1 chapitre xiv l`oscillateur harmonique en mecanique quantique

CHAPITRE XIV
L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
EN MECANIQUE QUANTIQUE
Nous avons déjà vu plusieurs méthodes de résolution de l'équation de Schrödinger
correspondant au potentiel harmonique. Cette étude exhaustive de l'oscillateur harmonique se
justifie par son importance dans de nombreux problèmes de physique : les systèmes se présentant
sous la forme mathématique d'oscillateurs harmoniques sont très nombreux, compte tenu du fait
que toute oscillation de faible amplitude autour d'une position d'équilibre est, en première
approximation, une oscillation harmonique. Par ailleurs, l'étude des modes propres du champ
électromagnétique à l'intérieur d'une enceinte conductrice peut se faire en considérant le champ
comme une assemblée d'oscillateurs harmoniques.
Nous allons utiliser ici une méthode différente de celles déjà vues, basée sur la notion
d'opérateur. Pour faciliter les notations, les opérateurs ne seront pas, de façon exceptionnelle,
surmontés par un chapeau, sauf lorsqu'il s'agira des variables réduites que nous introduisons tout
d'abord.
1
J.P. Rozet LP317 2006
1) Recherche des valeurs propres
a) Opérateurs X̂ , P̂ et Ĥ
On peut simplifier l'écriture du hamiltonien
H=
P2 1
+ mω 2 X 2
2m 2
en introduisant les notations suivantes :
H = hω Ĥ
(on remarque qu'alors Ĥ est "sans dimension")
Ĥ =
⇒
1 ⎛ P2
mω 2 ⎞
+
X ⎟
⎜
2 ⎝ mhω
h
⎠
ce qui suggère de poser
P̂ =
P
et
mhω
X̂ =
mω
X
h
qui permet d'écrire
1 2
(X̂ + P̂ 2 )
2
Ĥ =
Calculons alors le commutateur de X̂ et de P̂ :
[X̂, P̂] =
1
mhω
mω
[X, P] = ih = i
h
h
[X̂, P̂] = i
L'équation aux valeurs propres de Ĥ s'écrira :
Ĥ ϕ iν = ε ν ϕ iν
Les valeurs propres de H seront données par
Eν = hω εν
et les εν sont donc des nombres sans dimension.
2
J.P. Rozet LP317 2006
b) Opérateurs â, â+ et N̂
Nous poserons :
â =
1
(X̂ + iP̂)
2
1
â + =
(X̂ − iP̂)
2
1 +
⎧
⎪⎪X̂ = 2 (â + â )
⇒⎨
i
⎪P̂ =
(â + − â )
⎪⎩
2
X̂ et P̂ étant hermitiques, â+ est l'adjoint de â. Cependant â et â+ ne sont pas des opérateurs
hermitiques.
Remarque : l'intérêt de l'introduction des opérateurs â et â+ apparaîtra plus loin. On peut retenir
comme moyen mnémotechnique que si x et p étaient des nombres, on aurait :
1
2
( x + ip) ×
1
2
( x − ip) =
1 2
(x + p 2 ) (= Ĥ)
2
Cette relation n'est cependant pas vérifiée en ce qui concerne les opérateurs X̂ et P̂ , car leur
commutateur est non nul. En fait, on a :
1
(X̂ + iP̂)(X̂ − iP̂)
2
1
= (X̂ 2 + P̂ 2 + iP̂X̂ − iX̂P̂)
2
1 2
= (X̂ + P̂ 2 − i X̂, P̂ )
2
1 2
= (X̂ + P̂ 2 + 1)
2
1
= Ĥ +
2
ââ + =
[ ]
soit
Ĥ = ââ + −
1
2
de même, on montre facilement que
Ĥ = â + â +
1
2
et que, d'ailleurs :
[â , â + ] = 1
(= ââ+ - â+â)
3
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Nous poserons :
N̂ = â + â
Ĥ = N̂ +
⇒
1
2
Ĥ étant hermitique, N̂ l'est aussi. De plus, les vecteurs propres de Ĥ sont aussi vecteurs propres
de N̂ et inversement. En fait, nous chercherons par la suite non pas les vecteurs propres et valeurs
propres de Ĥ , mais ceux de N̂ , que nous écrirons :
N̂ ϕ iν = ν ϕ iν
dont on déduit (avec H = hω Ĥ ) :
1⎞
⎛
H ϕ iν = ⎜ ν + ⎟ hω ϕ iν
2⎠
⎝
Relations utiles :
[â, â ] = 1 ⇒ ââ − â â = 1 ⇒ ââ = â â + 1 = N̂ + 1
[N̂, â ] = [â â, â ] = â [â, â ] + [â , â ]â = −â
[N̂, â ] = [â â, â ] = â [â, â ]+ [â , â ]â = â
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
â + â = N̂
ââ + = N̂ + 1
[N̂, â ] = −â
[N̂, â ] = â
+
+
c) Valeurs propres
i)
â ϕ iν
ϕ iν
2
2
⎫
≥ 0 ⇒ ϕ iν â + â ϕ iν = ϕ iν N̂ ϕ iν = ν ϕ iν ϕ iν ≥ 0⎪
⎪
⎬⇒ ν≥0
i
i
⎪
= ϕν ϕν ≥ 0
⎪⎭
Les valeurs propres de N̂ sont nécessairement positives ou nulles.
