3 Familles libres
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INTRODUCTION AUX ESPACES VECTORIELS 3 III Familles remarquables de vecteurs Familles libres • Définitions. Soit (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) une famille de vecteurs de E. Le vecteur nul est toujours combinaison linéaire de (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ), en effet ~0E = Définition • Une famille (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) de vecteurs de E est dite libre si la seule combinaison linéaire de (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) donnant le vecteur nul est celle où tous où tous les coefficients sont nuls. Autrement dit : =⇒ • On dit qu’une famille (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) est liée (ou que les u ~i sont linéairement dépendants) si elle n’est pas libre i.e. si • Exemples. Exemple 1 — 1. Dans R3 , la famille de (~ u1 , u ~2 , u ~3 ) où u ~1 = (1,0,2), u ~2 = (1,1,3) et u ~3 = (2, −3, 1) est-elle libre ? 2. Dans R3 , la famille de (~ u1 , u ~2 , u ~3 ) où u ~1 = (−1,0,0), u ~2 = (3,1, − 1) et u ~3 = (2, 1, −2) est-elle libre ? Exemple 2 — Dans R3 [X] montrer que la famille (P ,Q,R) définie par P (X) = X, Q(X) = X 2 , R(X) = X 3 , est libre • Propriétés. Proposition : Cas simples de familles libres 1. Famille d’un seul vecteur La famille à un seul élément (~ u ) est libre ssi 2. Famille de deux vecteurs La famille (~ u , v~) est libre ssi u ~ et v~ ne sont pas Démonstration. • Exemples élémentaires de familles liées 1. Toute famille contenant le vecteur nul est liée. Par exemple, pour une famille de trois vecteurs, la famille (~ u , v~, ~0E ) est liée car 2. Toute famille contenant deux fois le même vecteur est liée. Par exemple, pour une famille de trois vecteurs, la famille (~ u , v~, u ~ ) est liée car Plus généralement : Théorème Une famille de vecteurs est liée ssi l’un au moins des vecteurs est • Lien avec les bases Théorème Une famille est une base de E ssi elle est à la fois Grandes lignes de la démonstration. • Si (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) est une base, alors elle est génératrice (évident d’après la définition). De plus elle est libre : en effet tout vecteur est d’une manière unique combinaison linéaire des u~i , donc le vecteur ~0E vecteur est d’une manière unique combinaison linéaire des u~i , cette unique combinaison linéaire est nécessairement celle où tous les coefficients sont nuls. n P • Réciproquement, si (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) est libre et génératrice. Alors, pour tout vecteur x~ ∈ E : il existe une n-liste (α1 , α2 , . . . , αn ) telle que x~ = αi u ~i car la i=1 n n n P P 0 P 0 ~ famille est génératrice. Cette écriture de x~ est unique. En effet, si x~ s’écrit de deux manières : x~ = αi u ~i = αi u ~i , alors on a (αi − αi )~ ui = 0E , la liberté de (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) impose ainsi αi − αi0 = 0 pour tout i ∈ ~1 , n c’est à dire αi = αi0 . i=1 Proposition Si (~ u1 , u ~2 , . . . , u ~n ) est une famille libre, alors c’est une base du sev F = i=1 i=1
