un polycopié de révisions

PSI
MATHEMATIQUES
Septembre 2012
Fiche de révisions de première année
pour une rentrée en PSI
en toute sérénité !
Table des matières
1
Nombres complexes
1.1 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2
Fonctions usuelles
2.1 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
3
Equations différentielles
3.1 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4 Suites
4.1 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
5 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles
5.1 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
6
6 Dérivation des fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles
6.1 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
7 Intégration et dérivation
7.1 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Exercices de révisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
8 Développements limités
8.1 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
9 Principe du raisonnement par récurrence
9.1 Exercice de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
10 Polynômes
9
10.1 Cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
10.2 Exercices de révision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11 Algèbre linéaire
10
1
12 Documents annexes
12.1 Annexe 1 : Formulaire Trigonométrique . . . . . . . . . . .
12.2 Annexe 2 : Fonctions hyperboliques et leurs réciproques .
12.2.1 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . .
12.3 Annexe 3 : Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . .
12.4 Annexe 4 : Tableau des primitives usuelles . . . . . . . . .
12.5 Annexe 5 : Règles de calculs sur les développements limités
développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Règles de calculs sur les développements limités . .
12.5.2 Tableau des développements limités usuels . . . . .
2
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
et tableau
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
des
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
11
11
13
13
15
16
18
. 21
. 21
. 23
L’année de PSI est courte, les écrits des concours arrivent vite, le programme est
conséquent.
Voici pourquoi il vous est vivement conseillé de mettre à jour les différents points que
je cite ci-dessous et que j’illustre par des exercices types.
1
Nombres complexes
1.1
Cours
Dans ce chapitre, revoyez en priorité :
– expression algébrique, trigonométrique, exponentielle d’un complexe. Conjugué, module.
– Les racines nième de l’unité.
√
2iπ
– Dans le cas n = 3, les racines cubiques de 1 sont : 1, j = e 3 = − 12 + i 23 , j 2 .
Il faut savoir que : j 2 = j = 1j et 1 + j + j 2 = 0
– Résolution des équations du second degré.
– Nombres complexes et géométrie plane
– Formulaire trigonométrique (annexe 1)
1.2
Exercices de révision
exercice 1 : Soit (a, b, c) ∈ IR3 , résoudre le système

=
 x+y+z
x + jy + j 2 z =

x + j 2 y + jz =
:
a
b
c
indication : utiliser les opérations l1 + l2 + l3 , l1 + jl2 + j 2 l3 , l1 + j 2 l2 + jl3 où li désigne la
iième équation


1 1 1
En déduire que la matrice A =  1 j j 2  est inversible et déterminer son inverse.
1 j2 j
Exercice 2 : Trouver la partie réelle et la partie imaginaire
!20 des complexes suivants :
11 √
√
√
3 − 2i
3−i
;
(1 + i 3)10 ; (1 − i)12 ( 3 − 3i);
2 + 3i
1+i
Exercicen3 : Calculer les sommes
suivantes :
n
X
X
1) un =
xn cos nθ et vn =
xn sin nθ, (x, θ) ∈] − 1, 1[×IR.penser faire un + ivn
p=1
p=1
n X
n
2)
cos kx, (n, x) ∈ IN × IR.
k
k=0
Exercice 4 : Résoudre les équations suivantes d’inconnue z :
1) z 4 − (5 − 14i)z 2 − 2(5i + 12) = 0
2) (3z 2 + z + 1)2 + (z 2 + 2z + 2)2 = 0.
2
z−i 3
3) z+i
+ z−i
+ z−i
+ 1 = 0.
z+i
z+i
Exercice 5 : On considère l’application
√ ϕ du plan
√ dans lui-même qui, au point M d’affixe
3+i 3
1−i 3
0
0
z associe le point M d’affixe z = 4 z + 2 .
1) Quelle est la nature géométrique de cette transformation ?
2) Soit A son point invariant. Montrer que pour tout M 6= A, le triangle AM M 0 est
rectangle.
3
2
Fonctions usuelles
2.1
Cours
Dans ce chapitre, revoyez en priorité :
– Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances
– Fonctions circulaires et leurs réciproques.
