Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément, Définition Une application L : V → W est linéaire 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément, Définition − − v ,→ w ∈V Une application L : V → W est linéaire si pour tout → 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément, Définition − − v ,→ w ∈ V et tout Une application L : V → W est linéaire si pour tout → λ ∈ R on a : 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément, Définition − − v ,→ w ∈ V et tout Une application L : V → W est linéaire si pour tout → λ ∈ R on a : − − − − L(→ v +→ w ) = L(→ v ) + L(→ w) 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément, Définition − − v ,→ w ∈ V et tout Une application L : V → W est linéaire si pour tout → λ ∈ R on a : − − − − L(→ v +→ w ) = L(→ v ) + L(→ w ) et 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément, Définition − − v ,→ w ∈ V et tout Une application L : V → W est linéaire si pour tout → λ ∈ R on a : − − − − − − L(→ v +→ w ) = L(→ v ) + L(→ w ) et L(λ→ v ) = λL(→ v ). 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément, Définition − − v ,→ w ∈ V et tout Une application L : V → W est linéaire si pour tout → λ ∈ R on a : − − − − − − L(→ v +→ w ) = L(→ v ) + L(→ w ) et L(λ→ v ) = λL(→ v ). Remarque 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément, Définition − − v ,→ w ∈ V et tout Une application L : V → W est linéaire si pour tout → λ ∈ R on a : − − − − − − L(→ v +→ w ) = L(→ v ) + L(→ w ) et L(λ→ v ) = λL(→ v ). Remarque De manière équivalente, une application L : V → W est linéaire si 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément, Définition − − v ,→ w ∈ V et tout Une application L : V → W est linéaire si pour tout → λ ∈ R on a : − − − − − − L(→ v +→ w ) = L(→ v ) + L(→ w ) et L(λ→ v ) = λL(→ v ). Remarque De manière équivalente, une application L : V → W est linéaire si pour − − v ,→ w ∈ V et tout λ ∈ R on a : tout → 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Une application linéaire entre deux espaces vectoriels réels V et W est une application L : V → W préservant la notion d’addition (additivité) et la notion de multiplication par un scalaire (homogénéité). Précisément, Définition − − v ,→ w ∈ V et tout Une application L : V → W est linéaire si pour tout → λ ∈ R on a : − − − − − − L(→ v +→ w ) = L(→ v ) + L(→ w ) et L(λ→ v ) = λL(→ v ). Remarque De manière équivalente, une application L : V → W est linéaire si pour − − v ,→ w ∈ V et tout λ ∈ R on a : tout → − − − − L(→ v + λ→ w ) = L(→ v ) + λL(→ w) 1/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Remarque Notons en particulier qu’une application est linéaire si : 2/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Remarque Notons en particulier qu’une application est linéaire si : le domaine de L est V tout entier, et 2/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Remarque Notons en particulier qu’une application est linéaire si : le domaine de L est V tout entier, et l’image d’une combinaison linéaire 2/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Remarque Notons en particulier qu’une application est linéaire si : le domaine de L est V tout entier, et l’image d’une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des images. 2/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : L’application identité, 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − v 7→ L’application identité, c’est-à-dire Id : V → V : → V 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − − v ; v 7→ → L’application identité, c’est-à-dire Id : V → V : → V 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − − v ; v 7→ → L’application identité, c’est-à-dire Id : V → V : → V L’application nulle, 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − − v ; v 7→ → L’application identité, c’est-à-dire Id : V → V : → V − L’application nulle, c’est-à-dire 0V : V → V : → v → 7 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − − v ; v 7→ → L’application identité, c’est-à-dire IdV : V → V : → → − → − L’application nulle, c’est-à-dire 0V : V → V : v 7→ 0 . 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − − v ; v 7→ → L’application identité, c’est-à-dire IdV : V → V : → → − → − L’application nulle, c’est-à-dire 0V : V → V : v 7→ 0 . Exemple Dans R2 ou R3 , 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − − v ; v 7→ → L’application identité, c’est-à-dire IdV : V → V : → → − → − L’application nulle, c’est-à-dire 0V : V → V : v 7→ 0 . Exemple Dans R2 ou R3 , les applications suivantes sont linéaires : 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − − v ; v 7→ → L’application identité, c’est-à-dire IdV : V → V : → → − → − L’application nulle, c’est-à-dire 0V : V → V : v 7→ 0 . Exemple Dans R2 ou R3 , les applications suivantes sont linéaires : rotations autour de l’origine 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − − v ; v 7→ → L’application identité, c’est-à-dire IdV : V → V : → → − → − L’application nulle, c’est-à-dire 0V : V → V : v 7→ 0 . Exemple Dans R2 ou R3 , les applications suivantes sont linéaires : rotations autour de l’origine (ou autour d’un axe contenant l’origine) ; 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − − v ; v 7→ → L’application identité, c’est-à-dire IdV : V → V : → → − → − L’application nulle, c’est-à-dire 0V : V → V : v 7→ 0 . Exemple Dans R2 ou R3 , les applications suivantes sont linéaires : rotations autour de l’origine (ou autour d’un axe contenant l’origine) ; homothéties centrées en l’origine 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − − v ; v 7→ → L’application identité, c’est-à-dire IdV : V → V : → → − → − L’application nulle, c’est-à-dire 0V : V → V : v 7→ 0 . Exemple Dans R2 ou R3 , les applications suivantes sont linéaires : rotations autour de l’origine (ou autour d’un axe contenant l’origine) ; homothéties centrées en l’origine les projections orthogonales 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si V est un espace vectoriel quelconque, il existe toujours deux applications linéaires évidentes : − − v ; v 7→ → L’application identité, c’est-à-dire IdV : V → V : → → − → − L’application nulle, c’est-à-dire 0V : V → V : v 7→ 0 . Exemple Dans R2 ou R3 , les applications suivantes sont linéaires : rotations autour de l’origine (ou autour d’un axe contenant l’origine) ; homothéties centrées en l’origine les projections orthogonales sur une droite ou sur un plan passant par l’origine. 3/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le noyau d’une application linéaire L : V → W est l’ensemble 4/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le noyau d’une application linéaire L : V → W est l’ensemble ker L := 4/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le noyau d’une application linéaire L : V → W est l’ensemble n → −o → − − ker L := v ∈ V t.q. L(→ v)= 0 . Rappel 4/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le noyau d’une application linéaire L : V → W est l’ensemble n → −o → − − ker L := v ∈ V t.q. L(→ v)= 0 . Rappel Rappelons que l’image (ou ensemble image) 4/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le noyau d’une application linéaire L : V → W est l’ensemble n → −o → − − ker L := v ∈ V t.q. L(→ v)= 0 . Rappel Rappelons que l’image (ou ensemble image) de L est =L := 4/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le noyau d’une application linéaire L : V → W est l’ensemble n → −o → − − ker L := v ∈ V t.q. L(→ v)= 0 . Rappel Rappelons que l’image (ou ensemble image) de L est − − =L := L(→ v ) t.q. → v ∈V . 4/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V est un sous-espace vectoriel de W . 