MASTER ACADEMIQUE Extensions des théorèmes de Sylow

N° d’ordre :
N° de série :
République Algérienne Démocratique et
Populaire
Ministère de l’Enseignement Superieur et de la
Recherche Scientifique
UNIVERSITÉ D’ELOUED
FACULTÉ DESSCIENCES ET DE TECHNOLOGIE
Mémoire de fin d’étude
MASTER ACADEMIQUE
Domaine: Mathématiques et Informatique
Filière: Mathématiques
Spécialité: Mathématiques fondamentales
Présenté par:TOUIL Hana
ZAOUCHE Faiza
Thème
Extensions des théorèmes de
Sylow
Soutenu devant le jury composé de
SAÏD AMEUR Mezianne
YOUMBAI A. El Amine
DJEDIDI Mohamed Yacine
MCB
MAA
Année universitaire 2013 – 2014
Univ. d’El Oued
Univ. d’El Oued
Univ. d’El Oued
Remerciements
Tout d’abord, nous remercions Dieu qui nous illuminé par la connaissance.
Toutes nos gratitudes et remerciements les plus vifs s’adressent "M. Mezianne Said
Ameur", de l’université d’El Oued, pour son encadrement, Qui n’a pas épargné nous écoutions,
sa modestie et disponibilité, pour réaliser ce travail.
Notre remerciement le plus sincère va également à tous professeurs qui n’ont jamais cessé
de nous aider de l’université d’El oued.
Nous tenons a remercie tous les étudiants de La promotion 2013/2014 de Master Math
de l’université d’El-oued.
Hana
i
Faiza
Table des matières
ii
Table des not
Notations générales
Loi de composition interne.
(G; )
Un groupe.
jxj
Ordre d’un élément x d’un groupe:
jGj
Ordre d’un groupe.
xy
Le conjugue de x relativement a y.
Les nombres premier.
(G)
H
G
L’ensemble des nombres premier qui divise l’ordre de G.
H est un sous-groupe de G.
HCG
H est un sous-groupe distingué de G.
C(x)
Centre d’un élément x d’un groupe G.
Z (G)
Centre d’un groupe G.
Orb(x)
D’un élément x d’un groupe G.
NG (H)
Normulizateur d’unsous-groupe H relativementa G.
(G : H)
L’index de H relativement a G.
Hom(G; H) Homomorphisme de G vers H.
Aut(G; H)
Automorphisme (isomorphisme d’un groupe G vers H).
Int (G)
Automorphisme intérieur de G.
ker f
Noyau d’un Homomorphisme.
Im f
Image d’un Homomorphisme.
SylG (H)
H est un Sylow sous-groupe de G.
Fin d’une demonstration.
iii
Introduction générale
Le mathématique est une science, non limite qui a plusieurs branches d’entre elle l’algèbre
abstract, aussi qui se dans sur les théories des groupes, celle-ci traitant l’extension des Sylow
théorèmes aux Hall théorèmes (i.e. p-groupes vers
groupes).
Pour cela notre mémoire, est précisé sur les théorèmes de Hall .
On décompose notre travail en trois chapitres :
Le premier chapitre rappelons le principales dé…nitions et à propriétés concernons la
structure de groupe (groupe, sous-groupe, sous groupe distingué, ...), et divers types des
groupes comme des exemples.
Le second chapitre porte sur les théorémes des morphismes, les théorèmes de Sylow,
présents les principales notions reliées à ce concept fondamental.
Le troisième chapitre nous rappelons les dé…nitions de
nombre, Hall-nombre avec des
exemples puis on a traitant ce qui concerne notre sujet si le sous-groupe de Hall qui était
extensions de principaux théorèmes de Sylow.
1
Chapitre 1
Généralités sur les groupes
1.1
Structure de groupe
Dé…nition 1.1.1.
Un groupe (G; ?) est un ensemble G auquel est associé une opération interne ?
(la loi de composition) satisfaisant les quatre propriétés suivantes :
1. pour tout x; y 2 G; x ? y 2 G (? est une loi de composition interne)
2. pour tout x; y; z 2 G; (x ? y) ? z = x ? (y ? z) (la loi est associative)
3. il existe e 2 G tel que 8x 2 G, x ? e = x et e ? x = x (e est l’élément neutre)
4. pour tout x 2 G il existe x0 2 G tel que x ? x0 = x0 ? x = e
(x0 est l’inverse de x et est
noté x 1 )
Si de plus l’opération satisfait pour tous x; y 2 G; x ? y = y ? x;
on dit que G est un groupe commutatif (ou abélien).
Dé…nition 1.1.2.
le nombre des élèments de groupe G ou bien le cardG s’appele l’ordre de G ,noté :
jGj = cardG:
Remarque 1.1.1.
0
–L’élément neutre e est unique. En e¤et si e véri…e aussi le point (3), alors on a e0 ?e = e
(car e est élément neutre) et e0 ? e = e (car e0 aussi). Donc e0 ? e = e.
Remarquez aussi que l’inverse de l’élément neutre est lui-même.
S’il y a plusieurs groupes, on pourra noter eG pour l’élément neutre du groupe G.
2
1.1. Structure de groupe
–Un élément x 2 G ne possède qu’un seul inverse.
0
En e¤et si x et x00 véri…ent tous les deux le point (4) alors on a: x ? x00 = e
0
0
donc x ? (x ? x00 ) = x ? e. Par l’associativité (2) et la propriété de l’élément
neutre (3) alors (x0 ? x) ? x00 = x0 .
Mais x0 ? x = e donc e ? x00 = x0 et ainsi x00 = x0 .
Exemples.
a) Voici des ensembles et des opérations bien connus qui ont une structure de groupe.
(R ; ) est un groupe commutatif,
est la multiplication habituelle.
Véri…ons chacune des propriétés :
1) 8 x; y 2 R alors x
y2R .
2) Pour tout x; y; z 2 R alors x
(y
z) = (x
y)
z,
c’est l’associativité de la multiplication des nombres réels.
3) 1 est l’élément neutre pour la multiplication, en e¤et 1
ceci quelque soit x 2 R .
4) L’inverse d’élément x 2 R est x0 = x1 ( car x
L’inverse de x est donc x
1
1
x
x = x et x
1 = x,
est bien égal à l’élément neutre 1).
= x1 :Notons au passage que nous avons exclu 0 de notre
groupe, car il n’a pas d’inverse. Ces propriétés font de (R ; ) :
b)(Z; +) est un groupe commutatif.
3
1.2. Sous-groupes
1.2
Sous-groupes
Montrer qu’un ensemble est un groupe à partir de la dé…nition peut être assez long.
Il existe une autre technique, c’est de montrer qu’un sous-ensemble d’un groupe est
lui-même un groupe : c’est la notion de sous-groupe.
Dé…nition 1.2.1.
Soit (G; ?) un groupe.