4
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ii)
si ν = 0 ⇒ â ϕ iν
2
= 0 ⇒ â ϕ iν = 0
inversement : â ϕ iν = 0 ⇒ â + â ϕ iν = 0 ⇒ N̂ ϕ iν = 0
→ si ν=0, le ket â ϕ iν est nul
→ tout ket satisfaisant â ϕ iν = 0 est vecteur propre de N̂ avec la valeur propre 0.
iii)
si ν > 0 ⇒ â ϕ iν non nul
[N̂, â ] = −â ⇒ [N̂, â ] ϕiν
= −â ϕ iν
N̂â ϕ iν = âN̂ ϕ iν − â ϕ iν = (ν − 1)â ϕ iν
soit :
N̂ ϕ iν = ν ϕ iν ⎫⎪
i
i
⎬ ⇒ N̂(â ϕ ν ) = (ν − 1)(â ϕ ν )
ν > 0⎪⎭
Si ϕ iν est vecteur propre non nul de N avec la valeur propre ν > 0, â ϕ iν est vecteur propre non
nul de N̂ avec la valeur propre (ν - 1).
iv)
On démontre de même que :
si ϕ iν est vecteur propre de N̂ avec la valeur propre ν, â+ ϕ iν est toujours non nul et est vecteur
propre de N̂ avec la valeur propre (ν + 1) (on calcule [ N̂ ,â+] ϕ iν )
Considérons alors une valeur propre ν quelconque de N̂ , et supposons ν non entier tel que :
n<ν<n+1
(n entier)
Considérons la suite de vecteurs:
ϕ iν , â ϕ iν , …ân ϕ iν
alors : N̂ ân ϕ iν = (ν-n)(ân ϕ iν )
5
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⇒ ân ϕ iν non nul avec valeur propre (ν-n)> 0
alors, d'après iii) â(ân ϕ iν ) non nul
et vecteur propre de N̂ avec la valeur propre (ν - n - 1) < 0 ce qui est impossible d'après i.
Inversement, si ν est un entier n>0,
N̂ ân ϕ iν = (n-n)(ân ϕ iν )
→ ân ϕ iν vecteur propre non nul de N̂ avec la valeur propre 0
mais ân+1 ϕ iν =0, et on ne peut jamais obtenir (par action de â) de vecteur propre non nul de N̂
avec une valeur propre négative.
D'où le résultat
Le spectre de N̂ est constitué des entiers non négatifs
On en conclut que les valeurs propres de H sont données par :
1
E n = (n + )hω
2
Remarque :
1
H ϕ in = E n ϕ in = (n + )hω ϕ in
2
1
⎧
i
i
⎪H(â ϕ n ) = (n − 2 )hω(â ϕ n )
⎨
3
⎪H(â + ϕ in ) = (n + )hω(â + ϕ in )
2
⎩
⇒
Par action de â, on passe à un vecteur propre associé à la valeur propre immédiatement inférieure,
et inversement en ce qui concerne â+ : on dit que â est un opérateur d'annihilation et â+ un
opérateur de création.