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V est un sous-espace vectoriel de W . Démonstration. − − Si → v et → w sont des éléments de ker L, 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V est un sous-espace vectoriel de W . Démonstration. − − Si → v et → w sont des éléments de ker L, et si λ ∈ R, 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V est un sous-espace vectoriel de W . Démonstration. − − Si → v et → w sont des éléments de ker L, et si λ ∈ R, on a − − L(→ v + λ→ w) = 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V est un sous-espace vectoriel de W . Démonstration. − − Si → v et → w sont des éléments de ker L, et si λ ∈ R, on a → − → − − − − − v ) + λL(→ w) = 0 +λ0 = L(→ v + λ→ w ) = L(→ 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V est un sous-espace vectoriel de W . Démonstration. − − Si → v et → w sont des éléments de ker L, et si λ ∈ R, on a → − → − → − − − − − v ) + λL(→ w) = 0 +λ0 = 0 L(→ v + λ→ w ) = L(→ 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V est un sous-espace vectoriel de W . Démonstration. − − Si → v et → w sont des éléments de ker L, et si λ ∈ R, on a → − → − → − − − − − v ) + λL(→ w) = 0 +λ0 = 0 L(→ v + λ→ w ) = L(→ − − donc → v + λ→ w est bien dans le noyau. 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V est un sous-espace vectoriel de W . Démonstration. − − Si → v et → w sont des éléments de ker L, et si λ ∈ R, on a → − → − → − − − − − v ) + λL(→ w) = 0 +λ0 = 0 L(→ v + λ→ w ) = L(→ − − donc → v + λ→ w est bien dans le noyau. Par les résultats vus précédemment, on en déduit que le noyau est un sous-espace vectoriel de V . 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Si L est une application linéaire, alors les ensembles ker L et =L sont des espaces vectoriels. Plus précisément : ker L est un sous-espace vectoriel de V , et =L est un sous-espace vectoriel de W , et plus généralement l’image par L de tout sous-espace vectoriel de V est un sous-espace vectoriel de W . Démonstration. − − Si → v et → w sont des éléments de ker L, et si λ ∈ R, on a → − → − → − − − − − v ) + λL(→ w) = 0 +λ0 = 0 L(→ v + λ→ w ) = L(→ − − donc → v + λ→ w est bien dans le noyau. Par les résultats vus précédemment, on en déduit que le noyau est un sous-espace vectoriel de V . Les autres vérifications sont similaires et laissées en exercices. 5/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble image : dim =L. 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble image : dim =L. 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble image : dim =L. Remarque Si L est linéaire, alors 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble image : dim =L. Remarque → − Si L est linéaire, alors L( 0 ) = 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble image : dim =L. Remarque → − → − Si L est linéaire, alors L( 0 ) = 0 . 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble image : dim =L. Remarque → − → − Si L est linéaire, alors L( 0 ) = 0 . On le savait déjà car on vient de montrer que le noyau est un sous-espace → − vectoriel, donc il contient le vecteur nul 0 . 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble image : dim =L. Remarque → − → − Si L est linéaire, alors L( 0 ) = 0 . On le savait déjà car on vient de montrer que le noyau est un sous-espace → − vectoriel, donc il contient le vecteur nul 0 . On peut cependant le démontrer directement : 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble image : dim =L. Remarque → − → − Si L est linéaire, alors L( 0 ) = 0 . On le savait déjà car on vient de montrer que le noyau est un sous-espace → − vectoriel, donc il contient le vecteur nul 0 . On peut cependant le démontrer directement : Démonstration. 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble image : dim =L. Remarque → − → − Si L est linéaire, alors L( 0 ) = 0 . On le savait déjà car on vient de montrer que le noyau est un sous-espace → − vectoriel, donc il contient le vecteur nul 0 . On peut cependant le démontrer directement : Démonstration. → − En effet, L( 0 ) = 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble image : dim =L. Remarque → − → − Si L est linéaire, alors L( 0 ) = 0 . On le savait déjà car on vient de montrer que le noyau est un sous-espace → − vectoriel, donc il contient le vecteur nul 0 . On peut cependant le démontrer directement : Démonstration. → − → − → − En effet, L( 0 ) = L( 0 + 0 ) 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Définition Le rang d’une application linéaire est la dimension de son ensemble image : dim =L. Remarque → − → − Si L est linéaire, alors L( 0 ) = 0 . On le savait déjà car on vient de montrer que le noyau est un sous-espace → − vectoriel, donc il contient le vecteur nul 0 . On peut cependant le démontrer directement : Démonstration. → − → − → − → − → − En effet, L( 0 ) = L( 0 + 0 ) = L( 0 ) + L( 0 ), ce qui implique que → − L( 0 ) = 0. 6/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit n→ −o à 0 . 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit n→ −o à 0 . Démonstration. (⇒) : Si L est injective, 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit n→ −o à 0 . Démonstration. → − (⇒) : Si L est injective, il est clair qu’aucun autre vecteur que 0 n’est dans le noyau 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit n→ −o à 0 . Démonstration. → − (⇒) : Si L est injective, il est clair qu’aucun autre vecteur que 0 n’est → − dans le noyau (sinon 0 (le vecteur nul de W ) 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit n→ −o à 0 . Démonstration. → − (⇒) : Si L est injective, il est clair qu’aucun autre vecteur que 0 n’est → − dans le noyau (sinon 0 (le vecteur nul de W ) serait l’image de 2 vecteurs distincts et l’application L ne serait pas injective). 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit n→ −o à 0 . Démonstration. → − (⇒) : Si L est injective, il est clair qu’aucun autre vecteur que 0 n’est → − dans le noyau (sinon 0 (le vecteur nul de W ) serait l’image de 2 vecteurs distincts et l’application L ne serait pas injective). (⇐) : Supposons que le noyau se réduit au seul vecteur nul, et supposons par l’absurde que L n’est pas injective. 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit n→ −o à 0 . Démonstration. → − (⇒) : Si L est injective, il est clair qu’aucun autre vecteur que 0 n’est → − dans le noyau (sinon 0 (le vecteur nul de W ) serait l’image de 2 vecteurs distincts et l’application L ne serait pas injective). (⇐) : Supposons que le noyau se réduit au seul vecteur nul, et supposons − − x 6= → y avec par l’absurde que L n’est pas injective. Alors il existe → − − L(→ x ) = L(→ y) 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit n→ −o à 0 . Démonstration. → − (⇒) : Si L est injective, il est clair qu’aucun autre vecteur que 0 n’est → − dans le noyau (sinon 0 (le vecteur nul de W ) serait l’image de 2 vecteurs distincts et l’application L ne serait pas injective). (⇐) : Supposons que le noyau se réduit au seul vecteur nul, et supposons − − x 6= → y avec par l’absurde que L n’est pas injective. Alors il existe → → − − − − − L(→ x ) = L(→ y ). Et donc L(→ x −→ y)= 0 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit n→ −o à 0 . Démonstration. → − (⇒) : Si L est injective, il est clair qu’aucun autre vecteur que 0 n’est → − dans le noyau (sinon 0 (le vecteur nul de W ) serait l’image de 2 vecteurs distincts et l’application L ne serait pas injective). (⇐) : Supposons que le noyau se réduit au seul vecteur nul, et supposons − − x 6= → y avec par l’absurde que L n’est pas injective. Alors il existe → → − − − − − − − L(→ x ) = L(→ y ). Et donc L(→ x −→ y ) = 0 ce qui montre que → x −→ y 