Une partie H
G est un sous-groupe de G si :
1) e 2 H,
2) pour tout x; y 2 H, on a xy 2 H,
3) pour tout x 2 H, on a x
1
2 H.
Notez qu’un sous-groupe H est aussi un groupe (H; ?) avec la loi induite par celle de G.
On note H
G:
Proposition 1.2.1.
H est un sous-groupe d’un groupe G ssi:
8x; y 2 H; xy
1
2 H:
Exemple.
(Z; +) est un groupe abélien
Les sous-groupes de (Z; +) sont de forme nZ; pour n 2 Z.
L’ensemble nZ désigné l’ensemble des multiples de n :nZ = fn:k k 2 Zg.
1.2.1
Sous-groupe distingué
Dé…nition 1.2.2.
Un sous-groupe H d’un groupe G est dit distingué (invariant) si pour tout x 2 G, on a
xHx
1
= H. On note H C G.
Autre dé…nition:
Un sous-groupe H d’un groupe G est dit distingués si il est invariant par tout
automorphisme intérieur,
i.e.Ig : G ! H :gHg
1
= H, pour tout g 2 G.
4
1.2. Sous-groupes
Remarque 1.2.1.
i) Les sous-groupes feg et G sont distingués dans G.
ii) Si G est abélien tout sous-groupe est distingué.
iii) Si f est un homomorphisme de groupes, alors ker f est distingué.
Exemple.
G = S3 , H = A3 (alternatif)
A3 C S 3 :
Groupe simple
Dé…nition 1.2.3.
Un groupe G qui n’admet aucun sous-groupe propre distingué (sauf feg et G)
est dit simple.
1.2.2
Sous-groupe engendré.
Soit (G; ?) un groupe et E
G (un sous-ensemble de G).
Le sous-groupe engendré par E est le plus petit sous-groupe de G contenant E.
Par exemple si E = f2g et le groupe est (R ; ?), le sous-groupe engendré par E est
H = f2n n 2 Zg.
Pour le prouver: il faut montrer que H est un sous-groupe,
2 2 H et que si H 0 est un autre sous-groupe contenant 2 alors H
1.2.3
Sous-groupe quotient.
Dé…nition 1.2.4.
Soit H
G et soit g 2 G:
On a appel quotient de groupe G par H le quotient G H:
L’ensemble gH = fgh=h 2 Hg :
Lemme 1.2.1.
Soit G est un groupe et H un sous-groupe de G.
Si g 0 2 gH, alors gH = g 0 H.
5
H 0:
1.2. Sous-groupes
Démonstration.
Si g 0 2 gH, alors 9h 2 H tel que g 0 = gh et ainsi :
g 0 h0 = ghh0 2 gH pour tout h0 2 H d’où g 0 H
Comme g 0 g 2 H (car g = g 0 h 1 ), alors gH
gH.
g 0 H.
Corollaire 1.2.1.
Soit G est un groupe et H un sous-groupe de G.
Les sous-groupes gH et g 0 H sont soit confondus soit disjoints.
Démonstration.
Si k 2 gH \ g 0 H, alors gH = kH = g 0 H.
Proposition 1.2.2.
Soit G un groupe et H C G.
Il existe sur l’ensemble G=H un structure de groupe s’il existe un seul application
canonique
: G ! G=H soit un homomorphisme.
Remarque 1.2.2.
i) Si G est abélien, G=H est un groupe.
ii) Soit nZ un sous-groupe de Z,
alors le groupe quotient Z=nZ est isomorphe au groupe Zn .
Remarque 1.2.3.
Soit G un groupe, on a:
i) Si K < H < G et si K C G, alors K C H.
ii) Si K < H < G, par contre H C G et K C H n’entraine pas K C G.
Centre de groupe
Le centre Z(G)d’un groupe G est le sous-ensemble de G :
Z(G) = fx 2 G xg = gx; 8g 2 Gg :
Remarque 1.2.4.
Z(G)
G
6
1.3. L’équation des classes
Centre d’un élément de G
C(a) = fx 2 G xa = axg
1.3
L’équation des classes
Dé…nition 1.3.1.
Soit G est un groupe …ni on dé…nit la relation
8x; y 2 G si x
Alors
dans G.
y , 9g 2 G; y = xg :
est une relation d’équivalence.
Le classe d’équivalence de a dans G noté [a] :
Dé…nition 1.3.2.
Le nombre des élement égale l’index de centre de a,
sont les nombres des classes d’équivalance.(i.e.j[a]j = (G : C(a)) ):
Dé…nition 1.3.3.
Soit G est un groupe …ni, C(a)
jGj =
X
a2G
(G : C(a)) =
G et jGj =
X
P
(G : C(a)).
a2G
(G : C(a)) +
a2z(G)
X
(G : C(a))
a2z(G)
=
comme G est un groupe …ni choisissons une réprésentation des éléments
a1 ; a2 ; :::; an :Qui on de classes contient plus d’un élément(.i.e.)([ai ] ne pas dans Z(G)).
Donc G = Z (G) [ [ai ] ; comme Z(G) et [ai ] sons disjoint alors:
jZ(G)j =
jGj = jZ(G)j +
Lemme 1.3.1.
P
X
(G : C(a))
a2z(G)
(G : C(a)) ;ce dernier formule est appelé l’équation des classes.
a2z(G)
=
Soit G de p-groupe …ni, p est nombre premier alors Z(G) 6= h1i :
Démonstration.
P
D’aprés l’équation de classe jGj = jZ(G)j +
(G : C(x)) :
x2z(G)
=
P
(G : C(x)) et jGj donc Z(G) est divisé par p, alors jZ(G)j > 1:
Comme p divise
x2z(G)
=
7
1.3. L’équation des classes
D’orbite de groupe
Soit
2 Sn :
La relation R dé…nie sur [1; n]2 par : xR y , 9n 2 Z; y =
n
(x)
est une relation d’équivalence.
Ses classes d’équivalences sont appelées les orbites suivant
On note Orbh i (x) = f
n
(x); n 2 Zgla
ou
orbites:
orbites de x
(i.e. la classe d’équivalence de x pour la relation R ).
Normalizateur d’un groupe
Soit H un sous-groupe de groupe G;
NG (H) = fg 2 G : gHg
1
= Hg :
Remarque 1.3.1.
NG (H)
G:
Le dérivé d’un groupe
On appelle commutateur des éléments x et y d’un groupe G
l’élément x 1 y 1 xy noté [x; y] :Le sous-groupe de G engendré par
les commutateurs est appelés sous-groupe dérivé de G et noté D(G) :
D(G) = h[x; y] : x; y 2 Gi :
D(G) C G:
Théorème 1.3.1.[3]
Si H est un sous-groupe d’un groupe …ni G, alors jGj = jHj (G : H).
Démonstration.
Les ensembles gH forment une partition de G et ils ont le même
nombre d’éléments, d’où le théorème de Lagrange.