– Fonctions hyperboliques et leurs réciproques (cf annexe 2)
2.2
Exercices de révision
exercice 1 : Donner l’ensemble de définition des expressions suivantes puis les simplifier :
Arctan(tan x), tan( Arctanx), cos( Arctanx), sin( Arctanx), tan(2 Arctanx), tan( Arcsinx)
Exercice 2 : Etude et graphe de :
1)
x 7−→ Arcsin
2x
1 + x2
chercher le domaine de définition et poser x = tan 2θ
2)
r
x 7−→ Arctan
1 − cos x
1 + cos x
utiliser des formules trigos
Exercice 3 : Montrer que Arctan
3
1
1
1
π
+ Arctan + Arctan =
2
5
8
4
Equations différentielles
3.1
Cours
Dans ce chapitre, revoyez en priorité :
– résoudre une équation différentielle linéaire du premier degré : on résout l’équation
homogène puis on cherche une solution particulière . Pour cela, soit on l’obtient en
«tatonnant», soit par la méthode de la variation de la constante. Enfin, on somme
cette solution particilère aux solutions générales de l’équation homogène.
– résoudre une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants
et avec un second membre sous forme exponentielle-polynôme : on résout l’équation homogène en s’aidant de l’équation caractéristique et on cherche une solution
particulière sous une certaine forme (voir le cours).
3.2
Exercices de révision
Résoudre :
√
√
3
1) Pour x > 0, 2xy 0 − 3y = x. solutions : y(x) = kx 2 − 12 x
2) Pour m ∈ IR, résoudre : my 00 − (1 + m2 )y 0 + my = xex .
x
it solution : si m = 0, y(x) = (−x+1)ex +cte, si m ∈
/ {−1, 1}, y(x) = cemx + de m +
si m = −1, y(x) = (c + dx)e−x +
1−x x
e ,
4
si m = 1, y(x) = (c + dx)ex +
4
x3 x
e
6
1−x x
e ,
(m − 1)2
4
Suites
4.1
Cours
se référer au polycopié de rappels
4.2
Exercices de révision
Exercice 1 :
On considère une suite réelle (un )n∈IN vérifiant :
∀n ∈ IN, un ≤ un+3
1) On suppose que (un )n∈IN converge.
a) Justifier que (un )n∈IN est majorée.
b) Montrer que la suite (un+2 − 2un+1 + un )n∈IN converge vers 0.
2) On ne suppose plus que (un )n∈IN converge, mais on suppose que (un )n∈IN est majorée
et que la suite (un+2 − 2un+1 + un )n∈IN converge vers 0.
On considère les suites (an )n∈IN , (bn )n∈IN , (cn )n∈IN définies par :
∀n ∈ IN, an = u3n , bn = u3n+1 , cn = u3n+2
a) Montrer que ces trois suites sont majorées et croissantes. Qu’en déduit-on ?
b) En considérant les suites (cn − 2bn + an )n∈IN et (an+1 − 2cn + bn )n∈IN , montrer que
les suites (an )n∈IN , (bn )n∈IN , (cn )n∈IN convergent vers une même limite notée l.
c) Montrer que (un )n∈IN converge vers l.
Exercice 2 :
1. Montrer que, si une suite (xn )n∈IN est convergente, la suite (x2n − xn )n∈IN converge
vers 0.
n
X
1
2. On définit la suite (Sn )n∈IN par : Sn =
k
k=1
1
a) Montrer que ∀n ∈ IN, S2n − Sn ≥ .
2
b) En déduire que (Sn )n∈IN diverge vers +∞.
Z k+1
Z k
1
1
1
3. Montrer que : ∀k ≥ 2,
dt ≤ ≤
dt
t
k
k−1 t
k
4. En déduire un encadrement de Sn pour tout n ≥ 1.
5. En déduire un équivalent de Sn .
6. On considère les suites (an )n∈IN et (bn )n∈IN définies par :

n 1
P


− ln(n)
 an =
k=1 k
n 1
P


− ln(n + 1)
 bn =
k=1 k
a) Montrer qu’elles sont adjacentes. utiliser que ∀x > −1, ln(1 + x) ≤ x
b) En déduire qu’il existe γ ∈ IR tel que :
Sn = ln(n) + γ + o(1)
5
Exercice 3 :
Trouver une suite simple équivalente à la suite donnée et en déduire la nature de la
suite donnée :
√
√
1
1
a) xn = n + 1 − n − 1, b) xn =
−
n−1 n+1
1
1
c) xn = n sin 2 , d) xn = x n − 1
n
e) xn = ln (n + 1) − ln (n)
a n
∗
où a ∈ IR+
f) xn = 1 +
n n
n−1
g) lim
n→+∞
n+1
5
Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles
5.1
Cours
Dans ce chapitre, revoyez en priorité :
– Limite en un point, continuité en un point.