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit n→ −o à 0 . Démonstration. → − (⇒) : Si L est injective, il est clair qu’aucun autre vecteur que 0 n’est → − dans le noyau (sinon 0 (le vecteur nul de W ) serait l’image de 2 vecteurs distincts et l’application L ne serait pas injective). (⇐) : Supposons que le noyau se réduit au seul vecteur nul, et supposons − − x 6= → y avec par l’absurde que L n’est pas injective. Alors il existe → → − − − − − − − L(→ x ) = L(→ y ). Et donc L(→ x −→ y ) = 0 ce qui montre que → x −→ y (un → − → − vecteur non-nul car x 6= y ) 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Résultat Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit n→ −o à 0 . Démonstration. → − (⇒) : Si L est injective, il est clair qu’aucun autre vecteur que 0 n’est → − dans le noyau (sinon 0 (le vecteur nul de W ) serait l’image de 2 vecteurs distincts et l’application L ne serait pas injective). (⇐) : Supposons que le noyau se réduit au seul vecteur nul, et supposons − − x 6= → y avec par l’absurde que L n’est pas injective. Alors il existe → → − − − − − − − L(→ x ) = L(→ y ). Et donc L(→ x −→ y ) = 0 ce qui montre que → x −→ y (un → − → − vecteur non-nul car x 6= y ) est dans le noyau, une contradiction. 7/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si l’on considère la projection orthogonale de R3 sur un plan passant par l’origine, alors 8/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si l’on considère la projection orthogonale de R3 sur un plan passant par l’origine, alors le noyau est 8/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si l’on considère la projection orthogonale de R3 sur un plan passant par l’origine, alors le noyau est la droite orthogonale à ce plan, passant par l’origine ; 8/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si l’on considère la projection orthogonale de R3 sur un plan passant par l’origine, alors le noyau est la droite orthogonale à ce plan, passant par l’origine ; l’image est 8/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si l’on considère la projection orthogonale de R3 sur un plan passant par l’origine, alors le noyau est la droite orthogonale à ce plan, passant par l’origine ; l’image est le plan de projection. 8/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si l’on considère la projection orthogonale de R3 sur un plan passant par l’origine, alors le noyau est la droite orthogonale à ce plan, passant par l’origine ; l’image est le plan de projection. Exemple Considérons V l’ensemble des fonctions polynomiales de R dans lui-même 8/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si l’on considère la projection orthogonale de R3 sur un plan passant par l’origine, alors le noyau est la droite orthogonale à ce plan, passant par l’origine ; l’image est le plan de projection. Exemple Considérons V l’ensemble des fonctions polynomiales de R dans lui-même, et considérons l’application L donnant la dérivée : 8/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si l’on considère la projection orthogonale de R3 sur un plan passant par l’origine, alors le noyau est la droite orthogonale à ce plan, passant par l’origine ; l’image est le plan de projection. Exemple Considérons V l’ensemble des fonctions polynomiales de R dans lui-même, et considérons l’application L donnant la dérivée : L : V → V : P 7→ P 0 8/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si l’on considère la projection orthogonale de R3 sur un plan passant par l’origine, alors le noyau est la droite orthogonale à ce plan, passant par l’origine ; l’image est le plan de projection. Exemple Considérons V l’ensemble des fonctions polynomiales de R dans lui-même, et considérons l’application L donnant la dérivée : L : V → V : P 7→ P 0 Alors L est une application linéaire 8/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Exemple Si l’on considère la projection orthogonale de R3 sur un plan passant par l’origine, alors le noyau est la droite orthogonale à ce plan, passant par l’origine ; l’image est le plan de projection. Exemple Considérons V l’ensemble des fonctions polynomiales de R dans lui-même, et considérons l’application L donnant la dérivée : L : V → V : P 7→ P 0 Alors L est une application linéaire et son noyau est formé de l’ensemble des fonctions constantes. 8/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Théorème (Théorème du rang) Si L : V → W est une application linéaire 9/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Théorème (Théorème du rang) Si L : V → W est une application linéaire et V est de dimension finie, alors 9/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Théorème (Théorème du rang) Si L : V → W est une application linéaire et V est de dimension finie, alors dim V = dim ker L + dim =L. 9/24 Algèbre linéaire Applications linéaires Théorème (Théorème du rang) Si L : V → W est une application linéaire et V est de dimension finie, alors dim V = dim ker L + dim =L. (Ce théorème est laissé sans preuve.) 9/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Définition Si L : V → V est un opérateur linéaire 10/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Définition Si L : V → V est un opérateur linéaire, et si λ ∈ R est un scalaire, 10/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Définition Si L : V → V est un opérateur linéaire, et si λ ∈ R est un scalaire, on dit que λ est valeur propre de L si 10/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Définition Si L : V → V est un opérateur linéaire, et si λ ∈ R est un scalaire, on dit → − − que λ est valeur propre de L si il existe un vecteur → v 6= 0 tel que 10/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Définition Si L : V → V est un opérateur linéaire, et si λ ∈ R est un scalaire, on dit → − − que λ est valeur propre de L si il existe un vecteur → v 6= 0 tel que − − L(→ v ) = λ→ v. 10/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Définition Si L : V → V est un opérateur linéaire, et si λ ∈ R est un scalaire, on dit → − − que λ est valeur propre de L si il existe un vecteur → v 6= 0 tel que − − L(→ v ) = λ→ v. Définition Si λ est une valeur propre de l’opérateur linéaire L, 10/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Définition Si L : V → V est un opérateur linéaire, et si λ ∈ R est un scalaire, on dit → − − que λ est valeur propre de L si il existe un vecteur → v 6= 0 tel que − − L(→ v ) = λ→ v. Définition Si λ est une valeur propre de l’opérateur linéaire L, alors l’ensemble Vλ := 10/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Définition Si L : V → V est un opérateur linéaire, et si λ ∈ R est un scalaire, on dit → − − que λ est valeur propre de L si il existe un vecteur → v 6= 0 tel que − − L(→ v ) = λ→ v. Définition Si λ est une valeur propre de l’opérateur linéaire L, alors l’ensemble − − − Vλ := → v ∈ V t.q. L(→ v ) = λ→ v 10/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Définition Si L : V → V est un opérateur linéaire, et si λ ∈ R est un scalaire, on dit → − − que λ est valeur propre de L si il existe un vecteur → v 6= 0 tel que − − L(→ v ) = λ→ v. Définition Si λ est une valeur propre de l’opérateur linéaire L, alors l’ensemble − − − Vλ := → v ∈ V t.q. L(→ v ) = λ→ v est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre λ 10/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Définition Si L : V → V est un opérateur linéaire, et si λ ∈ R est un scalaire, on dit → − − que λ est valeur propre de L si il existe un vecteur → v 6= 0 tel que − − L(→ v ) = λ→ v. Définition Si λ est une valeur propre de l’opérateur linéaire L, alors l’ensemble − − − Vλ := → v ∈ V t.q. L(→ v ) = λ→ v est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre λ, et ses éléments sont appelés des vecteurs propres. 