8
1.4. Divers types des groupes
1.4
1.4.1
Divers types des groupes
Les groupes abélien
Dé…nition 1.4.1.
Soit G un groupe …ni ou non …ni on dit que G est abélien si et seulement si:
pour tous x; y 2 G; x ? y = y ? x;
Exemple.
(Z; +) groupe abélien non …ni.
(Z=3Z; +) groupe abélien …ni.
1.4.2
P-groupes
Dé…nition 1.4.2.
Un p
groupe est un groupe d’ordre une puissance du nombre premier p.
(i.e. un p
groupe est un groupe …ni engendre par un élément a tel que sont ordre est
une puissance de p (p premier).G = hai )
Exemple.
(Z=5Z; ) est un p-groupe, Z=5Z = h2i = h3i
Théorème 1.4.1.
Tout groupe abélien …ni est produit direct de ses p
sous
groupes.
Preuve [2]
Proposition 1.4.1.
Soient p un nombre premier et G un p-groupe distinct de e l’élément neutre de G.
Alors le centre de G n’est pas réduit à feg.i.e.(jZ (G)j > 1) :
Preuve [2]
Proposition 1.4.2. (Théorème de Cauchy pour les groupes abéliens)
Soit G un groupe abélien d’ordre n et p un nombre premier qui divise n. Alors,
il existe un élément dans G d’ordre p.
Preuve [3]
9
1.4. Divers types des groupes
1.4.3
Le groupe de cyclique
Dé…nition 1.4.3.
Soit G un groupe si G engendré par un seul élément x tel que exist un entier n
avec xn = 1; i.e. G = hxi = fx0 ; x1 ; :::; xn 1 g :
Dé…nition 1.4.4.
1) Soit G est un groupe et a 2 G .On appelle sous-groupe de G engendré
par a et on note hai le plus petit sous-groupe de G contenant a
hai = fan n 2 Zg:
2) Si le groupe hai est …ni on appelle ordre de a 2 G et on note jaj,
sinon on dit que a est d’ordre in…ni.
3) Un groupe G est cyclique s’il est engendré par un de ses éléments, c’est-à-dire s’il
existe a 2 G tel que G = hai.
La = ker
a
= fn 2 Z an = eg est un sous-groupe de Z.
Si La = f0g,
a
: Z ! (a) est un isomorphisme et a est d’ordre in…ni.
Dans le cas contraire,La = nZ pour un entier
n = min k 2 Z k > 0; ak = e > 0 et (a) ' Z nZ = Zn .
On en conclut que a est d’ordre …ni (a) = j(a)j = jZnj = n,
et donc La = (a)Z, (a) = e; a; :::; a
1.4.4
(a) 1
;et a
(a)
= e.
Le groupe des permutations Sn
Dé…nition 1.4.5.
L’ensemble des bijections de f1; 2; :::; ng dans lui-même, muni de la composition
des fonctions est un groupe.
Une bijection de f1; 2; :::; ng (dans lui-même) s’appelle une permutation, noté (Sn ; ).
Le groupe (Sn ; ) s’appelle le groupe des permutations (ou le groupe symétrique).
Dé…nition 1.4.6.
On dit qu’une permutation
2 Sn est un cycle s’il existe une seule
orbite ,
O non triviale(i.e.card O > 1):
S’il en est ainsi, le cardinal de O s’appelle la longueur du cycle
10
et O en est le support.
1.4. Divers types des groupes
Proposition 1.4.3.[1]
Deux cycles
et
0
à support disjoints commutent.
Lemme 1.4.1.[1]
Le cardinal de Sn est n! .
Proposition 1.4.4.[1]
Toute peremutation
2 Sn
(à l’ordre près des facteurs)
fIdg s’ecrit de façon unique
= c1 c2 :::cp où les ci sont des cycles à supports
disjoints (deux à deux).
Exemple.
Le groupe S3
Nous allons étudier en détails le groupe S3 des permutations de f1; 2; 3g.
Nous savons queS3
possède3!
que nous énumérons :
0 = 6 éléments
1
1 2 3
A l’identité,
id = @
1 2 3
0
1
1 2 3
@
A une transposition,
1 =
1 3 2
1
0
1 2 3
A une deuxième transposition,
@
2 =
3 2 1
0
1
1 2 3
@
A une troisième transposition,
3 =
2 1 3
0
1
1 2 3
@
A un cycle,
0 =
2 3 1
0
1
1 2 3
@
A l’inverse du cycle précédent.
1 =
3 1 2
Donc S3 =0fid; 1 ; 2 ;13 ; 0 ; 1 g Calculons 1
0
1
1 2 3
B
C
1
2
3
B
C @
A= 2
1
0 = B 2 3 1 C =
@
A
3 2 1
3 2 1
11
0
et
0
1
:
1.4. Divers types des groupes
et
0
1 2
B
B
0
1 = B 1 3
@
2 1
Ainsi 1
0 = 2
1
0
1
C
1 2 3
C
A= 3 .
2 C=@
A
2 1 3
3
est di¤érent de 0 1 = 3 , ainsi le groupe S3 n’est pas commutatif.
3
Et plus généralement :
Lemme 1.4.2.
Pour n > 3, le groupe S3 n’est pas commutatif.
Nous pouvons calculer la table du groupe S3
g f
id
1
2
3
id
id
1
2
3
1
1
id
2
2
3
3
1
1
id
3
1
1.4.5
1
1
id
1
2
1
1
2
3
3
1
1
2
1
id
id
FIGURE 1-Table du groupe S3
2
3
1
Le groupe alterné
Dé…nition 1.4.7.
On appelle groupe alterné An le noyan du morphisme sgn:
qui est dé…nit par ' : Sn ! f1; 1g :
An = ker('):(Ensemble des permutations paires),
(Bn est un ensemble des permutations impaires).
D’aprés les propriétés du noyau d’un morphisme de groupe,
An est donc un sous-groupe distingué de Sn :
De plus, on a:
Card(Sn An ) = Card (f 1; 1g) = 2:
Donc:
Card(An ) =
12
n!
2
1.4. Divers types des groupes
Théorème 1.4.2.
Pour n
3, le groupe alterné An est engendré par les 3
Théorème 1.4.3.
Pour n
5, le groupe alterné An simple.
Exemple.
A5 est un groupe simple
jA5 j = 60:
13
cycles.
Chapitre 2
Morphismes et théorèmes de Sylow
2.1
Morphismes de groupes
Dé…nition 2.1.1.
Soient (G; ?)et(G0 ; ) deux groupes. Une application f : G ! G0 est un morphisme de
groupes si :
pour tout x; y 2 G ; f (x ? y) = f (x) f (y):
Exemple.