– Caractérisation séquentielle d’une limite, de la continuité en un point.
– Limite d’une fonction monotone.
– Fonctions continues sur un intervalle : image d’un intervalle par une fonction continue, théorème des valeurs intermédiaires, image d’un segment par une fonction continue.
– Continuité de la fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone
5.2
Exercices de révision
Exercice 1 : Montrer que sin n’a pas de limite en ±∞.
Exercice 2 :
b x
x b
Soient a > 0 et b > 0. Déterminer les limites en 0 de x 7−→ E( ), x 7−→ E( ).
a x
x a
Exercice 3 : f étant une fonction de ]0, +∞[ dans IR, on définit sur ]0, +∞[, la fonction
f (x)
g, en posant g(x) =
.
x
On suppose f croissante, et g décroissante.
Montrer que ∀x0 ∈]0, +∞[, lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0
Exercice 4 : Soient (a, b) ∈ IR2 , tel que a ≤ b et f : [a, b] → [a, b] continue.
Montrer qu’il existe x0 ∈ [a, b] tel que f (x0 ) = x0 .
6
6
Dérivation des fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles
6.1
Cours
Dans ce chapitre, revoyez en priorité :
– définition de la dérivabilité en un point, fonction dérivable, dérivée d’une fonction,
opérations classiques.
– Dérivées des fonctions usuelles (cf Annexe 3).
– Ensemble C k (I) des fonctions de classe C k sur I ; formule de Leibniz.
– Théorème de Rolle, des accroissements finis.
– Application de l’inégalité des accroissements finis à l’étude des suites définies par
une relation de récurrence un+1 = f (un ). Revoir un exemple ou exercice de votre
cours.
– Fonctions convexes
6.2
Exercices de révision
Exercice 1 : Soit a ∈ IR.
On considère les fonctions numériques f et g définies par
f (x) = arctan (x) + arctan (a)
x+a
g(x) = arctan
1 − xa
1) Domaines de définition de f et g.
2) Montrer que f et g sont continues et dérivables sur leurs domaines de définition.
3) Calculer f 0 et g 0 . Conclusion ?
4) Soient (a, b) ∈ IR2 , ab 6= 1
Montrer qu’il existe k ∈ {−1, 0, 1} tel que
b+a
arctan (b) + arctan (a) = arctan
+kπ
1 − ba
Exercice 2 : Soit f ∈ C 2 ([a, b], IR) telle que f (a) = f (b) = 0 et c ∈]a, b[. Montrer qu’il
existe γ ∈]a, b[ tel que
(c − a)(c − b) 00
f (γ)
f (c) =
2
Poser ϕ : x 7−→ f (x) − A (x−a)(x−b)
où A est telle que ϕ(c) = 0, et appliquer Rolle à ϕ sur
2
0
[a, c], [c, b] puis à ϕ .
Exercice 3 : Etablir les relations suivantes :
1) ∀x ∈ IR, | sin x| ≤ |x|.
2) ∀nIN ∗ , ∃cn ∈]n, n + 1[ tel que
ln ( ln (n + 1)) − ln ( ln n) =
1
cn ln cn
π
Exercice 4 : Soit la suite (un )n∈IN définie par u0 ∈ IR et ∀nIN, un+1 = √
.
3 3 cos(un )
1. Justifier que, pour tout u0 , un ∈ [0, π2 ], pour tout n ≥ 2.
2. On choisit un ∈ [0, π2 ].
π π
a)En utilisant la concavité de sin sur [0, π2 ], montrer que, pour tout x ∈ [0, ], x ≤ sin x ≤ x.
2 2
π
b) Justifier que f : x 7−→ 3√3 cos(x)
a un unique point fixe à déterminer.
c) En déduire la convergence de (un )n .
7
7
Intégration et dérivation
7.1
Cours
Dans ce chapitre, revoyez en priorité :
– Primitive et intégrale d’une fonction
continue, théorème fondamental (Pour f contiRx
nue sur I et a ∈ I, x 7−→ a f (t)dt est l’unique primitive de f qui s’annule en
a.
Rx
– Pour toute primitive h de f , a f (t)dt = h(x) − h(a).