10/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Définition Si L : V → V est un opérateur linéaire, et si λ ∈ R est un scalaire, on dit → − − que λ est valeur propre de L si il existe un vecteur → v 6= 0 tel que − − L(→ v ) = λ→ v. Définition Si λ est une valeur propre de l’opérateur linéaire L, alors l’ensemble − − − Vλ := → v ∈ V t.q. L(→ v ) = λ→ v est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre λ, et ses éléments sont appelés des vecteurs propres. 10/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. Exemple Une homothétie de Rn de centre 0 et 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. Exemple Une homothétie de Rn de centre 0 et de rapport k 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. Exemple Une homothétie de Rn de centre 0 et de rapport k admet le réel k comme valeur propre 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. Exemple Une homothétie de Rn de centre 0 et de rapport k admet le réel k comme valeur propre. L’espace propre Vk est 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. Exemple Une homothétie de Rn de centre 0 et de rapport k admet le réel k comme valeur propre. L’espace propre Vk est Rn tout entier. 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. Exemple Une homothétie de Rn de centre 0 et de rapport k admet le réel k comme valeur propre. L’espace propre Vk est Rn tout entier. Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x , 3y ) 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. Exemple Une homothétie de Rn de centre 0 et de rapport k admet le réel k comme valeur propre. L’espace propre Vk est Rn tout entier. Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x , 3y ) admet les valeurs propres 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. Exemple Une homothétie de Rn de centre 0 et de rapport k admet le réel k comme valeur propre. L’espace propre Vk est Rn tout entier. Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x , 3y ) admet les valeurs propres 2 et 3. 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. Exemple Une homothétie de Rn de centre 0 et de rapport k admet le réel k comme valeur propre. L’espace propre Vk est Rn tout entier. Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x , 3y ) admet les valeurs propres 2 et 3. Les sous-espaces propres associés sont : 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. Exemple Une homothétie de Rn de centre 0 et de rapport k admet le réel k comme valeur propre. L’espace propre Vk est Rn tout entier. Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x , 3y ) admet les valeurs propres 2 et 3. Les sous-espaces propres associés sont : V2 = h{(1, 0)}i V3 = h{(0, 1)}i 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Remarque Géométriquement, un vecteur est un vecteur propre s’il engendre une droite qui est conservée par l’opérateur. En d’autres termes, chaque point de la droite est envoyé sur des points de cette même droite. Exemple Une homothétie de Rn de centre 0 et de rapport k admet le réel k comme valeur propre. L’espace propre Vk est Rn tout entier. Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x , 3y ) admet les valeurs propres 2 et 3. Les sous-espaces propres associés sont : V2 = h{(1, 0)}i V3 = h{(0, 1)}i 11/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x , x + y ) 12/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x , x + y ) admet la valeur propre 12/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x , x + y ) admet la valeur propre 1. 12/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x , x + y ) admet la valeur propre 1. Le sous-espace propre correspondant est : 12/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x , x + y ) admet la valeur propre 1. Le sous-espace propre correspondant est : V1 = h{(0, 1)}i 12/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x , x + y ) admet la valeur propre 1. Le sous-espace propre correspondant est : V1 = h{(0, 1)}i Exemple La rotation du plan d’angle π 2 : 12/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x , x + y ) admet la valeur propre 1. Le sous-espace propre correspondant est : V1 = h{(0, 1)}i Exemple La rotation du plan d’angle π 2 : (x , y ) 7→ (−y , x ) 12/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x , x + y ) admet la valeur propre 1. Le sous-espace propre correspondant est : V1 = h{(0, 1)}i Exemple La rotation du plan d’angle propre. π 2 : (x , y ) 7→ (−y , x ) n’admet aucune valeur 12/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x , x + y ) admet la valeur propre 1. Le sous-espace propre correspondant est : V1 = h{(0, 1)}i Exemple La rotation du plan d’angle π2 : (x , y ) 7→ (−y , x ) n’admet aucune valeur propre. En effet, aucune droite n’est conservée par cette rotation. 12/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple L’application R2 → R2 : (x , y ) 7→ (x , x + y ) admet la valeur propre 1. Le sous-espace propre correspondant est : V1 = h{(0, 1)}i Exemple La rotation du plan d’angle π2 : (x , y ) 7→ (−y , x ) n’admet aucune valeur propre. En effet, aucune droite n’est conservée par cette rotation. 12/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs propres sont la rotation identité 13/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs propres sont la rotation identité, d’angle nul 13/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs propres sont la rotation identité, d’angle nul : elle admet 1 comme unique valeur propre 13/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs propres sont la rotation identité, d’angle nul : elle admet 1 comme unique valeur propre et l’espace propre V1 correspondant est le plan tout entier ; et 13/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs propres sont la rotation identité, d’angle nul : elle admet 1 comme unique valeur propre et l’espace propre V1 correspondant est le plan tout entier ; et la rotation d’angle π 13/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs propres sont la rotation identité, d’angle nul : elle admet 1 comme unique valeur propre et l’espace propre V1 correspondant est le plan tout entier ; et la rotation d’angle π, c’est-à-dire la symétrie centrale par rapport à l’origine 13/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs propres sont la rotation identité, d’angle nul : elle admet 1 comme unique valeur propre et l’espace propre V1 correspondant est le plan tout entier ; et la rotation d’angle π, c’est-à-dire la symétrie centrale par rapport à l’origine : elle admet −1 comme unique valeur propre 13/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs propres sont la rotation identité, d’angle nul : elle admet 1 comme unique valeur propre et l’espace propre V1 correspondant est le plan tout entier ; et la rotation d’angle π, c’est-à-dire la symétrie centrale par rapport à l’origine : elle admet −1 comme unique valeur propre et l’espace propre V−1 est le plan tout entier. 13/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs propres sont la rotation identité, d’angle nul : elle admet 1 comme unique valeur propre et l’espace propre V1 correspondant est le plan tout entier ; et la rotation d’angle π, c’est-à-dire la symétrie centrale par rapport à l’origine : elle admet −1 comme unique valeur propre et l’espace propre V−1 est le plan tout entier. 13/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs propres sont la rotation identité, d’angle nul : elle admet 1 comme unique valeur propre et l’espace propre V1 correspondant est le plan tout entier ; et la rotation d’angle π, c’est-à-dire la symétrie centrale par rapport à l’origine : elle admet −1 comme unique valeur propre et l’espace propre V−1 est le plan tout entier. On va voir maintenant comment trouver systématiquement les valeurs propres et vecteurs propres (sous-espaces propres) d’une application linéaire. 