un polycopié de révisions

PSI Septembre 2012
MATHEMATIQUES
Fiche de révisions de première année
pour une rentrée en PSI
en toute sérénité !
Table des matières
1 Nombres complexes 3
1.1 Cours ...................................... 3
1.2 Exercicesderévision.............................. 3
2 Fonctions usuelles 4
2.1 Cours ...................................... 4
2.2 Exercicesderévision.............................. 4
3 Equations différentielles 4
3.1 Cours ...................................... 4
3.2 Exercicesderévision.............................. 4
4 Suites 5
4.1 Cours ...................................... 5
4.2 Exercicesderévision.............................. 5
5 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 6
5.1 Cours ...................................... 6
5.2 Exercicesderévision.............................. 6
6 Dérivation des fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 7
6.1 Cours ...................................... 7
6.2 Exercicesderévision.............................. 7
7 Intégration et dérivation 8
7.1 Cours ...................................... 8
7.2 Exercices de révisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8 Développements limités 9
8.1 Cours ...................................... 9
8.2 Exercicesderévision.............................. 9
9 Principe du raisonnement par récurrence 9
9.1 Exercicederévision .............................. 9
10 Polynômes 9
10.1 Cours ...................................... 9
10.2 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11 Algèbre linéaire 10
1

12 Documents annexes 11
12.1 Annexe 1 : Formulaire Trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
12.2 Annexe 2 : Fonctions hyperboliques et leurs réciproques . . . . . . . . . . 13
12.2.1 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
12.2.2 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
12.3 Annexe 3 : Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
12.4 Annexe 4 : Tableau des primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12.5 Annexe 5 : Règles de calculs sur les développements limités et tableau des
développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12.5.1 Règles de calculs sur les développements limités . . . . . . . . . . . 21
12.5.2 Tableau des développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . 23
2

L’année de PSI est courte, les écrits des concours arrivent vite, le programme est
conséquent.
Voici pourquoi il vous est vivement conseillé de mettre à jour les différents points que
je cite ci-dessous et que j’illustre par des exercices types.
1 Nombres complexes
1.1 Cours
Dans ce chapitre, revoyez en priorité :
– expression algébrique, trigonométrique, exponentielle d’un complexe. Conjugué, mo-
dule.
– Les racines nième de l’unité.
– Dans le cas n= 3, les racines cubiques de 1 sont : 1, j =e2iπ
3=−1
2+i√3 2, j2.
Il faut savoir que : j2=j=1
jet 1 + j+j2= 0
– Résolution des équations du second degré.
– Nombres complexes et géométrie plane
– Formulaire trigonométrique (annexe 1)
1.2 Exercices de révision
exercice 1 : Soit (a, b, c)∈IR3, résoudre le système :
x+y+z=a
x+jy +j2z=b
x+j2y+jz =c
indication : utiliser les opérations l1+l2+l3, l1+jl2+j2l3, l1+j2l2+jl3où lidésigne la
iième équation
En déduire que la matrice A=
1 1 1
1j j2
1j2j
est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 2 : Trouver la partie réelle et la partie imaginaire des complexes suivants :
(1 + i√3)10; (1 −i)12(√3−3i); 3−2i
2+3i11
; √3−i
1 + i!20
Exercice 3 : Calculer les sommes suivantes :
1) un=
n
X
p=1
xncos nθ et vn=
n
X
p=1
xnsin nθ, (x, θ)∈]−1,1[×IR.penser faire un+ivn
2)
n
X
k=0 n
kcos kx, (n, x)∈IN ×IR.
Exercice 4 : Résoudre les équations suivantes d’inconnue z:
1) z4−(5 −14i)z2−2(5i+ 12) = 0
2) (3z2+z+ 1)2+ (z2+ 2z+ 2)2= 0.
3) z−i
z+i3+z−i z+i2+z−i z+i+ 1 = 0.
Exercice 5 : On considère l’application ϕdu plan dans lui-même qui, au point Md’affixe
zassocie le point M0d’affixe z0=3+i√3
4z+1−i√3 2.
1) Quelle est la nature géométrique de cette transformation ?
2) Soit Ason point invariant. Montrer que pour tout M6=A, le triangle AMM0est
rectangle.
3