d) Dégénérescence :
i) Niveau fondamental :
E0 =
1
hω
2
N̂ ϕ i0 = 0 ⇒ â ϕ i0 = 0
ce qui s'écrit :
6
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1 ⎡ mω
i
X+
⎢
2⎣ h
mωh
⎤
P ⎥ ϕ i0 = 0
⎦
i
d ⎞
⎛ mω
x + (−ih ) ⎟ϕ i0 ( x ) = 0
⇒⎜
h
dx ⎠
⎝ h
⇒ ϕ'i0 ( x ) = −
mω
x ϕ i0 ( x )
h
⎛ 1 mω 2 ⎞
x ⎟
ϕ i0 ( x ) = C exp⎜ −
⎝ 2 h
⎠
⇒
une seule fonction propre (à une constante multiplicative près)
⇒ le niveau fondamental est non dégénéré
ii) Autres niveaux
On démontre par récurrence que tous les autres niveaux sont également non dégénérés
Supposons la valeur propre n non dégénérée :
N̂ ϕ n = n ϕ n avec ϕ n unique
⇒ si N̂ ϕ in +1 = (n + 1) ϕ in +1
alors â ϕ in +1 est vecteur propre de N̂ avec la valeur propre n. Mais n non dégénérée
⇒ â ϕ in +1 = c i ϕ n
⇒ â + â ϕ in +1 = c i â + ϕ n
⇒ or â + â ϕ in +1 = N ϕ in +1
= (n + 1) ϕ in +1
⎫
ci +
⎪
â ϕ n
⎬ ⇒ ϕ in +1 =
n
1
+
⎪
⎭
⇒ tous les ϕ in +1 sont proportionnels à â + ϕ n (unique) ⇒ la valeur propre (n+1) est non
dégénérée.
⇒ tous les niveaux sont non dégénérés. On écrira simplement ϕ n .
2) Recherche des états propres
a) Vecteurs propres
Soit |ϕ0> le vecteur propre normé correspondant à n=0. Nous avons vu que :
7
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⎛ 1 mω 2 ⎞
x ⎟
ϕ 0 ( x ) = x ϕ 0 = C exp⎜ −
⎝ 2 h
⎠
La condition de normalisation s'écrit :
ϕ0 (x)
2
= C2
+∞
πh
⎛ mω 2 ⎞
x ⎟dx = C 2
=1
mω
h
⎠
∫ exp⎜⎝ −
−∞
⎛ mω ⎞
⇒ C2 = ⎜
⎟
⎝ πh ⎠
1/ 2
et on choisira (phase...)
⎛ mω ⎞
C=⎜
⎟
⎝ πh ⎠
⎛ mω ⎞
ϕ0 = ⎜
⎟
⎝ πh ⎠
⇒
1/ 4
1/ 4
⎛ 1 mω 2 ⎞
exp⎜ −
x ⎟
⎠
⎝ 2 h
Les |ϕn> s'obtiennent alors par action de â+ et en utilisant la condition de normalisation, complétée
de la convention supplémentaire qu'on choisira les coefficients de normalisation réels positifs
Exemple :
|ϕ1> = C1 â+ |ϕ0>
<ϕ1|ϕ1> = |C1|2 <ϕ0|(N+1)|ϕ0> = |C1|2 = 1
On choisit C1 = 1
⇒
|ϕ1>=â+|ϕ0>
ϕ 2 = C 2 â + ϕ1
ϕ2 ϕ2 = C2
2
On choisit C 2 =
ϕ1 ( N̂ + 1) ϕ1 = 2 C 2
2
=1
1
2
ϕ2 =
1
2
â + ϕ1 =
1
2
(â + ) 2 ϕ 0
On démontre alors par récurrence que
ϕn =
1
n
â + ϕ n −1
et
ϕn =
1
n!