13/24 Algèbre linéaire Valeurs propres et vecteurs propres Exemple En fait, on peut voir que les seules rotations du plan admettant des valeurs propres sont la rotation identité, d’angle nul : elle admet 1 comme unique valeur propre et l’espace propre V1 correspondant est le plan tout entier ; et la rotation d’angle π, c’est-à-dire la symétrie centrale par rapport à l’origine : elle admet −1 comme unique valeur propre et l’espace propre V−1 est le plan tout entier. On va voir maintenant comment trouver systématiquement les valeurs propres et vecteurs propres (sous-espaces propres) d’une application linéaire. Pour cela on a besoin de définir la notion de matrice associée à une application linéaire. 13/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , B 0 une base de W 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , B 0 une base de W , et L : V → W une application linéaire. 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , B 0 une base de W , et L : V → W une application linéaire. On définit la matrice de L dans les bases B et B 0 , 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , B 0 une base de W , et L : V → W une application linéaire. On définit la matrice de L dans les bases B et B 0 , cette matrice est notée A 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , B 0 une base de W , et L : V → W une application linéaire. On définit la matrice de L dans les bases B et B 0 , cette matrice est notée A, par la relation 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , B 0 une base de W , et L : V → W une application linéaire. On définit la matrice de L dans les bases B et B 0 , cette matrice est notée A, par la relation dim XW → − − L(→ ej ) = Aij ei0 . i=1 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , B 0 une base de W , et L : V → W une application linéaire. On définit la matrice de L dans les bases B et B 0 , cette matrice est notée A, par la relation dim XW → − − L(→ ej ) = Aij ei0 . i=1 Remarque Lorsque nous considérons un opérateur linéaire 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , B 0 une base de W , et L : V → W une application linéaire. On définit la matrice de L dans les bases B et B 0 , cette matrice est notée A, par la relation dim XW → − − L(→ ej ) = Aij ei0 . i=1 Remarque Lorsque nous considérons un opérateur linéaire, c’est-à-dire une application linéaire au sein d’un même espace (donc quand V = W ), 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , B 0 une base de W , et L : V → W une application linéaire. On définit la matrice de L dans les bases B et B 0 , cette matrice est notée A, par la relation dim XW → − − L(→ ej ) = Aij ei0 . i=1 Remarque Lorsque nous considérons un opérateur linéaire, c’est-à-dire une application linéaire au sein d’un même espace (donc quand V = W ), nous utilisons alors la même base, c’est-à-dire B = B 0 . 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Soient V et W des espaces vectoriels. Soit B une base de V , B 0 une base de W , et L : V → W une application linéaire. On définit la matrice de L dans les bases B et B 0 , cette matrice est notée A, par la relation dim XW → − − L(→ ej ) = Aij ei0 . i=1 Remarque Lorsque nous considérons un opérateur linéaire, c’est-à-dire une application linéaire au sein d’un même espace (donc quand V = W ), nous utilisons alors la même base, c’est-à-dire B = B 0 . 14/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L nous devons déterminer 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L nous devons déterminer L(e1 ) = L(1, 0) 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L nous devons déterminer L(e1 ) = L(1, 0) = (cos(θ), sin(θ)) et 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L nous devons déterminer L(e1 ) = L(1, 0) = (cos(θ), sin(θ)) et L(e2 ) = L(0, 1) 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L nous devons déterminer L(e1 ) = L(1, 0) = (cos(θ), sin(θ)) et L(e2 ) = L(0, 1) = (− sin(θ), cos(θ)) 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L nous devons déterminer L(e1 ) = L(1, 0) = (cos(θ), sin(θ)) et L(e2 ) = L(0, 1) = (− sin(θ), cos(θ)) 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L nous devons déterminer L(e1 ) = L(1, 0) = (cos(θ), sin(θ)) et L(e2 ) = L(0, 1) = (− sin(θ), cos(θ)) la matrice est donc donnée par : 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L nous devons déterminer L(e1 ) = L(1, 0) = (cos(θ), sin(θ)) et L(e2 ) = L(0, 1) = (− sin(θ), cos(θ)) la matrice est donc donnée par : ! cos(θ) 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L nous devons déterminer L(e1 ) = L(1, 0) = (cos(θ), sin(θ)) et L(e2 ) = L(0, 1) = (− sin(θ), cos(θ)) la matrice est donc donnée par : ! cos(θ) sin(θ) 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L nous devons déterminer L(e1 ) = L(1, 0) = (cos(θ), sin(θ)) et L(e2 ) = L(0, 1) = (− sin(θ), cos(θ)) la matrice est donc donnée par : ! cos(θ) − sin(θ) sin(θ) 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Nous noterons parfois (L)B la matrice de l’opérateur linéaire L dans la base B. − − Souvent, nous utiliserons la base canonique de Rn , c’est-à-dire → e1 , . . . , → en , où → − ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). i e position Exemple Considérons L : R2 → R2 , la rotation d’un angle θ dans le plan. Pour écrire la matrice de L nous devons déterminer L(e1 ) = L(1, 0) = (cos(θ), sin(θ)) et L(e2 ) = L(0, 1) = (− sin(θ), cos(θ)) la matrice est donc donnée par : ! cos(θ) − sin(θ) sin(θ) cos(θ) 15/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, et les espaces propres sont : 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, et les espaces propres sont : V1 = h{(1, −1)}i V3 = h{(1, 1)}i 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, et les espaces propres sont : V1 = h{(1, −1)}i V3 = h{(1, 1)}i → − En particulier, pour les vecteurs f1 = (1, −1) et 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, et les espaces propres sont : V1 = h{(1, −1)}i V3 = h{(1, 1)}i → − → − En particulier, pour les vecteurs f1 = (1, −1) et f2 = (1, 1) 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, et les espaces propres sont : V1 = h{(1, −1)}i V3 = h{(1, 1)}i → − → − En particulier, pour les vecteurs f1 = (1, −1) et f2 = (1, 1), on a : → − L( f1 ) 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, et les espaces propres sont : V1 = h{(1, −1)}i V3 = h{(1, 1)}i → − → − En particulier, pour les vecteurs f1 = (1, −1) et f2 = (1, 1), on a : → − → − L( f1 ) = f1 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, et les espaces propres sont : V1 = h{(1, −1)}i V3 = h{(1, 1)}i → − → − En particulier, pour les vecteurs f1 = (1, −1) et f2 = (1, 1), on a : → − → − → − L( f1 ) = f1 L( f2 ) 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, et les espaces propres sont : V1 = h{(1, −1)}i V3 = h{(1, 1)}i → − → − En particulier, pour les vecteurs f1 = (1, −1) et f2 = (1, 1), on a : → − → − → − → − L( f1 ) = f1 L( f2 ) = 3 f2 . 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, et les espaces propres sont : V1 = h{(1, −1)}i V3 = h{(1, 1)}i → − → − En particulier, pour les vecteurs f1 = (1, −1) et f2 = (1, 1), on a : → − → − → − → − L( f1 ) = f1 L( f2 ) = 3 f2 . 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, et les espaces propres sont : V1 = h{(1, −1)}i V3 = h{(1, 1)}i → − → − En particulier, pour les vecteurs f1 = (1, −1) et f2 = (1, 1), on a : → − → − → − → − L( f1 ) = f1 L( f2 ) = 3 f2 . n→ o − → − Or la partie f1 , f2 est une base. 