximale d'une =
ligne d'une partition
sous-suite croissante
sous la mesure de Plancherel
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Étude combinatoire plus ne
Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
Formule pour les moments
Notation (Matrice de Biane)
Soit (i j ) la transposition échangeant i et j de Sn , posons :
0
 1



Bn = 



1
0
1 (2 1)
..
..
.
.
1 (n 1 )
1
(1 2)
...
...
0
..
.
..
...
..
.
.
(n n − 1)
1
(1 n)
..
.







(n − 1 n ) 
0
Proposition
1
Ms (mP ) = E tr(Bns ) où
n
n
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E(Id) = 1
E(σ) = 0 si σ 6= Id
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Lien avec le comportement de matrices gaussiennes
Étude combinatoire plus ne
Diagramme de Young et mesure de transition
Outil d'étude
En fait...
Le comportement limite de la mesure P n est bien connu :
forme limite, oscillation autour de la forme limite, oscillation
d'un nombre xé de lignes autour de leur longueur moyenne...
Mais... la matrice de Biane pourrait permettre d'étudier
d'autres mesures apparaissant dans la théorie des
représentations du groupe symétrique.
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Étude combinatoire plus ne
Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
Combinatoire de la trace d'une puissance matricielle
Soit A = ai ,j
une matrice n × n.
≤i ≤n
≤j ≤n
1
1
tr(As ) =
X
≤i0 ,...,is −1 ≤n
ai0 ,i1 ai1 ,i2 . . . ai −2 ,i −1 ai −1 ,i0
s
s
s
1
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Étude combinatoire plus ne
Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
Combinatoire de la trace d'une puissance matricielle
Soit A = ai ,j
une matrice n × n.
≤i ≤n
≤j ≤n
1
1
tr(As ) =
X
≤i0 ,...,is −1 ≤n
ai0 ,i1 ai1 ,i2 . . . ai −2 ,i −1 ai −1 ,i0
s
s
s
1
X
=
C=(ei )1≤i ≤s
a e1 . . . a e
s
où la somme parcourt les chemins fermés de longueurs s dans le
graphe complet à n sommets.
i
0
j
e1 ,
e5
i =i
1
e2oooo7 i2
oo
4
gOOO
e4 OOO e3
i
3
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Étude combinatoire plus ne
Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
Asymptotique
Question : asymptotique de E(tr(As )) quand
Hypothèse :
n→∞
?
s xe
E(ai0 ,i1 ai1 ,i2 . . . ai −2 ,i −1 ai −1 ,i0 )
s
s
s
ne dépend que de la forme du chemin correspondant (et pas des
étiquettes des sommets).
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Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
Asymptotique
Question : asymptotique de E(tr(As )) quand
Hypothèse :
n→∞
?
s xe
E(ai0 ,i1 ai1 ,i2 . . . ai −2 ,i −1 ai −1 ,i0 )
s
s
s
ne dépend que de la forme du chemin correspondant (et pas des
étiquettes des sommets).
Alors E(tr(As )) =
P
C
n(n − 1) . . . (n − |V (C| + 1) E(C)
forme
de chemin
On cherche les chemins avec un nombre de sommets maximal
parmi ceux vériant E(C) 6= 0.
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Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
Modèle gaussien
Hypothèse : A symétrique et les (ai ,j )i ≥j sont des variables
gaussiennes de variance 1 indépendantes.
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Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
Modèle gaussien
Hypothèse : A symétrique et les (ai ,j )i ≥j sont des variables
gaussiennes de variance 1 indépendantes.
Alors seuls les chemins pairs (i.e. les chemins où toutes les arêtes
sont parcourues un nombre pair de fois) ont une contribution non
nulle à E.
Exemple (chemin pair)
iI
2
i
0
i
e2
e1 e1 2
i
e3 e4
, ,
1 3 11
r
e1 1
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e5 2 i5,8
e8 >
e9 e6
2 i4,7,10 j
a
e1 0 e7
i6,9
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Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