– Calcul des primitives : connaître les primitives usuelles , intégration par partie,
changement de variable. (cf annexe 4 et poly de rappel)
– Formules de Taylor
7.2
Exercices de révisions
Exercice 1 : Pour x > 0, on pose
x
Z
f (x) =
1
x
Arctan u
du
u
1. Justifier que f est définie, continue, dérivable sur IR∗+ .
1
π
2. Montrer que : ∀u > 0, arctan u + arctan =
u
2
π
3. En déduire ∀x > 0, f (x) = ln x.
2
4. Proposer une autre méthode pour retrouver ce résultat
Exercice 2 : Soit
2
Z
I=
1
2
1
cos
x
√
x
1+x
ln(x) dx
1. Justifier l’existence de I.
2. En utilisant le changement
de variable
x = 1t , montrer que I = 0.
√
1
x
ln(x) a-t-elle un signe constant sur [ 12 , 2]
3. La fonction x 7−→ cos
x
1+x
Exercice 3 : Soit f une fonction dérivable sur [a, b] et telle que :
∀x ∈ [a, b], f (a + b − x) = f (x)
Z
Z b
a+b b
f (x) dx.
x f (x) dx =
Montrer que
2
a
Z πa
x sin(x)
En déduire
dx
2
0 1 + cos (x)
Z sin2 x
Z cos2 x
√
√
Exercice 4 : Soit la fonction f : x 7−→
arcsin( t) dt +
arccos( t) dt.
0
0
1. Donner son domaine de définition.
2. Montrer qu’elle est paire et périodique. Que suffit-il de prendre comme intervalle
d’étude.
3. Montrer que f est dérivable et donner sa dérivée. Que vaut cette dérivée sur l’intervalle d’étude.
4. Finir l’étude et le tracé de f .
8
8
Développements limités
8.1
Cours
Dans ce chapitre, revoyez en priorité :
– définition d’un développement limité
– opérations algébriques : somme, produit, composé (cf annexe 5)
– développement limité d’une primitive
– développements limités des fonctions usuelles (cf annexe 5)
– application à l’étude des branches infinies d’une fonction, des points singuliers des
courbes paramétrées planes.
8.2
Exercices de révision
Exercice 1 :
p
1) Donner le développement limité de x 7−→ x(sin x + shx − 2x) au voisinage de 0,
à l’ordre 4.
√
√
2) Donner le développement limité de x 7−→ ln(x+ 1 + x2 )−ln( 1 + x2 ) au voisinage
de +∞, à l’ordre 4.
Exercice 2 : Etude de f : x 7−→ x2 arctan
infinies.
9
1
1+x
et on précisera en particulier les branches
Principe du raisonnement par récurrence
9.1
Exercice de révision
On considère la famille de polynômes (Tn )n∈IN définis par :
T0 (X) = 1
T1 (X) = X
∀n ≥ 1, Tn+1 (X) = 2XTn (X) − Tn−1
1. Calculer T2 , T3 , T4 .
2. Montrer que : ∀n ∈ IN, ∀θ ∈ IR, Tn (cos(θ)) = cos(nθ).
3. Montrer que, pour tout n ∈ IN , Tn est un polynôme dont on donnera le degré et
coefficient dominant
10
10.1
Polynômes
Cours
Dans ce chapitre, revoyez en priorité :
– Notation d’un polynôme : a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · ap X p et notation de l’ensemble des
polynômes :IK[X]
– degré d’un polynôme, coefficient dominant, division euclidienne dans IK[X]
– fonction polynômaiale associée, racine d’un polynôme, ordre de multiplicité, caractérisation par les dérivées successives
– définition d’un polynôme scindé sur IK, relation entre coeffs et racines d’un polynôme scindé, théorème de d’Alembert Gauss
– Description des polynômes irréductibles de C
I [X] et IR[X]
– Décomposition en produit de facteurs irréductibles sur C
I et IR
9
10.2
Exercices de révision
Exercice 1 : Soit P un polynôme à coefficients réels, scindé sur IR à racines distinctes. En
utilisant le théorème de Rolle, montrer que P 0 est également un polynôme à coefficients
réels, scindé sur IR à racines distinctes.
Exercice 2 : On pose pour n ∈ IN ∗ : Pn = (x2 − 1)n .
En remarquant que Pn est un polynôme de degré 2n qui admet 1 et -1 pour racines
(n)
d’ordre n, montrer que Pn admet n racines distinctes comprises strictement entre -1 et 1.
