1 chapitre xiv l`oscillateur harmonique en mecanique quantique

J.P. Rozet LP317 2006
1
CHAPITRE XIV
L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
EN MECANIQUE QUANTIQUE
Nous avons déjà vu plusieurs méthodes de résolution de l'équation de Schrödinger
correspondant au potentiel harmonique. Cette étude exhaustive de l'oscillateur harmonique se
justifie par son importance dans de nombreux problèmes de physique : les systèmes se présentant
sous la forme mathématique d'oscillateurs harmoniques sont très nombreux, compte tenu du fait
que toute oscillation de faible amplitude autour d'une position d'équilibre est, en première
approximation, une oscillation harmonique. Par ailleurs, l'étude des modes propres du champ
électromagnétique à l'intérieur d'une enceinte conductrice peut se faire en considérant le champ
comme une assemblée d'oscillateurs harmoniques.
Nous allons utiliser ici une méthode différente de celles déjà vues, basée sur la notion
d'opérateur. Pour faciliter les notations, les opérateurs ne seront pas, de façon exceptionnelle,
surmontés par un chapeau, sauf lorsqu'il s'agira des variables réduites que nous introduisons tout
d'abord.

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2
1) Recherche des valeurs propres
a) Opérateurs X
ˆ, P ˆ et H ˆ
On peut simplifier l'écriture du hamiltonien
22
2Xm
2
1
m
2
P
Hω+=
en introduisant les notations suivantes :
H
ˆ
Hω= h
(on remarque qu'alors H
ˆ est "sans dimension")
⇒ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ω
+
ω
=2
2X
m
m
P
2
1
H
ˆ
hh
ce qui suggère de poser
X
m
X
ˆ
et
m
P
P
ˆ
h
h
ω
=
ω
=
qui permet d'écrire
)P
ˆ
X
ˆ
(
2
1
H
ˆ22 +=
Calculons alors le commutateur de X
ˆ et de P ˆ :
[] []
i
i
P,X
m
m
1
P
ˆ
,X
ˆ==
ω
ω
=h
h
h
h
[
]
iP
ˆ
,X
ˆ=
L'équation aux valeurs propres de H
ˆ s'écrira :
ii
H
ˆννν ϕε=ϕ
Les valeurs propres de H seront données par
Eν = hω εν
et les εν sont donc des nombres sans dimension.

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b) Opérateurs â, â+ et N
ˆ
Nous poserons :
)P
ˆ
iX
ˆ
(
2
1
a
ˆ
)P
ˆ
iX
ˆ
(
2
1
a
ˆ
−=
+=
+
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
+=
+
+
)a
ˆ
a
ˆ
(
2
i
P
ˆ
)a
ˆ
a
ˆ
(
2
1
X
ˆ
X
ˆ et P ˆ étant hermitiques, â+ est l'adjoint de â. Cependant â et â+ ne sont pas des opérateurs
hermitiques.
Remarque : l'intérêt de l'introduction des opérateurs â et â+ apparaîtra plus loin. On peut retenir
comme moyen mnémotechnique que si x et p étaient des nombres, on aurait :
()
)H
ˆ
(px
2
1
)ipx(
2
1
)ipx(
2
122 =+=−×+
Cette relation n'est cependant pas vérifiée en ce qui concerne les opérateurs X
ˆ et P ˆ, car leur
commutateur est non nul. En fait, on a :
[]
2
1
H
ˆ
)1P
ˆ
X
ˆ
(
2
1
)P
ˆ
,X
ˆ
iP
ˆ
X
ˆ
(
2
1
)P
ˆ
X
ˆ
iX
ˆ
P
ˆ
iP
ˆ
X
ˆ
(
2
1
)P
ˆ
iX
ˆ
)(P
ˆ
iX
ˆ
(
2
1
a
ˆ
a
ˆ
22
22
22
+=
++=
−+=
−++=
−+=
+
soit 2
1
a
ˆ
a
ˆ
H
ˆ−= +
de même, on montre facilement que
2
1
a
ˆ
a
ˆ
H
ˆ+= +
et que, d'ailleurs :
[]
1a
ˆ
,a
ˆ=
+ (= ââ+ - â+â)