Soit f : (R; +) ! (R+ ; )
f (x) = exp(x) = ex :
f est une morphismede groupe
((i.e.) 8x; y 2 R : f (x + y) = exp(x + y) = exp(x)
exp(y) = f (x)
f (y)):
Dé…nition 2.1.2.
On note Hom (G; H) l’ensemble des morphismes de G dans H.
1) Un morphisme bijectif est appelé isomorphisme.
2) S’il existe un isomorphisme ' : G ! H on dit que les groupes G et H sont
isomorphisme et on écrit G = H:
3) Un isomorphisme ' : G ! G est appelé automorphisme.
On note Aut (G) l’ensemble des automorphisme de G.
14
2.1. Morphismes de groupes
Remarque 2.1.1.
Aut (G) est un groupe pour la composition des applications.
Théorème 2.1.1.[5]
Soit ' 2 Hom (G; H) :
1) L’image par ' d’un sous-groupe est un sous-groupe.
2) La pré-image par ' d’un sous-groupe est un sous-groupe.
Dé…nition 2.1.3.
Soit f : G ! G0 un morphisme de groupes.
Nous dé…nissons deux sous-ensembles importants qui vont être des sous-groupes.
1) Le noyau de f est ker f = fx 2 G j f (x) = e0 g :
2) L’image de f est Im f = ff (x) j x 2 Gg :
Proposition 2.1.1.
Soit f : G ! G0 un morphisme de groupes.
1) ker f est un sous-groupe de G.
2) Im f est un sous-groupe de G0 :
3) f est injectif si et seulement si ker f = feg:
4) f est surjectif si et seulement si Im f = G0 :
Remarque 2.1.2.
Soit f 2 Hom(G : G0 ) pour toute a 2 G on a:
1) f (e) = e0
e0 2 G0 :
2) f (a 1 ) = (f (a)) 1 .
3) f (an ) = (f (a))n , n 2 N:
Démonstration (Remarque).
1) f (a)f (e) = f (a e) = f (a) e = f (a):
En simpli…ant à gauche, on obtient donc f (e) = e0
2) f (a 1 ) f (a) = f (a
1
a) = f (e) = e:
permet de conclure que f (a 1 ) = (f (a))
1
:
3) On démontre, alors aisément que , pour n 2 Z;
f (an ) = (f (a))n
Soit f : G ! G0 un isomorphisme et a; b 2 G0 ;
15
2.1. Morphismes de groupes
si a0 = f
f
1
1
(a); b0 = f
1
(a b) = f
1
(b) on a:
(f (a0 ) f (b0 )) = f
= a0 b 0 = f
1
(a) f
1
1
(f (a0 b0 ))
(b):
Proposition 2.1.2.
Soit ' un morphisme de G vers G0 on a:
1) pour tout x 2 G, si x 2 ker f , f (x) = eG0 :
2) pour tout y 2 G0 , si y 2 Im f , 9x 2 G=f (x) = y:
Théorème( premier théorème d’isomorphisme) 2.1.1.[5]
Etant donné un homorphisme f : G ! G1 , alors il existe un isomorphisme
b:G
ker f ! f (G) tel que le diagramme suivant soit commutatif:
G
(surjection canonique)
G
f
p#
ker f
b
G1
!
#i
(injection canonique)
!
f (G) = Im f
Proposition 2.1.3.[3]
Soit f : G ! G0 un homorphisme de groupe et H 0 un sous-groupe distingué de G0 .
Alors H = f
1
(H 0 ) est un sous groupe distingué de G et il existe un unique
monomorphisme g rendant le diagramme suivant commutatif.
G
f
#
G H
i.e.
0
f =g
g
G0
!
# 0
! G0 =H 0
: Si f est surjective, alors g est un isomorphisme.
16
2.1. Morphismes de groupes
Proposition 2.1.4.[5]
On considère un homorphisme de groupe f : G ! G0 et les sous groupes distingués
H et H 0 respectifs de G et G0 , tels que f (H)
H 0.
Il existe un unique homorphisme g rendant le diagramme suivant commutatif.
G
f
#
G H
i.e.
0
f =g
g
G0
!
# 0
! G0 =H 0
:
Dans ce qui suit on a les deux autres théorèmes d’isomorphisme.
Proposition 2.1.5.
Soient G et G0 deux groupes et ' : G ! G0 un morphisme de groupes.
Si G est …ni, on a alors :
card(G) = card(ker('))card(Im('))
Démonstration.
Comme G= ker(') et Im(') sont isomorphes, dans le cas où G est …ni,
on a :
card(Im(')) = card(G=ker(')) =
card(G)
card(ker('))
Lemme 2.1.1.[6]
Si H et K sont deux sous groupe de G:
1) Si H C G alors HK = KH est un sous groupe de G.
2) Si H C G et K C G alors HK C G.
Théorème(Deuxieme théorème d’isomorphisme) 2.1.2.[5]
Soit H un sous-groupe distingué d’un groupe G, et K un sous groupe de G, alors:
1) (H \ K) C K:
2) H C (KH) :
3) K= (H \ K) ' (KH) =H (i.e.K= (H \ K)est isomorphisme à (KH) =H:
17
2.1. Morphismes de groupes
Dé…nition 2.1.4.
Soit H un sous groupe distingué d’un groupe G.
On note
: G ! G=H la projection canonique.
Les sous groupes distingués G=H sont de la forme K=H où K est un sous groupe de G
K C G:L’application ' : & ! & 0
tel que H
K 7 ! (K) = K=H
est une bijection croissante de l’ensemble & des sous groupes distingués
de G contenant H sur l’ensemble & des sous groupes distingués de G=H .
Théorème(Troisième théorème d’isomorphisme) 2.1.3.[5]
Soit G un groupe et H; K des sous-groupe distingué de groupe G.
Si H
K
G; alors (G=H) = (K=H) ' G=K:
18
2.2. Dé…nition de Sylow sous-groupes:
2.2
Dé…nition de Sylow sous-groupes:
Dé…nition 2.2.1.
Soit p un nombre premier et soit G un groupe …ni.
On dit que G est un p-groupe si l’ordre de G est une puissance de p.
Si G est d’ordre pn m avec m premier à p,
on dit qu’un sous-groupe H de G est un p-Sylow de G si H est d’ordre pn .
Proposition 2.2.1.
1) Soit S un sous-groupe de G; S est un p-Sylow de G si et seulement si S
est un p-groupe et (G : S) est premier à p.
2) Tout conjugué d’un p
Sylow de G est un p
Sylow de G.
Exemple.
Soit | un corps …ni de caractéristique p à q = p éléments.
Soit G = GLn (|) le groupe des matrices inversibles n
n à coe¢ cients dans K.
Ce groupe est isomorphe à GL(V ) où V est un espace vectoriel sur | de dimension n.
