3 Familles libres

INTRODUCTION AUX ESPACES VECTORIELS III Familles remarquables de vecteurs
3 Familles libres
• Définitions. Soit (~u1, ~u2,...,~un) une famille de vecteurs de E.
Le vecteur nul est toujours combinaison linéaire de (~u1, ~u2,...,~un), en effet ~ 0E=
• Une famille ( ~u1, ~u2,...,~un ) de vecteurs de E est dite libre si la seule combinaison linéaire de ( ~u1, ~u2,...,~un )
donnant le vecteur nul est celle où tous où tous les coefficients sont nuls. Autrement dit :
=⇒
• On dit qu’une famille (~u1, ~u2,...,~un) est liée (ou que les ~uisont linéairement dépendants) si elle n’est
pas libre i.e. si
Définition
• Exemples.
Exemple 1 — 1. Dans R3, la famille de (~u1, ~u2, ~u3) où ~u1= (1,0,2), ~u2= (1,1,3) et ~u3= (2,−3,1) est-elle libre ?
2. Dans R3, la famille de (~u1, ~u2, ~u3) où ~u1= (−1,0,0), ~u2= (3,1,−1) et ~u3= (2,1,−2) est-elle libre ?
Exemple 2 — Dans R3 [ X ] montrer que la famille ( P ,Q,R ) définie par P ( X ) = X , Q ( X ) = X2, R ( X ) = X3, est libre
• Propriétés.
1. Famille d’un seul vecteur La famille à un seul élément (~u) est libre ssi
2. Famille de deux vecteurs La famille ( ~u, ~v ) est libre ssi ~u et ~v ne sont pas
Proposition : Cas simples de familles libres
Démonstration.
•Exemples élémentaires de familles liées
1. Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
Par exemple, pour une famille de trois vecteurs, la famille (~u, ~v,~ 0E) est liée car
2. Toute famille contenant deux fois le même vecteur est liée.
Par exemple, pour une famille de trois vecteurs, la famille (~u, ~v, ~u) est liée car
Plus généralement :
Une famille de vecteurs est liée ssi l’un au moins des vecteurs est
Théorème
• Lien avec les bases
Une famille est une base de Essi elle est à la fois
Théorème
Grandes lignes de la démonstration. • Si (~u1, ~u2,...,~un)est une base, alors elle est génératrice (évident d’après la définition). De plus elle est libre : en effet tout
vecteur est d’une manière unique combinaison linéaire des ~ui, donc le vecteur ~ 0Evecteur est d’une manière unique combinaison linéaire des ~ui, cette unique
combinaison linéaire est nécessairement celle où tous les coefficients sont nuls.
• Réciproquement, si (~u1, ~u2,...,~un)est libre et génératrice. Alors, pour tout vecteur ~x ∈E: il existe une n-liste (α1,α2,...,αn)telle que ~x =
n
P
i=1
αi~uicar la
famille est génératrice. Cette écriture de ~x est unique. En effet, si ~x s’écrit de deux manières : ~x =
n
P
i=1
αi~ui=
n
P
i=1
α0
i~ui, alors on a n
P
i=1
(αi−α0
i)~ui=~
0E, la liberté de
(~u1, ~u2,...,~un)impose ainsi αi−α0
i= 0 pour tout i∈~1, nc’est à dire αi=α0 i.
Si (~u1, ~u2,...,~un) est une famille libre, alors c’est une base du sev F=
Proposition