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Nous poserons :
a
ˆ
a
ˆ
N
ˆ+
=
⇒ 2
1
N
ˆ
H
ˆ+=
H
ˆ étant hermitique, N
ˆ l'est aussi. De plus, les vecteurs propres de H
ˆ sont aussi vecteurs propres
de N
ˆ et inversement. En fait, nous chercherons par la suite non pas les vecteurs propres et valeurs
propres de H
ˆ, mais ceux de N
ˆ, que nous écrirons :
ii
N
ˆνν ϕν=ϕ
dont on déduit (avec H = hωH
ˆ) :
ii 2
1
Hνν ϕω
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+ν=ϕ h
Relations utiles :
[
]
[]
[]
[]
[]
[
]
[
]
[
]
[
]
++++++++
+++
+
++++
=+==
−=+==
+=+=⇒=−⇒=
a
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
,a
ˆ
a
ˆ
,a
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
,a
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
,N
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
,a
ˆ
a
ˆ
,a
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
,a
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
,N
ˆ
1N
ˆ
1a
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
1a
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
1a
ˆ
,a
ˆ
1N
ˆ
a
ˆ
a
ˆN
ˆ
a
ˆ
a
ˆ+=
=
+
+
[
]
[
]
++ =
−=
a
ˆ
a
ˆ
,N
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
,N
ˆ
c) Valeurs propres
i)
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
≥ϕϕ=ϕ
≥ϕϕν=ϕϕ=ϕϕ⇒≥ϕ
ννν
ννννν
+
νν
0
0N
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
0a
ˆ
ii
2
i
iiiiii
2
i
0≥
ν
Les valeurs propres de N
ˆ sont nécessairement positives ou nulles.

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ii)
si ν = 0 ⇒ 0a
ˆ2
i=ϕν ⇒ 0a
ˆi=ϕν
inversement : 0N
ˆ
0a
ˆ
a
ˆ
0a
ˆiii =ϕ⇒=ϕ⇒=ϕ νν
+
ν
→ si ν=0, le ket â i
ν
ϕ est nul
→ tout ket satisfaisant â i
ν
ϕ = 0 est vecteur propre de N
ˆ avec la valeur propre 0.
iii)
si ν > 0 ⇒ â i
ν
ϕ non nul
[] []
iiii
ii
a
ˆ
)1(a
ˆ
N
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
N
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
,N
ˆ
a
ˆ
a
ˆ
,N
ˆ
νννν
νν
ϕ−ν=ϕ−ϕ=ϕ
ϕ−=ϕ⇒−=
soit :
)a
ˆ
)(1()a
ˆ
(N
ˆ
0
N
ˆii
ii
νν
νν ϕ−ν=ϕ⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
>ν
ϕν=ϕ
Si i
ν
ϕ est vecteur propre non nul de N avec la valeur propre ν > 0, â i
ν
ϕ est vecteur propre non
nul de N
ˆ avec la valeur propre (ν - 1).
iv)
On démontre de même que :
si i
ν
ϕ est vecteur propre de N
ˆ avec la valeur propre ν, â+i
ν
ϕ est toujours non nul et est vecteur
propre de N
ˆ avec la valeur propre (ν + 1) (on calcule [N ˆ,â+]i
ν
ϕ)
Considérons alors une valeur propre ν quelconque de N
ˆ, et supposons ν non entier tel que :
n < ν < n + 1 (n entier)
Considérons la suite de vecteurs:
i
ν
ϕ, â i
ν
ϕ, …âni
ν
ϕ
alors : N
ˆâni
ν
ϕ = (ν-n)(âni
ν
ϕ)