Exercice 3 :
1. Donner la décomposition en facteurs irréductibles sur C
I de X n − 1 pour n ∈ IN ∗ .
2. Donner la décomposition en facteurs irréductibles sur IR de X 4 + 1 (penser à écrire
4
X + 1 = (X 2 + 1)2 − 2X 2 ).
11
Algèbre linéaire
se référer au polycopié de rappel d’algèbre linéaire de P.C.S.I
10
12
Documents annexes
12.1
Annexe 1 : Formulaire Trigonométrique
Formule de Moivre : ∀n ∈ IN, ∀θ ∈ IR,
cos(nθ) + i sin(nθ) = (cos(θ) + i sin(θ))n
Formules d’Euler : ∀θ ∈ IR,
cos(θ) =
eiθ + e−iθ
2
sin(θ) =
eiθ − e−iθ
2i
Relations trigonométriques diverses
∀x ∈ IR, cos2 x + sin2 x = 1
π
sin x
∀x 6= ( + πZ
Z), tan x =
2
cos x
2
Formules d’addition : ∀(a, b) ∈ IR ,
cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b).
cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b).
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b).
sin(a − b) = sin(a)cos(b) − cos(a)sin(b).
tan(a + b) =
tan(a) + tan(b)
.
1 − tan(a)tan(b)
De ces formules, on en déduit des formules de linéarisation, de transformation
de sommes en produits :
p+q
p−q
)cos(
)
2
2
p−q
p+q
)sin(
)
cos(p) − cos(q) = −2sin(
2
2
p+q
p−q
sin(p) + sin(q) = 2sin(
)cos(
)
2
2
p+q
p−q
sin(p) − sin(q) = 2cos(
)sin(
)
2
2
cos(p) + cos(q) =
2cos(
qu’il n’est pas utile de connaitre par coeur mais plutôt savoir les retrouver à partir des
formules d’addition.
On a aussi ;
sin(2a) = 2sin(a)cos(a).
cos(2a) = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a − 1 = 1 − 2sin2 a.
A partir desquelles on obtient, en particulier (utile pour intégrer) :
11
1 + cos(2a)
.
2
1 − cos(2a)
sin2 (a) =
.
2
cos2 (a) =
D’autre part :
– sin est 2π-périodique, impaire et, pour tout x de IR :
sin (π + x) = −sin x
π
+ x) = cos x
2
et d’autres relations analogue qu’il faut savoir retrouver en s’aidant du cercle trigonométrique.
sin (
– cos est 2π-périodique, paire et, pour tout x de IR :
cos (π + x) = − cos x
π
+ x) = − sin x
2
et d’autres relations analogue qu’il faut savoir retrouver en s’aidant du cercle trigonométrique.
cos (
– tan est π-périodique, impaire et, pour tout x de IR − πZ
Z:
tan (
π
1
+ x) = −
2
tan x
tan (
1
π
− x) =
2
tan x
– Pour tout (a, b) ∈ IR2 :
cos a = cos b ⇐⇒ (b = a + 2kπ ou b = −a + 2kπ, k ∈ Z).
Z
sin a = sin b ⇐⇒ (b = a + 2kπ ou b = π − a + 2kπ, k ∈ Z)
Z
propriété : Pour tout (x, y) de IR2 tel que x2 + y 2 = 1, il existe θ ∈ [−π, π[ unique tel
que x = cos θ et y = sin θ.
Démo : On pose z = x + iy. Ce complexe est donc de module 1. Son écriture exponentielle est alors de la forme z = eiθ = cos θ + isin θ, où θ ∈ [−π, π[. Par identification des
parties réelle et imaginaire, on obtient ce qui est demandé.
12
12.2
12.2.1
Annexe 2 : Fonctions hyperboliques et leurs réciproques
Fonctions hyperboliques
Définition : On appelle :
sinus hyperbolique l’application
→
sh : IR
IR
x 7−→ sh x =
ex − e−x
2
cosinus hyperbolique l’application
→
ch : IR
IR
x 7−→ ch x =
ex + e−x
2
tangente hyperbolique l’application
th : IR
→
IR
x 7−→ th x =
sh x
e2x − 1
= 2x
ch x
e +1
Les applications sh ,ch sont C ∞ sur IR
sh’=ch
ch’=sh
sh est impaire
ch est paire.
On a, de plus :
- ∀x ∈ IR, ch x > 0.
- sh 0=0, ch 0=1.