2 Fonctions usuelles
2.1 Cours
Dans ce chapitre, revoyez en priorité :
– Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances
– Fonctions circulaires et leurs réciproques.
– Fonctions hyperboliques et leurs réciproques (cf annexe 2)
2.2 Exercices de révision
exercice 1 : Donner l’ensemble de définition des expressions suivantes puis les simplifier :
Arctan(tan x),tan(Arctanx),cos( Arctanx),sin( Arctanx),tan(2 Arctanx),tan( Arcsinx)
Exercice 2 : Etude et graphe de :
1)
x7−→ Arcsin 2x
1 + x2
chercher le domaine de définition et poser x= tan θ
2
2)
x7−→ Arctan r1−cos x
1 + cos x
utiliser des formules trigos
Exercice 3 : Montrer que Arctan 1
2+Arctan 1 5+Arctan 1 8=π 4
3 Equations différentielles
3.1 Cours
Dans ce chapitre, revoyez en priorité :
– résoudre une équation différentielle linéaire du premier degré : on résout l’équation
homogène puis on cherche une solution particulière . Pour cela, soit on l’obtient en
«tatonnant», soit par la méthode de la variation de la constante. Enfin, on somme
cette solution particilère aux solutions générales de l’équation homogène.
– résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants
et avec un second membre sous forme exponentielle-polynôme : on résout l’équa-
tion homogène en s’aidant de l’équation caractéristique et on cherche une solution
particulière sous une certaine forme (voir le cours).
3.2 Exercices de révision
Résoudre :
1) Pour x > 0,2xy0−3y=√x.solutions : y(x) = kx3
2−1
2√x
2) Pour m∈IR, résoudre : my00 −(1 + m2)y0+my =xex.
it solution : si m= 0,y(x) = (−x+1)ex+cte, si m /∈ {−1,1}, y(x) = cemx +de x
m+1−x
(m−1)2ex,
si m=−1, y(x) = (c+dx)e−x+1−x
4ex, si m= 1, y(x) = (c+dx)ex+x3 6ex
4

4 Suites
4.1 Cours
se référer au polycopié de rappels
4.2 Exercices de révision
Exercice 1 :
On considère une suite réelle (un)n∈IN vérifiant :
∀n∈IN, un≤un+3
1) On suppose que (un)n∈IN converge.
a) Justifier que (un)n∈IN est majorée.
b) Montrer que la suite (un+2 −2un+1 +un)n∈IN converge vers 0.
2) On ne suppose plus que (un)n∈IN converge, mais on suppose que (un)n∈IN est majorée
et que la suite (un+2 −2un+1 +un)n∈IN converge vers 0.
On considère les suites (an)n∈IN ,(bn)n∈IN ,(cn)n∈IN définies par :
∀n∈IN, an=u3n, bn=u3n+1, cn=u3n+2
a) Montrer que ces trois suites sont majorées et croissantes. Qu’en déduit-on ?
b) En considérant les suites (cn−2bn+an)n∈IN et (an+1 −2cn+bn)n∈IN , montrer que
les suites (an)n∈IN ,(bn)n∈IN ,(cn)n∈IN convergent vers une même limite notée l.
c) Montrer que (un)n∈IN converge vers l.
Exercice 2 :
1. Montrer que, si une suite (xn)n∈IN est convergente, la suite (x2n−xn)n∈IN converge
vers 0.
2. On définit la suite (Sn)n∈IN par : Sn=
n
X
k=1
1
k
a) Montrer que ∀n∈IN, S2n−Sn≥1
2.
b) En déduire que (Sn)n∈IN diverge vers +∞.
3. Montrer que : ∀k≥2,Zk+1
k
1
tdt ≤1 k≤Zk
k−1
1
tdt
4. En déduire un encadrement de Snpour tout n≥1.
5. En déduire un équivalent de Sn.
6. On considère les suites (an)n∈IN et (bn)n∈IN définies par :
an=
n
P
k=1
1
k−ln(n)
bn=
n
P
k=1
1
k−ln(n+ 1)
a) Montrer qu’elles sont adjacentes. utiliser que ∀x > −1,ln(1 + x)≤x
b) En déduire qu’il existe γ∈IR tel que :
Sn= ln(n) + γ+o(1)
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