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Considérons L : R2 → R2 : (x , y ) 7→ (2x + y , x + 2y ). Cette application a pour matrice ! 2 1 1 2 (dans la base canonique). Un calcul montre que les valeurs propres sont 1 et 3, et les espaces propres sont : V1 = h{(1, −1)}i V3 = h{(1, 1)}i → − → − En particulier, pour les vecteurs f1 = (1, −1) et f2 = (1, 1), on a : → − → − → − → − L( f1 ) = f1 L( f2 ) = 3 f2 . n→ o − → − Or la partie f1 , f2 est une base. Dans cette base, la matrice de L est donc : ! 1 0 . 0 3 16/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L : V → V est un opérateur linéaire 17/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L : V → V est un opérateur linéaire et V admet une base constituée de vecteurs propres de L, 17/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L : V → V est un opérateur linéaire et V admet une base constituée de vecteurs propres de L, alors la matrice de L dans cette base 17/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L : V → V est un opérateur linéaire et V admet une base constituée de vecteurs propres de L, alors la matrice de L dans cette base est diagonale. 17/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L : V → V est un opérateur linéaire et V admet une base constituée de vecteurs propres de L, alors la matrice de L dans cette base est diagonale. Démonstration. On voit directement que la matrice de l’opérateur est constituée des valeurs propres de cet opérateur. 17/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L : V → V est un opérateur linéaire et V admet une base constituée de vecteurs propres de L, alors la matrice de L dans cette base est diagonale. Démonstration. On voit directement que la matrice de l’opérateur est constituée des valeurs propres de cet opérateur. Résultat Soi P un ensemble de vecteurs propres non-nuls 17/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L : V → V est un opérateur linéaire et V admet une base constituée de vecteurs propres de L, alors la matrice de L dans cette base est diagonale. Démonstration. On voit directement que la matrice de l’opérateur est constituée des valeurs propres de cet opérateur. Résultat Soi P un ensemble de vecteurs propres non-nuls associés à des valeurs propres différentes. 17/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L : V → V est un opérateur linéaire et V admet une base constituée de vecteurs propres de L, alors la matrice de L dans cette base est diagonale. Démonstration. On voit directement que la matrice de l’opérateur est constituée des valeurs propres de cet opérateur. Résultat Soi P un ensemble de vecteurs propres non-nuls associés à des valeurs propres différentes. Alors P est libre. 17/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Nous ne montrons que les cas où P contient 1 ou 2 éléments. 18/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Nous ne montrons que les cas où P contient 1 ou 2 éléments. Si P ne contient qu’un vecteur non-nul,la partie est évidemment libre. − − Si P en contient deux, disons → v et → w ,avec λ, µ ∈ R tels que : − − − − L(→ v ) = λ→ v L(→ w ) = µ→ w − − Considérons une combili nulle a→ v + b→ w = 0.Montrons que a = b = 0. − − On sait L(a→ v + b→ w ) = L(0) = 0.Nous avons donc : − − − − 0 = aλ→ v + bµ→ w car → v et → w sont vecteurs propres. − Comme µ − λ n’est pas nul,et → w non plus, nous obtenons b = 0. 18/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Nous ne montrons que les cas où P contient 1 ou 2 éléments. Si P ne contient qu’un vecteur non-nul,la partie est évidemment libre. − − Si P en contient deux, disons → v et → w ,avec λ, µ ∈ R tels que : − − − − L(→ v ) = λ→ v L(→ w ) = µ→ w − − Considérons une combili nulle a→ v + b→ w = 0.Montrons que a = b = 0. − − On sait L(a→ v + b→ w ) = L(0) = 0.Nous avons donc : − − − − 0 = aλ→ v + bµ→ w car → v et → w sont vecteurs propres. → − → − − = λ(−b w ) + bµ w en éliminant a→ v. − Comme µ − λ n’est pas nul,et → w non plus, nous obtenons b = 0. 18/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Nous ne montrons que les cas où P contient 1 ou 2 éléments. Si P ne contient qu’un vecteur non-nul,la partie est évidemment libre. − − Si P en contient deux, disons → v et → w ,avec λ, µ ∈ R tels que : − − − − L(→ v ) = λ→ v L(→ w ) = µ→ w − − Considérons une combili nulle a→ v + b→ w = 0.Montrons que a = b = 0. − − On sait L(a→ v + b→ w ) = L(0) = 0.Nous avons donc : − − − − 0 = aλ→ v + bµ→ w car → v et → w sont vecteurs propres. → − → − − = λ(−b w ) + bµ w en éliminant a→ v. − = (µ − λ)b → w − Comme µ − λ n’est pas nul,et → w non plus, nous obtenons b = 0. 18/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Lorsque nous considérons un opérateur linéaire L : V → V et deux bases B et B 0 , 19/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Lorsque nous considérons un opérateur linéaire L : V → V et deux bases 0 B et B 0 , alors nous avons deux matrices (L)B et (L)B , 19/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Lorsque nous considérons un opérateur linéaire L : V → V et deux bases 0 B et B 0 , alors nous avons deux matrices (L)B et (L)B , que nous allons ici noter A et A0 respectivement : 19/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Lorsque nous considérons un opérateur linéaire L : V → V et deux bases 0 B et B 0 , alors nous avons deux matrices (L)B et (L)B , que nous allons ici noter A et A0 respectivement : n n X X → −0 → − → − → − L( ej ) = Aij ei L( ej ) = A0ij ei0 i=1 i=1 19/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Lorsque nous considérons un opérateur linéaire L : V → V et deux bases 0 B et B 0 , alors nous avons deux matrices (L)B et (L)B , que nous allons ici noter A et A0 respectivement : n n X X → −0 → − → − → − L( ej ) = Aij ei L( ej ) = A0ij ei0 i=1 i=1 Notons également M la matrice de changement de base 19/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Lorsque nous considérons un opérateur linéaire L : V → V et deux bases 0 B et B 0 , alors nous avons deux matrices (L)B et (L)B , que nous allons ici noter A et A0 respectivement : n n X X → −0 → − → − → − L( ej ) = Aij ei L( ej ) = A0ij ei0 i=1 i=1 Notons également M la matrice de changement de base, c’est-à-dire la matrice M vérifiant : 19/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Lorsque nous considérons un opérateur linéaire L : V → V et deux bases 0 B et B 0 , alors nous avons deux matrices (L)B et (L)B , que nous allons ici noter A et A0 respectivement : n n X X → −0 → − → − → − L( ej ) = Aij ei L( ej ) = A0ij ei0 i=1 i=1 Notons également M la matrice de changement de base, c’est-à-dire la matrice M vérifiant : n X → −0 − ej = Mij → ei . i=1 19/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Lorsque nous considérons un opérateur linéaire L : V → V et deux bases 0 B et B 0 , alors nous avons deux matrices (L)B et (L)B , que nous allons ici noter A et A0 respectivement : n n X X → −0 → − → − → − L( ej ) = Aij ei L( ej ) = A0ij ei0 i=1 i=1 Notons également M la matrice de changement de base, c’est-à-dire la matrice M vérifiant : n X → −0 − ej = Mij → ei . i=1 Résultat Le lien entre A, A0 et M est : 19/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Lorsque nous considérons un opérateur linéaire L : V → V et deux bases 0 B et B 0 , alors nous avons deux matrices (L)B et (L)B , que nous allons ici noter A et A0 respectivement : n n X X → −0 → − → − → − L( ej ) = Aij ei L( ej ) = A0ij ei0 i=1 i=1 Notons également M la matrice de changement de base, c’est-à-dire la matrice M vérifiant : n X → −0 − ej = Mij → ei . i=1 Résultat Le lien entre A, A0 et M est : MA0 = AM 