On remarque que l’ordre de G est le nombre de bases d’un espace vectoriel
de dimension n sur |, soit :
jGj = (q n
n
où m =
i=1
1)(q n
(q i
q) (q n
q n 1 ) = q n(n
n
1)=2
i=1
(q i
1) = p
n(n 1)=2
m,
1) est premier à q, donc à p.
Considérons d’autre part le groupe P constitué des matrices triangulaires
supérieures à coe¢ cients diagonaux égaux à 1.
C’est un sous-groupe de G d’ordre jP j = q n(n
1)=2
=p
n(n 1)=2
Donc P est un p-Sylow de G.
Lemme 2.2.1.[3]
Soit H est un p-sous-groupe de groupe …nie G alors:
(NG (H) : H)
(G : H) (mod p) :
19
.
2.2. Dé…nition de Sylow sous-groupes:
Lemme 2.2.2.[3]
Soit H est un p-sous-groupe de groupe …nie G .
Si p divide (G : H) alors
NG (H) 6= H:
Théorème(premier théorème de Sylow) 2.2.1.[6]
Soit G un groupe d’ordre p m où p est premier et ne divise pas m. Alors il existe un
sous-groupe de G d’order p :
Démonstration par l’action de G par conjugaison sur lui-même.
La démonstration par le théorème de Cauchy et on raisonne par récurrence sur k =
jGj
.
p
Le résultat est vrai pour jGj = p.
Soit G un groupe d’ordre p m avec m ^ p = 1 et p m > p.
On suppose le résultat vrai pour tout groupe d’ordre strictement inférieur à jGj.
Partons de l’équation aux classes associée à l’action de G par conjugaison sur lui-même
jGj = jZG j +
X
jGj
;
jStab
G (g)j
g2G"
où G est une transversale de G ZG . Ceci étant, deux cas de …gure se présentent.
Premier cas de …gure.
S’il existe g 2 G00 tel que p divise StabG (g), alors d’après
l’hypothèse de récurrence, StabG (g) contient p Sylow, qui sera également un p Sylow
de G.
Deuxième cas de …gure.
Si pour tout g 2 G00 , p ne divise pas jStabG (g)j, alors p divise
P
jGj
et donc p divise jZG j. Prenons H un sous-groupe cyclique d’ordre p
jStabG (g)j
g2G"
inclus dans jZG j (possible car H est abélien). On applique l’hypothèse de récurrence
au groupe G=H (H est central donc distingué).
_
Soit K un p
Soit
Sylow de G=H, donc d’ordre p
1
.
: G ! G=H le morphisme de passage au quotient et soit K =
1
(K).
Alors K est d’ordre p .
Dans la démonstration, au lieu de chercher les groupes d’ordre p , on aurait pu chercher
les groupes d’ordre p , 1
et montrer ainsi :
20
2.2. Dé…nition de Sylow sous-groupes:
Théorème(Deuxième théorème de Sylow) 2.2.2.[6]
i) Tout p sous groupe est inclus dans un p
ii) Les p
Sylow sous groupe de G d’ordre p :
Sylow sont conjugués.
Démonstration.
La partie (ii) découle de (i). Prouvons la partie (i).
Soit H un p
tel que gHg
1
groupe dans G et S un p
Sylow de G. On va montrer qu’il existe g 2 G
S.
On va faisant agir H par multiplication à gauche sur l’ensemble
E = G=S = fgS; g 2 Gg. On a
jEj
E H modp;
mais jEj = jG=Sj est premier avec p, puisque S est
un p
Sylow. Donc il existe g0 2 G tel que g0 S 2 E H ,
autrement dit tel que pour tout h, hg0 S = g0 S.
Donc h g0 2 g0 S pour tout h 2 H,
g0 Sg0 1 :
donc H
Théorème (Troisième théorème de Sylow) 2.2.3.[3]
Soit G un groupe d’ordre p m avec
Soit np le nombre de p
> 1 et m ^ p = 1
Sylow;d’ordre p si
i) np j m:
ii) np
1modp:
Démonstration.
i) Soit S un p
Sylow de G et Sylp (G) l’ensemble des
p
Sylow de G.
D’après le point(ii) du théorème 3, l’action de G par conjugaison sur Sylp (G) est transitive, donc
Sylp (G) = OrbG (S). Or StabG (S) = N ormG (S), donc
jSylp (G)j =
jGj
jN ormG (S)j
Or jSj divise jN ormG (S)j(Lagrange), donc jSylp (G)j divise
ii) On va utiliser l’equation de classe, en faisant agir un
21
jGj
qui est égal à m.
jSj
p Sylow S par conjugaison
2.2. Dé…nition de Sylow sous-groupes:
sur E = Sylp (G) et obtenir jEj
E S mod p.
Il reste à montrer que E S = 1.
Pour tout p
Sylow T appartenant à E S , on a sT s
1
= T pour
tout s 2 S. Donc S
est inclus dans N ormG (T ).
Dans le groupe N ormG (T ), S et T sont conjugués d’après le théorème 2, mais par
dé…nition de N ormG (T ), T est distingué dans N ormG (T ).
Donc T = S. Donc E S = fSg :
Remarque 2.2.1.
Considérons l’action de G par conjugaison sur Sylp (G): Soit
S 2 Sylp (G):
On notera que:
- L’action est transitive: OrbG (S) = Sylp (G):
- StabG (S) = N ormG (S) est S:
Lemme (lemme chinois pour les sous-groupe d’un groupe abélien) 2.2.3.[3]
Soit G un groupe abélien et (H)1
i n
une famille de sous-groupe d’ordre
deux à deux premiers. Ces sous-groupes sont en somme directe dans G.
Rappel
Soit (H)1
Hi \
r
P
j=1
i r
des sous-groupes de G. La somme
Hj = f1g 81
i
r: Si de plus G =
2.2.1
Hi est directe si et seulement si
i=1
Hi ; alors on dit que G
i=1
j6=1
est somme directe des Hi , 1
r
P
r
P
i
r:
Application du lemme chinois
Décomposition de Sylow dans un groupe abélien
Un groupe abélien …ni est la somme directe de ses sous groupes de Sylow.
En e¤et d’après le lemme chinois ci-dessus les di¤érent p Sylow de G
sont en somme directe. Puisque le cardinal de cette somme directe est égal
au cardinal du groupe G, alors on a le résultat (Si n = p1 1 :::pt t ;
donc n = jGj, on a Gp1 ; Gp2 ; :::; Gpt sous groupe de Sylow;
t
P
puisque les pi sont à deux premier alors
Gpi = p1 1 :::pt t = n).
i=1
22
2.2. Dé…nition de Sylow sous-groupes:
Remarque 2.2.2.
a) La décomposition de G =
t
i=1
décomposition pi
b) Soit G = Gp1
Gpi , si jGj = p1 1 :::pt t est appeleé
primaire de G.
