Le mémoire de Hall et Higman sur la p-longueur des

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
M ICHEL L AZARD
Le mémoire de Hall et Higman sur la p-longueur des
groupes p-résolubles
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 13, no 2 (1959-1960), exp. no 20,
p. 1-10
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1959-1960__13_2_A9_0>
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Séminaire DUBREIL-PISOT
(Algèbre et Théorie des nombres)
13e année, 1959/60, n° 20
20-01
LE MÉMOIRE DE HALL ET HIGMAN
SUR LA
p-LONGUEUR
p-RÉSOLUBLES [1]
DES GROUPES
par Michel LAZARD
Cet
exposé
ne
prétend
Beaucoup d’énoncés
être
nullement
seront même pas
ne
un
résumé du mémoire de HALL et HIGMAN.
et
reproduits,
nous ne
pourrons donner que
des aperçus des démonstrations. Notre seul but est de donner une première idée des
méthodes et des résultats contenus dans l’article en question, et de souligner son
importance.
1. Notations et définitions.
Dans tout cet
exposée "groupe" signifiera "groupe
L’ordre d’un groupe
Ord x ).
La notation " N
G
G
(resp.
n
signifiera
d’un élément
que
G)
x e
est
un
sera
noté
(resp.
Ord G
distingué
sous-groupe
du grou-
G.
pe
désignerons par n un ensemble
complémentaire. Quand r~ se réduira à
p et p’ au lieu de {p} et ~p ~’ .
Nous
"
N
fini".
n|’03A0
Il
signifiera
Un groupe
G
l’ensemble
premier p ~ nous écrirons
Si n est un entier naturel, la notation
tous les facteurs premiers de n appartiennent à 03A0 .
que
dit
sera
II~
de nombres premiers, par
un
seul nombre
n-groupe si Ord
un
G|03A0 (ce
qui équivaut
à
V
x e
G ,
.
Ord
Une suite de
composition
dans
un
groupe
groupes, allant de l’élément neutre
tingué
Une
G
est
jusqu’à G ~
une
où
suite croissante de
chaque sous-groupe
sous-
est dis~
dans le suivant.
n-suite dans
tients sont des
Un groupe
G
Un groupe est
résoluble
un
n-groupes
sera
dit
une
est
une
suite de
composition
dont tous les uo.
des
ou
03A0-résoluble s’ il possède
p-résoluble
(considérer
G
groupe
pour tout nombre
suite de
premier
Jordan-Hölder).
n-suite.
une
p
si et seulement s’il est
La
n-longueur d’un groupe 03A0-résoluble
bre minimum de
2.
il-groupes qui apparaissent
G
égal
est
comme
quotients dans
n-suites deccendantee et ascendantes d’un groupe
G ~ définissons
Pour tout
~(G ~ n)
03A0-suite de G.
une
03A0-résoluble.
~(G ~ II)
des sous-groupes
au nom-
et
plus petit sous-groupe distingué de G tel que G/~(G ~ IT)
soit un il-groupe. On établit son existence en le définissant comme le sous-groupe
engendré par les puissances n-ièmes de tous les éléments de G ~ où
et n
est "assez grand" (c’est-à-dire divisible par le plus grand diviseur
n~ de Ord G
tel que
Il résulte de cette seconde définition que, pour tout homomorphisf :
me
est le
G... H ,
’~~G ~ n)
on a
est le
plus grand sous-groupe distingué de G qui soit un IT-groupe.
existence en remarquant que le produit de 2 n-sous-groupes distingués
On établit
son
de
encore un
G, est
03A0-sous-groupe distingué.
Pour tout
épimorphisme
f :
G ~ H ,
on a
Puisqu’on s’intéresse
on
de
nombre
n-groupes quotients
extrêmes sont des
pourra supposer que les quotients
réduits à l’élément
Soit
.
au
n-groupe (resp.
croit plus rapidement que (A.)
D’autre
un
part, l’extension
en
on
l’obtient
pair
en
posant
(resp. pair).
sous-groupes sont
Nous utiliserons
toutes les
un
en
d’un
résulte l’existence d’une
Il
03A0-suites de
G s
Dégroupes (éventuellement
neutre) ..
AO = G p A ~ k , , , p. A =
est
dans les
=
1
n-suite du groupe
une
03A0’-groupe)
posant
contraire la
n-suite qui dé-
i,
par
un
(resp.
=
est donc atteint pour
$(A~ ~
une
distingués (et même complètement invariants)
au
une
G. Si
n-groupe est encore un 03A0-groupe.
descendant plus vite que toutes les autres ;
$(A~ ~ n)
L’entier
formerons
B. = A .
n-groupe
n-suite
nous
soluble
03A0-suite
n-suites dont les sous-groupes
n’) )
pour
i
im-
suite dont tous les
dans
G ~
ascendante, qui croît plus
sont distingués.
vite que
C’est la suite
obtient
que i’on
i
$. 0 ;
Nous
n’ )
posant
est le plus petit entier i tel
N./P.
en
conserverons
les notations
3. Introduction d’une
P /N
dit,
quotient,
P
l
contient
contient
son
son
=
que
dans cet
représentation linéaire
LEMME 1. - Le sous-groupe
Autrement
N,
Pi ,
= ’~(G/~i. z 9
et
II) ~
pour
G .
exposé.
des groupes
p-résolubles.
centralisateur modulo
centralisateur dans
G/N .