19/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit de ces relations. D’une part : 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit de ces relations. D’une part : → − L( ej0 ) 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit ! de ces relations. D’une part : n n X X → −0 − L( ej ) = A0ij Mki → ek i=1 k=1 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit ! de nces nrelations. D’une part : n n X XX X → −0 − − L( ej ) = A0ij A0ij Mki → ek Mki → ek = i=1 k=1 i=1 k=1 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit ! de nces nrelations. D’une part : n n X XX X → −0 − − L( ej ) = A0ij A0ij Mki → ek Mki → ek = i=1 i=1 k=1 k=1 et d’autre part : ! ! n n n n X X X X → −0 → − → − → − Mij ei = Mij L( ei ) = Mij Aki ek L( ej ) = L i=1 i=1 i=1 k=1 = n X n X − Mij Aki → ek i=1 k=1 d’où la relation suivante pour tout j et pour tout k : n X i=1 A0ij Mki = n X Mij Aki i=1 c’est-à-dire, matriciellement : MA0 = AM 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit ! de nces nrelations. D’une part : n n X XX X → −0 − − L( ej ) = A0ij A0ij Mki → ek Mki → ek = i=1 et d’autre part : → − L( ej0 ) i=1 k=1 k=1 = n X n n X X − − Mij L(→ ei ) = Mij ek Aki → i=1 i=1 ! k=1 = n X n X − Mij Aki → ek i=1 k=1 d’où la relation suivante pour tout j et pour tout k : n X i=1 A0ij Mki = n X Mij Aki i=1 c’est-à-dire, matriciellement : MA0 = AM 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit ! de nces nrelations. D’une part : n n X XX X → −0 − − L( ej ) = A0ij A0ij Mki → ek Mki → ek = i=1 i=1 k=1 k=1 et d’autre part : → − L( ej0 ) = n X Mij i=1 n X − ek Aki → ! k=1 = n X n X − Mij Aki → ek i=1 k=1 d’où la relation suivante pour tout j et pour tout k : n X i=1 A0ij Mki = n X Mij Aki i=1 c’est-à-dire, matriciellement : MA0 = AM 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit ! de nces nrelations. D’une part : n n X XX X → −0 − − L( ej ) = A0ij A0ij Mki → ek Mki → ek = i=1 i=1 k=1 k=1 et d’autre part : → − L( ej0 ) = n X n X − Mij Aki → ek i=1 k=1 d’où la relation suivante pour tout j et pour tout k : n X i=1 A0ij Mki = n X Mij Aki i=1 c’est-à-dire, matriciellement : MA0 = AM 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit ! de nces nrelations. D’une part : n n X XX X → −0 − − L( ej ) = A0ij A0ij Mki → ek Mki → ek = i=1 k=1 i=1 k=1 et d’autre part : ! ! n n n n X X X X → −0 → − → − → − L( ej ) = L Mij ei = Mij L( ei ) = Mij Aki ek i=1 i=1 i=1 k=1 = n X n X − Mij Aki → ek i=1 k=1 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit ! de nces nrelations. D’une part : n n X XX X → −0 − − L( ej ) = A0ij A0ij Mki → ek Mki → ek = i=1 k=1 i=1 k=1 et d’autre part : ! ! n n n n X X X X → −0 → − → − → − L( ej ) = L Mij ei = Mij L( ei ) = Mij Aki ek i=1 i=1 i=1 k=1 = n X n X − Mij Aki → ek i=1 k=1 d’où la relation suivante pour tout j et pour tout k : 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit ! de nces nrelations. D’une part : n n X XX X → −0 − − L( ej ) = A0ij A0ij Mki → ek Mki → ek = i=1 i=1 k=1 k=1 et d’autre part : ! ! n n n n X X X X → −0 → − → − → − L( ej ) = L Mij ei = Mij L( ei ) = Mij Aki ek i=1 i=1 i=1 k=1 = n X n X − Mij Aki → ek i=1 k=1 d’où la relation suivante pour tout j et pour tout k : n X i=1 A0ij Mki = n X Mij Aki i=1 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit ! de nces nrelations. D’une part : n n X XX X → −0 − − L( ej ) = A0ij A0ij Mki → ek Mki → ek = i=1 i=1 k=1 k=1 et d’autre part : ! ! n n n n X X X X → −0 → − → − → − L( ej ) = L Mij ei = Mij L( ei ) = Mij Aki ek i=1 i=1 i=1 k=1 = n X n X − Mij Aki → ek i=1 k=1 d’où la relation suivante pour tout j et pour tout k : n X i=1 A0ij Mki = n X Mij Aki i=1 c’est-à-dire, matriciellement : 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Preuve pour information. Le lien entre A et A0 peut alors être déduit ! de nces nrelations. D’une part : n n X XX X → −0 − − L( ej ) = A0ij A0ij Mki → ek Mki → ek = i=1 i=1 k=1 k=1 et d’autre part : ! ! n n n n X X X X → −0 → − → − → − L( ej ) = L Mij ei = Mij L( ei ) = Mij Aki ek i=1 i=1 i=1 k=1 = n X n X − Mij Aki → ek i=1 k=1 d’où la relation suivante pour tout j et pour tout k : n X i=1 A0ij Mki = n X Mij Aki i=1 c’est-à-dire, matriciellement : MA0 = AM 20/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Avec les notations génériques précédentes et en utilisant l’inverse de M : 21/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Avec les notations génériques précédentes et en utilisant l’inverse de M : Théorème Si L est un opérateur linéaire et 21/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Avec les notations génériques précédentes et en utilisant l’inverse de M : Théorème Si L est un opérateur linéaire et si M est la matrice de changement de base de la base B à la base B 0 , alors 21/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Avec les notations génériques précédentes et en utilisant l’inverse de M : Théorème Si L est un opérateur linéaire et si M est la matrice de changement de base de la base B à la base B 0 , alors 0 (L)B = M(L)B M −1 . 21/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Avec les notations génériques précédentes et en utilisant l’inverse de M : Théorème Si L est un opérateur linéaire et si M est la matrice de changement de base de la base B à la base B 0 , alors 0 (L)B = M(L)B M −1 . Ce résultat nous permet d’obtenir la matrice de l’application linéaire L dans une nouvelle base 21/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Avec les notations génériques précédentes et en utilisant l’inverse de M : Théorème Si L est un opérateur linéaire et si M est la matrice de changement de base de la base B à la base B 0 , alors 0 (L)B = M(L)B M −1 . Ce résultat nous permet d’obtenir la matrice de l’application linéaire L dans une nouvelle base à partir de la matrice dans la base de départ et 21/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Avec les notations génériques précédentes et en utilisant l’inverse de M : Théorème Si L est un opérateur linéaire et si M est la matrice de changement de base de la base B à la base B 0 , alors 0 (L)B = M(L)B M −1 . Ce résultat nous permet d’obtenir la matrice de l’application linéaire L dans une nouvelle base à partir de la matrice dans la base de départ et de la matrice de changement de base. 21/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L est un opérateur linéaire de V de B une base de V , 22/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L est un opérateur linéaire de V de B une base de V , alors le déterminant de (L)B ne dépend pas de B. 22/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L est un opérateur linéaire de V de B une base de V , alors le déterminant de (L)B ne dépend pas de B. De plus, L est injective si et seulement si 22/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L est un opérateur linéaire de V de B une base de V , alors le déterminant de (L)B ne dépend pas de B. De plus, L est injective si et seulement si det(L)B 6= 0. 22/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L est un opérateur linéaire de V de B une base de V , alors le déterminant de (L)B ne dépend pas de B. De plus, L est injective si et seulement si det(L)B 6= 0. Démonstration. 0 L’indépendance par rapport à la base suit de l’égalité (L)B = M(L)B M −1 : 22/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L est un opérateur linéaire de V de B une base de V , alors le déterminant de (L)B ne dépend pas de B. De plus, L est injective si et seulement si det(L)B 6= 0. Démonstration. 0 L’indépendance par rapport à la base suit de l’égalité (L)B = M(L)B M −1 : 0 det(L)B = det M(L)B M −1 = 22/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L est un opérateur linéaire de V de B une base de V , alors le déterminant de (L)B ne dépend pas de B. De plus, L est injective si et seulement si det(L)B 6= 0. Démonstration. 