:::
Gpt la décomposition primaire d’un groupe
commutatif G d’ordre n = p1 1 :::pt t …ni, où pi ;
1
i
t sont les entiers premiers distincts deux à deux
et soit x 2 G tel que o (x) = pi , 1
Comme o (x) divise n, 0
i,
i
t et
2 N:
et comme pi est premier avec qi =
t
Q
p j;
j=i
pi est aussi premier avec qi : donc il existe a; b 2 Z tels que 1 = aqi + bpi :
On a donc x = 1x = (aqi + bpi ) x = qi (ax) + b (pi ) = qi (ax) ;
orqi (ax) 2 qi G = Gpi : Ainsi la composante pi
primaire Gpi de G
est l’ensemble de tous les éléments de G dont l’ordre est une puissance entière
i:e: :
Gpi = fx 2 G; 9 2 N : o (x) = pi g :
La dé…nition de Gpi motre bien l’unicité de la décomposition primaire
d’un groupe commutatif d’ordre …ni en somme directe avec
ses composantes primaires.
Exemple.
G = Z 6Z;
jGj = 6 = 2
3:
G2 = 3Z 6Z et G3 = 2Z 6Z;
Z 6Z = 3Z 6Z
2Z 6Z:
23
2.2. Dé…nition de Sylow sous-groupes:
2.2.2
Exemples pratiques d’utilisation des théorèmes de Sylow:
1-a)Les groupes d’ordre 63 et 255 ne sont pas simples.
En e¤et:
Soit jGj = 63 = 7
Le nombre de 7
et n7
32 comme 7
Sylow satisfait:
Sylow d’un groupe d’ordre 63 , noté n7 comme n7 j 9
1 mod 7 implique n7 = 1 donc 7
Sylow sous-groupe
d’un groupe d’ordre 63 est unique alors 7
Sylow sous-groupe distingué
donc le groupe d’ordre 63 n’est pas simple.
même méthode pour le groupe d’ordre 255.
Le 17
n17
Sylow d’un groupe d’ordre 255 est distingué,car n17 j 15 et
1 mod 17;
1-b)Le groupe d’ordre 56 n’est pas simples.
Soit jGj = 56:
Il s’agit d’un cas plus subtil que les précédents.
Car on n’a pas directement n7 = 1 ou n2 = 1:
Cependant, on peut montrer que n7 6= 1 ou n2 6= 1 sont contradictoires.
Ainsi, si n7 6= 1; alors n7 = 8. Les éléments de ces huit 7
sont deux à deux distincts sinon deux de ces 7
Sylow
Sylow seraient confondus .
On compte donc 48 éléments d’ordre 7.
Or 56
48 = 8, donc il n’ya alors qu’un seul 8
Sylow, qui est donc distingué.
2-Soient G et G0 deux groupes d’order 63, et N et N 0 leurs 7
Sylow respectifs.
Alors tout isomorphisme de G dans G0 envoie N sur un sous-groupe d’ordre 7,
donc un 7
Sylow donc N 0 puisque G0 ne possède qu’un seul 7
comme on l’a vu précédemment pour tout groupe d’ordre 63.
3-Soit G un groupe d’ordre 63. Alors c’est un produit semi-direct.
En e¤et, soit N un 7
Sylow: On a vu que N était distingué.
Par le premier théorème de Sylow, il existe un 3
Ce 3
Sylow H.
Sylow est nécessairement un complément de N ,
car N \ H = f1g en raison du théorème de Lagrange et N H = G
pour une raison de cardinal.
24
Sylow;
2.3. Groupes résolubles
2.3
Groupes résolubles
Dé…nition de suite normale 2.3.1.
On appelle suite normale d’un groupe G, toute suite …nie
G = G0
G1
:::
de sous groupes de G telle que, pour 0
i
Gn
1
Gn
1; Gi+1 est un sous groupe distingué
n
de Gi : Les groupes quotients Gi =Gi+1 sont appelés les facteurs de la suite normale et n est
sa longueur.
Dé…nition 2.3.2.
Un groupe G est dit résoluble s’il existe une suite
G = G0
G1
:::
Gn
1
Gn = feg
de sous groupe distingué dans G telle les facteurs soient abéliens.
Exemple.
S3 résoluble parceque:
1) f 0 g C A3 C S3 :
2) A3 = f 0 g = Z3
abélien.
3) S3 =A3 = Z2
abélien.
25
Chapitre 3
Groupe de Hall
3.1
nombre
Dé…nition 3.1.1.
Soit G un groupe.
Soit
l’nsemble des nombres premiers et
premiers qui divise jGj noté
0
l’ensemble complement de tous les nombres
(G) , un entier n est appelé un -nombre tel que pour tout
diviseur premier de n appartient dans
Exemple.
Soit G un
groupe tel que jGj = 420 = 22
= f2; 3; 7g ; alors x = 2 j 420 et 2 2
y = 5 j 420 et 5 2
=
3.2
3
5
7:
donc x = 2 est
donc y = 5 n’est pas un
nombre:
nombre; mais y = 5 est
0
nombre :
Nombre de Hall
Dé…nition 3.2.1.
Un -nombre de Hall est un nombre premier d diviseur de n tel que d et n=d
sont premiers entre eux.
Exemple.
Soit jGj = 24 = 23
3:
Si d = 3, on a 3 j 24 et (3; 8) = 1 donc 3 est un nombre de Hall .
Si d = 2, on a 2 j 24 et (2; 12) = 2 donc 2 n’est pas un nombre de Hall .
26
3.3. Sous-groupe de Hall
3.3
Sous-groupe de Hall
Dé…nition 3.3.1.[7]
Un sous-groupe H de G est appelé un -sous-groupe de G, si jHj est un -nombre
et est appelé un sous-groupe de Hall de G, si H est un -sous-groupe de G
et (G : H) est
0
nombre.
Exemple.
Soit jGj = 30 = 2
3
5:
= f2; 3g :
On a H le f2; 3g sous-groupe de Hall de groupe G, parceque:
jGj
= 5; 5 2
= ; donc 5 est
jHj = 6 donc est un -nombre, et (G : H) =
jHj
Remarque 3.3.1.
Un Hall
si G a un
0
0
nombre.
-sous-groupe d’un groupe G est appelé un Hall -complément de G
0
sous-groupe de Hall.
Lemme 3.3.1.[7]
Soit H est -sous-groupe de Hall de G.
1) Si H
N
G alors H est -sous-groupe de Hall de N .
2) Si N C G alors HN=N est -sous-groupe de Hall de G=N .
Preuve
1) Soit H est -sous-groupe de Hall, donc jHj est
un
nombre et (G : H) est
0
nombre.
0
Maintenant (N : H) divise (G : H), mais (G : H) est
est
0
nombre ,donc (N : H)
nombre d’où H
est -sous-groupe de Hall de N .
2) Nous devons montrer que jHN=N j est
et (G=N : HN=N )est
0
nombre
nombre.