- sh’0=1, ch’0=0.
On en déduit les tableaux de variations :
x
sh’=ch
0
1
+∞
+
+∞
sh
0
x
ch’=sh
0
0
+∞
+
+∞
ch
1
13
L’application th est bien définie sur IR, de classe C ∞ sur IR et :
1
th’=1 − th2 = 2 .
ch
th est impaire.
lim th x = 1.
x→+∞
Tableau de variations :
x
th’
0
1
+∞
+
1
th
0
Formulaire de trigonométrie hyperbolique.
On obtient aisément les formules suivantes, pour tous x, a, b de IR :
- ch2 x − sh2 x = 1 A connaître absolument.
- ch(a + b) = ch a ch b + sh a sh b.
- ch(a − b) = ch a ch b − sh a sh b.
- sh(a + b) = sh a ch b + ch a sh b.
- sh(a − b) = sh a ch b − ch a sh b.
th a + th b
.
1 + th a th b
th a − th b
.
- th(a − b) =
1 − th a th b
- th(a + b) =
- ch(2a) = ch2 a + sh2 a = 2ch2 a − 1 = 1 + 2sh2 a.
- sh(2a) = 2 ch a sh a.
2 th a
.
1 + th2 a
ch (2a) + 1
- ch2 a =
.
2
ch (2a) − 1
- sh2 a =
.
2
- th(2a) =
14
12.2.2
Fonctions hyperboliques réciproques
Les applications ch, sh, th induisent des bijections continues et strictement croissantes
de IR+ sur [1, +∞[, de IR sur IR et de IR sur ] − 1, 1[ respectivement.
Leurs réciproques sont les fonctions hyperboliques réciproques.
Fonctions argument cosinus hyperbolique
La fonction argument cosinus hyperbolique, notée Argch
[1, +∞[ →
IR+
x
7−→ Argchx
est définie par
y = Argchx
⇐⇒
x≥1
x = chy
y≥0
Fonctions argument sinus hyperbolique
La fonction argument sinus hyperbolique, notée Argsh
IR →
IR
x 7−→ Argshx
est définie par
y = Argshx
⇐⇒
x ∈ IR
x = shy
y ∈ IR
Fonctions argument tangente hyperbolique
La fonction argument tangente hyperbolique, notée Argth
] − 1, 1[ →
IR
x
7−→ Argthx
est définie par
y = Argthx
⇐⇒
x ∈] − 1, 1[
x = thy
y ∈ IR
Dérivation :
La fonction Argch est dérivable sur ]1, +∞[ et
∀x ∈]1, +∞[, Argch0 x = √
1
x2
−1
La fonction Argsh est dérivable sur IR et
∀x ∈ IR, Argsh0 x = √
1
x2
+1
La fonction Argth est dérivable sur ] − 1, 1[ et
∀x ∈] − 1, 1[, Argth0 x =
15
1
1 − x2
12.3
Annexe 3 : Dérivées des fonctions usuelles
f
f0
Domaine de Définition
Domaine de Dérivabilité
x 7−→ k ∈ IR
IR
0
IR
xn , n ∈ ZZ∗
IR si n ∈ IN ∗ , IR∗ sinon
nxn−1
IR si n ∈ IN ∗ , IR∗ sinon
x
IR+
1
√
2 x
∗
IR+
ln(x)
∗
IR+
1
x
∗
IR+
ex
IR
ex
IR
cos(x)
IR
− sin(x)
IR
sin(x)
IR
cos(x)
IR
tan(x)
] − π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ ZZ 1 + tan2 (x) =
Arccos(x)
[−1, 1]
−√
Arcsin(x)
[−1, 1]
√
Arctan(x)
IR
1
1 + x2
√
16
1
1 − x2
1
1 − x2
1
cos2 (x)
] − π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ ZZ
] − 1, 1[
] − 1, 1[
IR
f0
Domaine de Définition
f
Domaine de
Dérivabilité
ch(x)
IR
sh(x)
IR
sh(x)
IR
ch(x)
IR
th(x)
IR
1 − th2 (x) =
argch(x)
[1, +∞[
√
argsh(x)
IR
√
argth(x)
] − 1, 1[
1
1 − x2
] − 1, 1[
xα , α ∈ IR
IR∗+
α xα−1
IR∗+
17
1
x2 − 1
1
1 + x2
1
ch2 (x)
IR
]1, +∞[
IR
12.4
Annexe 4 : Tableau des primitives usuelles
Dans la première colonne figure la fonction f dont on veut donner les primitives.