Terme dominant
Soit i un chemin pair avec |{ij }| ≥ s + 1.
∃ sommet ik par lequel on ne passe qu'une fois.
Alors ik −1 = ik +1 .
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Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
Terme dominant
Soit i un chemin pair avec |{ij }| ≥ s + 1.
∃ sommet ik par lequel on ne passe qu'une fois.
Alors ik −1 = ik +1 .
Cardinal maximal : s + 1
Nombre de formes de chemins correspondantes : Cs = s +1
1
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2s
s
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Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
Transposition du cas gaussien
Remarque : On oubliera la présence de la ligne et de la colonne de
1 qui ne change pas le résultat.
Soit i une suite (dite admissible) telle que :
(i0 i1 )(i1 i2 ) . . . (is −2 is −1 )(is −1 i0 ) = Id
Alors, si @j 6= k : ij = ik , nécessairement
ik − = ik +
1
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1
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Trace et chemins
Cas d'une matrice gaussienne
Cas de la matrice de Biane
Comparaison des asymptotique
−→ Même comportement asymptotique des chemins que les
matrices gaussiennes :
Théorème
M2s (mP ) ∼ Cs ns
n
Avec des renormalisations adéquates, la limite de la mesure mP est
la distribution asymptotique des valeurs propres d'une matrice
Gaussienne (i.e. loi du demi cercle).
n
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Lien avec le comportement de matrices gaussiennes
Étude combinatoire plus ne
Et pour
s
plus grand...
Proposition
L'asymptotique
M2s (mP ) ∼ Cs ns
n
est encore valable pour s = o (n
/
1 3
)
Motivation : comportement des premières lignes d'une partition
aléatoire ?
Proposition ⇒
oscillation des premières lignes est
d'ordre inférieure ou égale à n1/3
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Étude combinatoire plus ne
Suites admissibles et chemins de Dick
Chemin
de Dick i suite admissible −→ yk = (i0 i1 ) . . . (ik −1 ik ) |
{z
}
σk
Exemple
1
@2
@ 3 <<
<
2
@4
@ 5 <<
<
Valentin Féray
1
@ 4 <<
<
5 <<
<
2 <<
<
1
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Suites admissibles et chemins de Dick
Chemin
de Dick i suite admissible −→ yk = (i0 i1 ) . . . (ik −1 ik ) |
{z
}
σk
Exemple
1
@2
A 3 ;;
;
2
A4
A 5 ;;
;
1
A 4 ;;
;
5 ;;
;
2 <<
<
1
Choix canonique pour les descentes : ik +1 = σk−1 (ik ) (ici 1 choix
non canonique).
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Suites admissibles et chemins de Dick
Chemin
de Dick i suite admissible −→ yk = (i0 i1 ) . . . (ik −1 ik ) |
{z
}
σk
Exemple
@2
1
A 3 ;;
;
2
A4
5
B 999
1
4
B 999
5 ;;
;
2 <<
<
1
1 répétition parmi les arrivées des pas montants
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Esquisse de preuve
Terme dominant à s xe : suites sans répétitions ⇒ que des choix
canoniques.
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Esquisse de preuve
Terme dominant à s xe : suites sans répétitions ⇒ que des choix
canoniques.
Lemme
Le nombre de choix non canoniques est majoré par le nombre de
répétitions non eaçables.
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Esquisse de preuve
Terme dominant à s xe : suites sans répétitions ⇒ que des choix
canoniques.
Lemme
Le nombre de choix non canoniques est majoré par le nombre de
répétitions non eaçables.
Introduire un choix non canonique multiplie le nombre de suite par :
αs (nombre de positions)
√
αyk ∼ α s (nombre de valeurs possibles)
√
αs s (idem : position et valeurs de la répétition)
α n1 (un choix de valeurs en moins dû à la répétition)
3
i.e. par α sn , CQFD !
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