Comme HN est un sous-groupe de G mais N C G et
(G=N : HN=N ) = (G : HN )
et (G : HN ) divise
(G : H), comme (G : H)=(G=HN ) = jHN j=jHj
est un entier mais H
Et (G : H) est
0
HN .
nombre donc (G : HN ) est
27
0
nombre,
3.3. Sous-groupe de Hall
alors (G=N : HN=N ) est
0
nombre,aussi HN=N = H=H \ N
et H est -groupe alors on a jHN=N j est
nombre,
donc HN=N est -sous-groupe de Hall de G=N .
Lemme 3.3.2.[6]
Soit H et K deux sous-groupe d’un groupe …ni G dont
les indices sont relativement premier alors:
1) HK
G en fait G = HK.
2) (G : H \ K) = (G : H)(G : k).
De plus, si H et K sont -sous-groupe de Hall de G alors H \ K
est un -sous-groupe de Hall de G.
Preuve
1) Pour démontrer HK
G, en réalité G = HK.
Soit jGj = n et (G : H) = n1 , (G : k) = n2 et jH \ Kj = m
alors jHj = mp
jKj = mq pour certains integrs p et q.
Maintenant jGj =jHj = n1 et jGj =jKj = n2 et n = n1 mp = n2 mq alors
n1 p = n2 q;
mais(n1 ; n2 ) = 1,si p = n2 v; q = n1 v pour certains entier v,
donc n = mn1 n2 v, d’autre part
n = jGj
(mp)(mq)=m = mpq = mn1 n2 v 2 ;
jHKj = jHj jKj= jH \ Kj =
alors v = 1 donc
jHK j = mpq, d’où G = HK.
2) tant que (G : H \ K) = jGj= jH \ Kj = mn1 n2 /m = n1 n2
= (G : H) (G : k):
Soit p un nombre premier qui divise jH \ Kj :
Maintenant H \ K
K et H; K sont des
-sous-groupes
de Hall, alors H \ K est un -sous-groupe
et puisque p ne divise (G : H) ni (G : k) mais,
(G : H)(G : K) = (G : H \ K),
donc p ne divise pas (G : H \ K) alors (G : H \ K) est
donc on a H \ K est sous-groupe de Hall de G .
28
0
nombre,
3.3. Sous-groupe de Hall
Lemme 3.3.3.[7]
Si H est un
est un
groupe de Hall de G et M C G alors
sous
sous
H \M
groupe de Hall de M .
Preuve
tant que H \ M C H puisque M C G et jHj est
alors jH \ M j est
Aussi
mais M H
nombre,
nombre .
(M : H \ M ) = (M H : H),
G puisque M C G alors
jM Hj divise jGj donc(M H : H)
divise (G : H) mais (G : H) est
alors (M H : H) est
0
on a (M : M \ H) est
implique M \ H est un
0
nombre,
nombre,
0
nombre,
sous-groupe de Hall de
M:
Remarque 3.3.2.
Certains groupe …ni ne contient pas nécessairement de
-sous-groupe de Hall.
Exemple
Soit G = A5 et prendre
= f3; 5g, jA5 j = 22 3 5:
Toute -sous-groupe de Hall de A5 (où
= f3; 5g) aurait indice 4 prendre
la représentation régulière de A5 comme groupe de permutation sur les quatre
classes à de H à A5 , alors il existe homomorphisme f :
A5 ! S4 ; ker f 6= f 0 g
parce que si ker f = f 0 g ) A5 = les sous-groupes de S4 ;mais
donc ker f 6= f 0 g, nous connaissons ker f C A5
pour cela on a un contradiction,
parce que A5 est simple. Donc n’exist plus sous-groupe
d’index 4 alors n’exist pas f3; 5g sous-groupe de Hall.
Lemme 3.3.4.
Soit G un groupe …ni avec Hall-sous-groupe H et
des sous-groupes distingues K et L de G,
alors: H \ KL = (H \ K)(H \ L) :
29
jA5 j > jS4 j
3.4. Théorème de Hall
3.4
Théorème de Hall
Théorème 3.4.1.[7]
Si G est un groupe …ni résoluble et
est un ensemble du nombres premiers (
(G))
on a :
1) G contient un
groupe de Hall:
sous
2) toute
sous
groupe de Hall sont conjugués :
3) toute
sous
groupe de G lies
dans quelque
sous
groupe de Hall de G :
Preuve
Nous montrons par induction sur jGj et nous considérons
deux cas:
Premier cas:
Soit G contient un sous-groupe normal et minimal N de telle
sorte que G=N n’est pas un
groupe.
1) Supposons que tout groupe résoluble …ni avec l’ordre moins
que jGj à un
sous-groupe de Hall,
donc G=N contient un
sous-groupe
de Hall soit H=N , puisque G=N n’est pas
groupe
G < H alors G=N < H=N .
Ainsi encore par induction H il faut contient un
sous-groupe de Hall dire K,
nous avons besoin maintenant de montrer que (G : k) est
0
nombre,
on a (G : K) = (G : H) (H : K) et (G : H) = (G=N : H=N ) et puisque H=N est un
sous
groupe de Hall de G=N , donc (G : H) n’est pas divisible par
un nombre premier en , et (H : K)n’est pas divisible par un nombre
premier en
donc (G : K) est
0
nombre, alors K est un
sous
groupe
de Hall de G.
2) Pour montrer deux
sous
groupe de Hall sont conjugués.
Soient H1 et H2 deux
sous
groupe de Hall de G alors H1 N=N et H2 N=N
sont
sous
groupe de Hall de G=N , et puisque jG=N j < jGj donc par induction,
ils sont conjugués dans G=N , nous avons donc (H1 N=N )g = H2 N=N;
30
3.4. Théorème de Hall
alors (H1 N )g = H2 N pour certains g dans G,
H1g N = H2 N .
alors (H1 )g
Maintenant, puisque G=N n’est pas
groupe donc,
comme G < H2 N et G=N < H2 N=N avec H1g et H2
sont
sous
groupe de Hall de G par
le lemme (3.3.2.) H1g et H2 sont
groupe de Hall
sous
de H2 N ,
à nouveau par induction H1g etH2 sont conjugués
dans H2 N on a de même que H1 et H2 sont conjugués dans G.
3) Soit M une
sous
groupe de G et M N=N est un
donc par induction M N=N se trouve dans un certain
H=N de G=N , mais G=N n’est pas
sous
donc H < G alors H contient un
sous
sous
groupe de G=N
groupe de Hall
groupe, comme H=N < G=N
sous-groupe de Hall, soit K qui est également
sous-groupe de Hall de G, et KN=N est -sous-groupe
de Hall de G=N mais KN=N
H=N , alors KN = H, (comme KN=N et H=N sont
sous-groupes de Hall de G=N ) alors, M
puis par induction M se trouve en
de KN mais K est une Hall
se trouve dans un
H = KN donc M
MN
KN ,
sous-groupe de Hall
sous-groupe de KN , donc M
K et M
sous-groupe de Hall K de G.