Dans la deuxième colonne, se trouve une primitive de f .
Dans la troisième colonne, se trouve le domaine de définition des primitives. En particulier, on ne peut intégrer f que sur un intervalle inclus dans ce domaine.
18
Fonction f , f (x)
Primitive F , F (x)
Domaine de définition de F
eαx , α ∈ IR∗ fixé
1 αx
e
α
IR
ch ω x (ω ∈ IR∗ )
1
sh ω x
ω
IR
sh ω x (ω ∈ IR∗ )
1
ch ω x
ω
IR
cos ω x (ω ∈ IR∗ )
1
sin ω x
ω
IR
sin ω x (ω ∈ IR∗ )
1
− cos ω x
ω
IR
tan x
−ln | cos x |
th x
ln ch x
i π πh
− ,
(π)
2 2
IR
1
= 1 − th2 x
2
ch x
th x
IR
1
= 1 + tan2 x
2
cos x
tan x
i π πh
(π)
− ,
2 2
xα , α ∈ IR −ZZ
xα+1
α+1
∗
IR+
x , n ∈ ZZ− − {0, −1}
xn+1
n+1
] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[
xn , n ∈ IN
xn+1
n+1
IR
1
x
ln | x |
] − ∞, 0[ ou ]0, +∞[
1
, (a, b) ∈ IR∗ × IR
ax + b
1
ln | a x + b |
a
b
b
] − ∞, − [ ou ] , +∞[
a
a
1
x
Arctan
a
a
IR
n
a2
√
1
(a 6= 0)
+ x2
a2
1
(a > 0)
− x2
Arcsin
x
x
ou −Arccos
a
a
19
] − a, a[
Opérations usuelles
Fonction f , f (x)
Primitive F , F (x)
a f 0 , a réel
af
f 0 + g0
f +g
f 0 f n , n ∈ Z,
Z n 6= −1
1
f n+1
n+1
f0
f
ln | f |
f 0 × (g ◦ f )
g◦f
20
Commentaires
sur tout intervalle
f (x) 6= 0 si n < 0
où
sur tout
f (x) 6= 0
où
intervalle
12.5
12.5.1
Annexe 5 : Règles de calculs sur les développements limités
et tableau des développements limités usuels
Règles de calculs sur les développements limités
Les propriétés sont énoncées pour des développements limités au voisinage de zéro.
On considère deux fonctions f et g définies au voisinage de zéro admettant chacune
un développement limité d’ordre n
f (x) = P (x) + o(xn )
g(x) = Q(x) + o(xn )
où P et Q sont des polynômes de degré inférieur à n, qu’on appelle parties régulières
respectivement de f et g.
Rappelons les méthodes pour obtenir les développements limités d’une somme, produit,
composée et quotient :
Linéarité :
Pour tout λ ∈ IR, λf + g admet un développement limité en 0 à l’ordre n et
λf (x) + g(x) = λ P (x) + Q(x) + o(xn )
Produit :
f g admet un développement limité d’ordre n et sa partie régulière s’obtient en formant
le produit P Q et en ne retenant que les termes de degré inférieur ou égal à n.
Composée :
On suppose que f (0) = 0.
g ◦ f admet un développement limité d’ordre n et sa partie régulière s’obtient en ne
retenant du polunôme Q ◦ P que les termes de degré inférieur ou égal à n.
Quotient :
On suppose que f (0) 6= 0.
1
Alors admet un développement limité d’ordre n et pour l’obtenir, on écrit :
f
1
1
=
f
a(1 − u(x))
et on effectue le DLn (0) de la composée des fonctions u(x) et
1 1
.
a1−x
Des exemples :
1) DL7 (0) de ln(cos(x)) :
On écrit le DL de cos :
ln(cos(x)) = ln(1 −
x2 x4 x6
+
−
+ o(x7 ))
2
4!
6!
2
3
On utilise le développement limité de ln(1 − z) = −z − z2 − z3 + o(z 3 ) : L’ordre 3 suffit
2
4
6
car on l’utilise pour z = x2 − x4! + x6! + o(x7 ) et on cherche un DL7 (0) par rapport à x.
Alors, finalement
2
x
x4
x6
ln(cos(x)) = − 2 − 4! + 6!
2
2
4
6
− 21 x2 − x4! + x6!