Nous passerons
Z le centrali-
qui permet de supposer que IL = (1) . Soit
sateur de
Z ~ Pi est un sous-groupe distingué de Pi Z , distinct
Pl. Si
de
P. Z . Choisissons un sous-groupe M ~ minimal pour les propriétés suivantes :
M G ~
donc
au
ce
Pl ¿
n-groupe ou un n’ -groupe (d’après
aux suites de compositions dont tous les sousle théorème de
groupes sont distingués). M/P. ne peut pas être un n-groupe (car P 1 = ’’~ G ~ II~ ~ ~
donc est un IT-groupe. Donc (cf. ~~~ ~ théorème ~59 p. 132) il existe un sous-groupe
Comme X c
X , tel que XP ~ : = M ~
P I Z et que Z centralise P. ~
tout élément de X opère sur P1 , par automorphisme intérieur’ comme un élément
de
II’ -groupe. Donc X centralise
un
Pl. Or .Pi est un 03A0-groupe, et X =
M = X x
P 1 (produit direct) , X est caractéristique dans M ~ donc distingué dans G i contrairement aux hypothèses X ~ (1) ~ ~;G ~ ih) = N ~ (1) .
Puisque
G
03A0-résoluble, M/P
Jordan-Hölder appliqué
est
est
un
X nPl = (1) .
M/P
Nous supposerons désormais que
étudierons les groupes
TI
se
on
définit
son
groupes maximaux de
un
riel
le
sur
nombre
premier
p ~ et
nous
des
sous-groupe de Frattini
G ~ alors
on a
G
p-groupes. Si
F
comme
est
un
p-groupe,
l’intersection des sous-
les résultats suivants :
F
est
engendré
par
p-ièmes puissances x? des éléments de G ; G/‘F
p-groupe abélien élémentaire ; sa dimension, en tant qu’espace vectoest le nombre minimum de générateurs de G , Les
corps premier Z
les commutateurs
est donc
un
p-résolubles.
Rappelons d’abord quelques propriétés
et si
réduit à
(x ~ y)
et les
automorphismes intérieurs de G induisent l’identité sur
phisme de G qui induit l’identité sur G/F a pour ordre
G~’ ~
une
et tout automor-
puissance de
p .
LEMME 2. - Soient
du
G
groupe
p-résoluble,
est
P/F
induits
les
Alors
p-groupe
P./F
morphismes de
une
un
le sous-groupe de Frattini
et les autoespace vectoriel sur
automorphismes
par
représentation fidèle
un
F/N0
et
Z ~G
intérieurs de
fournissent
de
Le noyau de la représentation de G dans
est un sous-groupe distingué
ne peut pas être un
K o
p-groupe (d’après la définition de la p-suite
il existe g e K d’ordre premier a p Comme
ascendante). Donc, si K ~ P1 ,
P/F
K/P
P. ;
d’autre part g induit l’identité sur
il doit induire l’identité sur
donc il appartient à
d’après le lemme 1 ; il y a contradiction, et K =
P1/F ,
COROLLAIRE. - 4
P
En
si
effet,
ments de
H
(G/F)
G/F
= l_
P
P
1/N0
P$
(G) .
contenait
centraliseraient
un
p’-sous-groupe distingué H/F ~ (1) ,
les élé-
module
F , donc module N0 , donc appartiendraient à
P. (lemme 1), ce qui est impossible. la p-suite ascendante de G/F
est donc donnée par les sous-groupes P./F et Ni/F , ce qui démontre l’égalité
l
P.
p(G/F) = lp(G) .
On notera par aillours la relation:.
4. Rolations entre la
p-groupes de
Soient
G
d’un groupe
p-résoluble
et la structure de
ses
Sylow.
un
groupe
prenons l’intersection
p-résoluble,
avec
S
d’t.n©
et
S
groupe de
un
p-suite
de
G ,
nous
obtenons
de
G. Si
une
suite de
nous
composition de S dont les quotients sont précisément les p-groupes parmi les
quotients de la ~suite dans G (remarquer qu’on obtient des sous-groupes des quotients de la suite dans G ~ puis considérer las ordres) . Il en résulte que l’ enne peut être grand que si
tier l
S est "grand" ou "compliqué". L’essentiel
du travail de HALL et
consiste en des énoncés précis qui minorent, on fonc-
p(G)
tion de
t
p
(G) ,
certains invariants de structure de
S , Voici
ces
invariants:
b
l’I) bP , où p P est l’ordre do S ;
(2) c , la classe de S (nombre minimum de quotients dans une suite centrale
de S );
(3) dp , longueur de la série dérivée do S (nombre minimum do quotients dans
suite de compsition à quotients abéliens);
e
P est
où
(4) ep ,
maximum do ses
p
l’exposant de S 9 c’est-à-dire l’ordre
’
’
,
,
éléments.
une
Rappelons qu’un nombre premier de Fermat
premier de Mersenne de la forme 2n - 1 .