(â + ) n ϕ 0
On en déduit l'action de â et â+ sur les vecteurs |ϕn>
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â + ϕ n = n + 1 ϕ n +1
â ϕ n = n ϕ n −1
Par ailleurs, on peut vérifier que les |ϕn>, vecteurs propres de l'observable H, forment une base
{|ϕn>} vérifiant :
ϕ n ' ϕ n = δ nn '
∑ ϕn
ϕn = I
n
Enfin, on peut aussi calculer les éléments de matrice de â, â+, X et P :
ϕ n ' â ϕ n = n ϕ n ' ϕ n −1 = n δ n ',n −1
ϕ n ' â + ϕ n = n + 1 δ n ',n +1
X̂ =
1
P̂ =
i
2
2
(â + + â ) ⇒ ϕ n ' X ϕ n =
h
2mω
[
n + 1 δ n ',n +1 + n δ n ',n −1
]
(â + − â ) ⇒ ϕ n ' P ϕ n = i
mωh
2
[
n + 1 δ n ',n +1 − n δ n ',n −1
]
b) Fonctions d'onde
⎛ mω ⎞
ϕ0 (x) = ⎜
⎟
⎝ πh ⎠
ϕn =
1
n!
1/ 4
⎛ 1 mω 2 ⎞
exp⎜ −
x ⎟
⎝ 2 h
⎠
(â + ) n ϕ 0
⇒
ϕ n (x) =
n
1 ⎡ mω
h d⎤
x−
⎢
⎥ ϕ0 (x)
mω dx ⎦
n! 2 n ⎣ h
1
Exemple :
⎡ 4 ⎛ mω ⎞ 3 ⎤
ϕ1 ( x ) = ⎢ ⎜
⎟ ⎥
⎢⎣ π ⎝ h ⎠ ⎥⎦
⎡ mω ⎤
ϕ 2 (x) = ⎢
⎣ 4πh ⎥⎦
1/ 4
1/ 4
⎛ 1 mω 2 ⎞
x exp⎜ −
x ⎟
⎝ 2 h
⎠
⎛ 1 mω 2 ⎞
⎡ mω 2 ⎤
⎢⎣2 h x − 1⎥⎦ exp⎜⎝ − 2 h x ⎟⎠
D'une façon générale, on retrouve, bien sûr, les fonctions d'ondes obtenues par la méthode
polynomiale en mécanique ondulatoire.
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J.P. Rozet LP317 2006
Allure des fonctions d'onde :
1
1
Φ0
0
1
Φ1
0
-1
0
-1
-4
-2
0
2
4
1
-1
-4
-2
0
2
4
1
-4
Φ 12
0
0
2
4
0
2
4
0
2
4
Φ 22
0
-2
-2
1
Φ 02
-4
Φ2
0
-4
-2
0
2
4
-4
-2
c) Probabilité de présence
ƒ
Cas classique :
1
dx
1
1
mx& 2 + mω 2 x 2 = mω 2 x 02 ⇒ x& = ω x 02 − x 2 =
2
2
2
dt
dP( x ) = 2
dt
dx
dx
ω
dx
=2
=
× =
T
x& T ω x 02 − x 2 π π x 02 − x 2
(la particule repasse deux fois au même endroit au cours d'une période, d'où le facteur 2)
ƒ
Cas quantique :
dP(x) = |ϕn(x)|2 dx
Allure des probabilités :
1
1
mω 2 x 02 = (n + )hω
2
2
⇒
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x 0 = 2n + 1
mω
x 0 = α x 0 = 2n + 1
h
h
⇒
mω
n=10
n=0
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.0
0.0
-3
_______
-2
-1
0
1
2
3
-6
-4
-2
0
2
4
6
cas quantique
------- cas classique
3) Valeurs moyennes
a) Etats propres |ϕn>
X = ϕn X ϕn =
h
ϕ n X̂ ϕ n
mω
=
h
ϕ n (â + â + ) ϕ n
2mω
=
h
ϕ n ( n ϕ n −1 + n + 1 ϕ n +1 )
2mω
=0
ou
ϕ n X ϕ n = ∫ ϕ*n ( x ) x ϕ n ( x ) dx
(= 0)
Le potentiel de l'oscillateur harmonique étant une fonction paire de x, les fonctions propres ϕn(x)
sont soit paires, soit impaires. On peut d'ailleurs vérifier que la parité des ϕn(x) est égale à (-1)n.
Il en résulte que l'intégrale ci-dessus est toujours nulle.