2
3
4
6
− 31 x2 − x4! + x6!
+o(x7 )
21
On ne retient que les monômes de degrés inférieurs ou égaux à 7. Il s’ensuit que :
ln(cos(x)) = −
x2 x4 x6
−
−
+ o(x7 )
2
12 45
2) DL5 (0) de tan(x) :
sin(x)
cos(x)
tan(x) =
=
x−
1−
x3
3!
x2
2
+
+
x5
5!
x4
4!
+ o(x5 )
+ o(x5 )
1
= 1 + z + z 2 + o(z 2 ) : L’ordre
1−z
+ o(x5 ) et on cherche un DL5 (0) par rapport à x.
On utilise maintenant le développement limité de
2 suffit car on l’utilise pour z =
Alors, finalement
4
− x4!
x−
tan(x) =
=
x2
2
x3
3!
x2
2
+
x5
5!
x4
4!
2
+ o(x5 )
1 − + + o(x5 )
!
2
4
4 2
x3 x5
x
x
x
x
x−
+
+ o(x5 )
1+
−
+
−
+ o(x5 )
3!
5!
2
4!
2
4!
On ne retient que les monômes de degrés inférieurs ou égaux à 5. Il s’ensuit que :
tan(x) = x +
x3 2x5
+
+ o(x5 )
3
15
22
12.5.2
Tableau des développements limités usuels
Tous les développements limités cités ci-dessous sont au voisinage de 0.
I. Développements limités obtenus par le théorème de Taylor-Young
Ordre
n
DL(0)
x
e =
n
X
xk
k!
k=0
2n+1
2n+2
sh(x) =
n
X
cos(x) =
x2k+1
x3 x5
x2n+1
+ o(x2n+2 ) = x +
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 )
(2k + 1)!
3!
5!
(2n + 1)!
n
X
(−1)k
x2 x4
x2k
x2n
+ o(x2n+1 ) = 1 −
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+1 )
(2k)!
2!
4!
(2n)!
(−1)k
x2k+1
x3 x5
x2n+1
+ o(x2n+2 ) = x −
+
+ · · · + (−1)n
+ o(x2n+2 )
(2k + 1)!
3!
5!
(2n + 1)!
k=0
2n+2
x
x2
xn
+
+ ··· +
+ o(xn )
1!
2!
n!
n
X
x2 x4
x2n
x2k
+ o(x2n+1 ) = 1 +
+
+ ··· +
+ o(x2n+1 )
ch(x) =
(2k)!
2!
4!
(2n)!
k=0
k=0
2n+1
+ o(xn ) = 1 +
sin(x) =
n
X
k=0
α(α − 1) · · · (α − n + 1) n
x + o(xn )
n!
n
∀α ∈ IR, (1 + x)α = 1 + αx + · · · +
n
X
1
=
xk = 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn )
1 − x k=0
n
X
1
=
(−1)k xk = 1 − x + x2 + · · · + (−1)n xn + o(xn )
1 + x k=0
n
n
23
II. Développements limités obtenus par intégration
Ordre
n
DL(0)
ln(1 + x) =
n
X
(−1)k−1
k=1
n
ln(1 − x) = −
n
X
xk
k=1
n
X
xk
xn
x2
+ o(xn ) = x −
+ · · · + (−1)n−1 + o(xn )
k
2
n
x2
xn
+ o(x ) = −x −
− ··· −
+ o(xn )
k
2
n
n
2n+2
2n+1
x2k+1
x3 x5
2n+2
n x
Arctan x =
+ o(x
)=x−
+
+ · · · + (−1)
+ o(x2n+2 )
(−1)
2k + 1
3
5
2n + 1
k=1
2n+2
Arcsin x = x +
2n+2
π
1 x3 1.3 x5
1.3...(2n − 1) x2n+1
Arccos x = − x −
−
− ··· −
+ o(x2n+2 )
2
2 3
2.4 5
2.4...(2n) 2n + 1
k
1 x3 1.3 x5
1.3...(2n − 1) x2n+1
+
+ ··· +
+ o(x2n+2 )
2 3
2.4 5
2.4...(2n) 2n + 1
Remarque : on retrouve le développement limité de argsh et argth en 0 par cette méthode
1
1
en se rappelant que : argsh0 (x) = √
.
et argth0 (x) = √
2
1 − x2
1+x
On ne parle pas du DL(0) de argch car argch est définie sur [1, +∞[
24