Deuxième cas.
Supposons que G n’a pas de sous-groupe normal et minimal N tel que jG=N j
est divisible par certains p dans
0
.
Soient N1 ; N2 deux sous-groupes normaux minimaux dans G alors N1 \ N2 C G donc
N1 \ N2 = h1i implique
jGj = (G : N1 \ N2 ) = (G : N1 ) : (N1 : N1 \ N2 )
= (G : N2 ) : (N1 N2 : N2 )
Puisque (G : N1 ) ni(G : N2 ) sont divisibles par p dans 0 ;
ainsi (N1 N2 : N2 ) n’est pas divisible par p dans
signi…e que G est un
(car
6=
0
cela
groupe qui une contradiction
(G)) plus de cela G doit contient un minimum,
31
3.4. Théorème de Hall
normale sous-groupe dit N et G=N est
groupe.
Maintenant, si jN j est divisible par p dans
alors G est
groupe
puisque G=N est
groupe alors N est
0
groupe,
mais N est un sous-groupe minimal normal unique de groupe résoluble G alors N est
abélien p-groupe; alors N est un p-Sylow de G , et jN j=p ; p 2 :
1) Maintenant, de démontrer G dispose d’un Hall -sous-groupe.
Soit L un normal sous-groupe de G tel que L=N est un sous-groupe normal minimal de
G=N ; alors jL=N j = q ,
q2
si jLj = p q :
Soit L1 soit un p-Sylow de Let soit M1 = NG (L1 ).;
M = NN (L1 ) = M1 \ N . Nous devons montrer que M = M1 \ N = h1i :
D’abord, nous montrons que M
Z(L) et nous montrent que Z(L) = h1i depuis
N \ L = h1i :
On a jN L1 j = jN j.jL1 j = p q = jLj et L = N L1 .
Soitx 2 M1 \ N et puisque L = N L1 ) l = nl1 tell que l 2 L; l1 2 L1 et n 2 N:
Maintenant que nous devons montrer xl1 = l1 x a…n de disposer x:l = l:x
et x 2 Z(L):( xl1 x 1 )l1 1 2 L1 ; depuis x 2 M1 = NG (L1 ) mais depuis N est normale et
x 2 N alors xl1 x 1 l1 1 2 N \ L1 = h1i
donc xl1 = l1 x et x:l = l:x alors x 2 Z(L) et M1 \ N = M
Z(L)
mais Z(L) C G; (Z(L) est sous-groupe caractéristique de L;
et L normale dans G donc Z(L) est normale dans G) .
Maintenant si Z(L) 6= h1i puis N
Z(L) puisque N est sous-groupe normale minimal
de G et L = N L1 donc L1 C L;mais
L1 est Sylow q-sous-groupe de L alors jL1 j et [G : L1 ]
sont premiers entre eux donc L1 est caractéristique dans L
alors L1 est normale dans G implique N
L1 est une contradiction puisque le N \L1 = h1i
donc
Z(L) = h1i
32
3.4. Théorème de Hall
et
M = NN (L1 ) = N \ M1 = h1i :
Maintenant, pour montrer NG (L1 )est une
sous-groupe de Hall de G.
L1 est un Sylow q-sous-groupe de L et LCG donc par largument Frattini
G=
LNG (L1 ) = N L1 NG (L1 ) = N NG (L1 );
maintenant N \ NG (L1 ) = NN (L1 ) = M = h1i
donc NG (L1 ) est un complément de N dans G,
alors N est un
est
0
groupe et G=N est
groupe donc NG (L1 )
groupe et puisque (G : NG (L1 )) = jGj = jNG (L1 )j = jN j
0
alors [G : NG (L1 )]est un
d’où NG (L1 ) est un
nombre
sous-groupe de Hall deG;
alors dans ce cas G dispose d’une Hall
2) Soit H un
sous-groupe.
sous-groupe de Hall de G , alors (G : H) et (G : L) sont premiers entre
eux ainsi le lemme (3.3.2.) G = HL,
puisque(L : L \ H) = (HL : H) = (G : H) = jN j = p ; p 2
0
On a jLj = jN j jL1 j = p q et jL \ Hj = jLj =p = p q = p = q = jL1 j
donc chaque -sous-groupe de Hall de G contient un Sylow q-sous-groupe de L,
c’est L1
H alors L1 = H \ L C H comme L C G donc H
plus de cela H et NG (L1 ) sont à la fois Hall
NG (L1 ),
sous-groupe
de G alors H = NG (L1 ),
d’où toute
sous-groupe de Hall de G est la normalisée de toute les conjugués de
L1 implique sont conjugué à NG (L1 ).
3) Si K est un
KN
sous-groupe de G et n’est pas
sous-groupe de Hall de G donc
G alors G = HKN implique
(G : H) = (HKN : H) = (KN : H \ KN )
mais (G : H) = p ; p 2
0
donc (KN : H \ KN ) = p :
D’autre part K \ N = h1i de cela jKN=Kj = jN j = p
d’où H\ KN est un sous-groupe de H et jH \ KN j =jKj.
Maintenant jKN=Kj =jN j et N est
0
groupe ainsi K est un
de KN ;
33
sous-groupe de Hall
3.4. Théorème de Hall
plus de cela K est conjugué à un sous-groupe de H \ KN
dans KN ,
donc K est conjugué au sous-groupe de H alors K est un
sous-groupe de Hall H de G:
34
sous-groupe lies dans un
Conclusion générale
Conclusion générale
Le domaine de théories de groupe est très vaste et dans ce travail nous traitons une
section peu fréquenté.
C’est l’extension des p-groupes vers
groupe vers
groupes, précisément l’extension de Sylow p-
groupe de Hall .
Nous espérons bien qu’on est parvenu bien présenter ce mémoire-ci dernier, nous soutraction que ce sera un document serviable pour les prochaines étudiants en mathématiques.
34
Conclusion générale
35
Bibliographie
[1] G.Costantini; Groupe des permutation d’un ensemble …ni , édition 2012.
[2] Jean Delcourt ; Théorie des groupe, 2eme Editions , Dunod Paris 2007.
[3] John-B Fralengh; A First cours in Abstract algébra ,Département of Mathematique
Université of Rhode-Island,édition 1981.
[4] Roger.Godement;Cours d’algeber;3eme edition.Paris1968.
[5] A.Hitta;Cours d’algebre et exercices corrigés;O.P.Universitaires 2006.
[6] Kenieth.S.Miller.P.H.D.;Element of Modern abstract Algebra;Happer’s andow Mathematic serie;éditor 1973(Charls A.Mutchenson).
[7] W.Hall ; Hall work paper mathematic (Springer),2004.
[8] Mohamed Zitouni; Algèbre,O-P-Universitaire, édition 1993.
36