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J.P. Rozet LP317 2006
De même :
P = ϕ n P ϕ n = mhω ϕ n P̂ ϕ n
=i
mhω
ϕ n (â + − â ) ϕ n
2
=0
Mais
h
ϕ n (â + â + ) 2 ϕ n
2mω
h
=
ϕ n (â 2 + â + 2 + ââ + + â + â ) ϕ n
2mω
X2 =
ϕ n â 2 ϕ n = ϕ n
n (n − 1) ϕ n −2 = 0
ϕ n â + 2 ϕ n = ϕ n
(n + 1)(n + 2) ϕ n + 2 = 0
ϕ n ââ + ϕ n = ϕ n (n + 1) ϕ n = n + 1
ϕ n â + â ϕ n = ϕ n n ϕ n = n
⇒
X 2 = (2n + 1)
1 h
h
= (n + )
2 mω
2mω
de même
P 2 = (2n + 1)
mhω
1
= (n + )mhω
2
2
⇒
(ΔX) 2 = X 2 − X
(ΔP) 2 = P 2 − P
2
2
1 h
= (n + )
2 mω
1
= (n + )mhω
2
⇒
1
ΔX.ΔP = (n + )h
2
Remarque :
V( x ) =
(≥
h
)
2
P2
1 hω E n
= (n + )
=
2m
2 2
2
1
1 hω E n
=
mω 2 X 2 = (n + )
2
2 2
2
12
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T = V =
Théorème du Viriel
plus généralement : V(x) = λXn ⇒
E
2
pour V = λX2
2T =n V
⇒ <T> = <V>)
(ici n=2
b) Paquets d'ondes : superposition de |ϕn>
Considérons maintenant un oscillateur harmonique dans un état |ψ> quelconque. H hermitique, |ϕn>
fonctions propres de H → |ϕn> base de l'espace des états → on peut écrire :
ψ =
∞
∑ Cn
n =0
ϕn
D'une façon générale, |ψ> évoluera au cours du temps. En particulier, si à t=0
ψ(0) =
∞
∑ C n (0) ϕ n
n =0
on aura
ψ(t ) =
∞
∞
1
⎛ iE n t ⎞
⎛
⎞
⎟ ϕ n = ∑ C n (0) exp⎜ − i(n + )ωt ⎟ ϕ n
2
h ⎠
⎝
⎠
⎝
n =0
∑ C n (0) exp⎜ −
n =0
On a alors, par exemple :
X ( t ) = ψ( t ) X ψ( t )
= ∑∑ C*m (0) C n (0) X mn exp(i(m − n )ωt )
m n
avec Xmn = <ϕm| X |ϕn>
mais Xmn ≠ 0 ⇒ m = n ± 1 ⇒ m - n = ±1 ⇒ la somme ne comprend que des termes en exp(±iωt) ⇒
X ( t ) = A e iωt + B e −iωt = C cos(ωt + ϕ)
<X>(t) est fonction sinusoïdale du temps, comme pour l'oscillateur harmonique classique.
Il en est bien sûr de même pour <P>(t).
13
J.P. Rozet LP317 2006
Ce résultat peut d'ailleurs se retrouver grâce au théorème d'Ehrenfest :
d
1
X =
dt
ih
[X, H]
[
[X, H ] =
[
]
] [ ]}
] [ ]}
{
]
h .hω X̂, Ĥ = h hω (â + + â), (â +â + 1)
mω
2
2 m
= h
mhω â +, â +â + â, â +â
m 2
= h
mhω â +, N̂ + â, N̂ = h
mhω − â + + â
m 2
m 2
{[
{[
}
⎧
⎫
= ih mhω⎨ i (â + − â) ⎬ = ih mhω P̂
m
⎩ 2
⎭ m
= ih P
m
⇒
P
d
X =
m
dt
de même :
1
d
P =
dt
ih
⎧d
P
⎪ X =
m
⎨ dt
d
⎪ P = −mω 2 X
⎩ dt
[P, H]
= − mω 2 X
⎧
P ( 0)
⎪ X ( t ) = X (0) cos ωt +
sin ωt
⇒⎨
mω
⎪⎩ P ( t ) = P (0) cos ωt − mω X (0) sin ωt
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