0 L’indépendance par rapport à la base suit de l’égalité (L)B = M(L)B M −1 : 0 0 det(L)B = det M(L)B M −1 = det M det(L)B det M −1 22/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L est un opérateur linéaire de V de B une base de V , alors le déterminant de (L)B ne dépend pas de B. De plus, L est injective si et seulement si det(L)B 6= 0. Démonstration. 0 L’indépendance par rapport à la base suit de l’égalité (L)B = M(L)B M −1 : 0 0 0 det(L)B = det M(L)B M −1 = det M det(L)B det M −1 = det(L)B . 22/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L est un opérateur linéaire de V de B une base de V , alors le déterminant de (L)B ne dépend pas de B. De plus, L est injective si et seulement si det(L)B 6= 0. Démonstration. 0 L’indépendance par rapport à la base suit de l’égalité (L)B = M(L)B M −1 : 0 0 0 det(L)B = det M(L)B M −1 = det M det(L)B det M −1 = det(L)B . L’affirmation sur l’injectivité ne sera pas démontrée ici. 22/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Résultat Si L est un opérateur linéaire de V de B une base de V , alors le déterminant de (L)B ne dépend pas de B. De plus, L est injective si et seulement si det(L)B 6= 0. Démonstration. 0 L’indépendance par rapport à la base suit de l’égalité (L)B = M(L)B M −1 : 0 0 0 det(L)B = det M(L)B M −1 = det M det(L)B det M −1 = det(L)B . L’affirmation sur l’injectivité ne sera pas démontrée ici. 22/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : det(M − λ Idn ) = 0 Démonstration. 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : det(M − λ Idn ) = 0 Démonstration. Cela suit du résultat précédent. 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : det(M − λ Idn ) = 0 Démonstration. Cela suit du résultat précédent. En effet, λ est valeur propre ssi 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : det(M − λ Idn ) = 0 Démonstration. → − − v = 6 0 Cela suit du résultat précédent. En effet, λ est valeur propre ssi il existe → 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : det(M − λ Idn ) = 0 Démonstration. → − − v = 6 0 Cela suit du résultat précédent. En effet, λ est valeur propre ssi il existe → − − tel que L(→ v ) = λ→ v, 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : det(M − λ Idn ) = 0 Démonstration. → − − v = 6 0 Cela suit du résultat précédent. En effet, λ est valeur propre ssi il existe → → − − − − tel que L(→ v ) = λ→ v , ce qui se réecrit (L − λId)(→ v)= 0, 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : det(M − λ Idn ) = 0 Démonstration. → − − v 6= 0 Cela suit du résultat précédent. En effet, λ est valeur propre ssi il existe → → − − − − tel que L(→ v ) = λ→ v , ce qui se réecrit (L − λId)(→ v ) = 0 , ce qui revient à dire qu’il existe un vecteur non nul dans le noyau de l’application linéaire (L − λId), 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : det(M − λ Idn ) = 0 Démonstration. → − − v 6= 0 Cela suit du résultat précédent. En effet, λ est valeur propre ssi il existe → → − − − − tel que L(→ v ) = λ→ v , ce qui se réecrit (L − λId)(→ v ) = 0 , ce qui revient à dire qu’il existe un vecteur non nul dans le noyau de l’application linéaire (L − λId), ou encore que cette application n’est pas injective. 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : det(M − λ Idn ) = 0 Démonstration. → − − v 6= 0 Cela suit du résultat précédent. En effet, λ est valeur propre ssi il existe → → − − − − tel que L(→ v ) = λ→ v , ce qui se réecrit (L − λId)(→ v ) = 0 , ce qui revient à dire qu’il existe un vecteur non nul dans le noyau de l’application linéaire (L − λId), ou encore que cette application n’est pas injective. Par le résultat précédent ceci revient à dire que det(M − λ Idn ) = 0. 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : det(M − λ Idn ) = 0 Démonstration. → − − v 6= 0 Cela suit du résultat précédent. En effet, λ est valeur propre ssi il existe → → − − − − tel que L(→ v ) = λ→ v , ce qui se réecrit (L − λId)(→ v ) = 0 , ce qui revient à dire qu’il existe un vecteur non nul dans le noyau de l’application linéaire (L − λId), ou encore que cette application n’est pas injective. Par le résultat précédent ceci revient à dire que det(M − λ Idn ) = 0. Définition La quantité det(M − λ Idn ) est un polynôme en l’inconnue λ 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires On peut déduire du résultat précédent un résultat important permettant de trouver les valeurs et vecteurs propres d’un opérateur linéaire. Résultat Les valeurs propres d’un opérateur linéaire L représenté par une matrice M dans une base fixée sont données par les valeurs de λ vérifiant léquation : det(M − λ Idn ) = 0 Démonstration. → − − v 6= 0 Cela suit du résultat précédent. En effet, λ est valeur propre ssi il existe → → − − − − tel que L(→ v ) = λ→ v , ce qui se réecrit (L − λId)(→ v ) = 0 , ce qui revient à dire qu’il existe un vecteur non nul dans le noyau de l’application linéaire (L − λId), ou encore que cette application n’est pas injective. Par le résultat précédent ceci revient à dire que det(M − λ Idn ) = 0. Définition La quantité det(M − λ Idn ) est un polynôme en l’inconnue λ qui est appelé le polynôme caractéristique de M. 23/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Une matrice d’un opérateur linéaire L 24/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Une matrice d’un opérateur linéaire L est diagonalisable si il existe une base 24/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Une matrice d’un opérateur linéaire L est diagonalisable si il existe une base dans laquelle L admet une matrice diagonale. 24/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Une matrice d’un opérateur linéaire L est diagonalisable si il existe une base dans laquelle L admet une matrice diagonale. Définition Une matrice A est symétrique si Aij = Aji . 24/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Une matrice d’un opérateur linéaire L est diagonalisable si il existe une base dans laquelle L admet une matrice diagonale. Définition Une matrice A est symétrique si Aij = Aji . Une matrice O est orthogonale si ses colonnes 24/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Une matrice d’un opérateur linéaire L est diagonalisable si il existe une base dans laquelle L admet une matrice diagonale. Définition Une matrice A est symétrique si Aij = Aji . Une matrice O est orthogonale si ses colonnes sont des vecteurs 24/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Une matrice d’un opérateur linéaire L est diagonalisable si il existe une base dans laquelle L admet une matrice diagonale. Définition Une matrice A est symétrique si Aij = Aji . Une matrice O est orthogonale si ses colonnes sont des vecteurs orthogonaux deux à deux. Résultat 24/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Une matrice d’un opérateur linéaire L est diagonalisable si il existe une base dans laquelle L admet une matrice diagonale. Définition Une matrice A est symétrique si Aij = Aji . Une matrice O est orthogonale si ses colonnes sont des vecteurs orthogonaux deux à deux. Résultat Toute matrice symétrique est diagonalisable, 24/24 Algèbre linéaire Matrices d’applications linéaires Définition Une matrice d’un opérateur linéaire L est diagonalisable si il existe une base dans laquelle L admet une matrice diagonale. Définition Une matrice A est symétrique si Aij = Aji . Une matrice O est orthogonale si ses colonnes sont des vecteurs orthogonaux deux à deux. Résultat Toute matrice symétrique est diagonalisable, et la matrice de changement de base est orthogonale. 24/24