Voici maintenant
,
quelques-uns
G
Si
1,
+
et
nombre
un
des théorèmes de HALL et HIGMAN.
,
THÉORÈME. -
est de la forme 2n
,
est
un
groupe p-résoluble,
si
p
n’est pas
et
p
~
nombre
un
~
promier impair,
alors
(1 )
d
P
z .&P
"
(2)
1
P
e P % [§(1P
De, plus,
ces
1)]
si
inégalités sont
les
+
THÉORÈME. - Si
p
est
impair
Si
p
est
un
Les démonstrations
p
un
est
nombre premier
un
nombre de Fermat.
meilleures possibles.
et n’est pas
nombre de Format
procédent
par récurrence
un
généralement
un
vectoriel de dimension finie
groupe
sur un
m
dre
toutes
Alors
ses
H
sur
de
Fermat :
à 3 :
les
1la, fin utilisant
du numéro 3 .
en
d’automorphismes linéaires
corps de
caractéristique
relations
d’un espace
p , Soit
g ~ H
d’or-
m
g" ~l==(g-’l)~ =0~ce
valeurs propres
nombre
supérieur
= ~ (G) - 1 ~ ~ (G/F) == ~ (G) ~
Considérons
de Fermat
égales
à
1 ).
De
qui montre
même
que g
m-1
(g - 1 )P
est unipotent
m-1
= gp
(a
~1~0.
Le
polynôme
minimal de
inégalité vérifiée
par
g
est donc
r
ne
(X - l)~ ~
Cette double
r~$
peut évidemment pas être améliorée dans le cas généavec
ral. Par contre HALL et HIGMAN ont obtenu des
inégalités bien plus fines en faisant
les hypothèses suivantes sur H : H est p-résoluble et UB contient pas do p-sousgroupe distingué non trivial. Ces hypothèses sont vérifiées quand H est le groupe
(notations du n° 3). AppeG/P1 , considéfé comme groupe d’automorphismes de
lons alors
"exceptionnel"
à-dire tel
que
Si
p ~2
Si
p
est
n’est pas
Si
p
=
(g " l)" "
n’est pas
un
élément
un
=
nombre de
un
pour
’
q.2 mmy ,S r ;
H
a
De
si les éléments
plus,
Fermât~ alors
l)
de
Sylow
.$
r
des
un
alors
g
est
dans tous les cas, et
q
=
2 m~ - 1
q-sous-groupe
q-sous-groupes de
2~ ~
c’est-
r
g
est abélien.
H
de
possède
H
lequel
toi que
n’est pas exceptionnel.
g
dans tous les cas ; si
r
nombres de Mersenne inférieur à
9
d’ordre
les résultats suivants :
a
2-groupe
3~2 " ~ $
alors
petit nombre de Mersenne
alors
H
nombre de Fermât, alors
exceptionnel si le
2 ,
0 . On
e
g
est le
non
plus
abélien,
Sylow abéliens pour tous les
non exceptionnels
même p-sous-groupe do Sylow S de H
sont tous deux exceptionnels, alors les éléments d’ordre p dans les groupes cycliques engendrés par g et h commutent.
g
et
h
du
~~’
Contentons
sage fort
long
Montrons,
(
p
nous
par
ces
’
’
résultats par
un
dévis-
ingénieux.
contre,
comment ils
en
déduisent les relations entre
e
et lp
impair).
Reprenons le
opère
et
de dire que HALL et HIGMAN démontrent
’
sur
P.
groupe
par
=
p-résoluble G ,
où
automorphismes intérieurs.
Nous notons
g
supposerons F
Nous posons hg =
nous
additivement,
un
=
1 . Alors
g-1 h g ,
exposant,
les
G/R
opérateurs
~r
LEMME 3. - Soient
g
On aj, pour tout entier
s
G,
r :
h ~ P1 ,
et soit
q
une
puissance de p. Alors
sur
Si
=
q
est
P1
un
d’où la
est
r
groupe abélicn
première
Soit
S
2m - 1
puissance de p ~
une
un
p-groupe,
contient
représentation
Soit
(la
°
sur
d’ expo sant
un
m.
p
(rappelons
P)
commutent dans
=
m
e*(S) é gal
Introduisons l’invariant
=
S~
~’ e~ S ~ l)] . Si
que
et à
2m
S est
à
dans le
un
p-sous-
posons
élément d’ordre maximum
gP.
non
exceptionnel
(pour
la
alors
d’ordre maximum
gP~
un
caractéristique
relation. Ensuite :
si toutes les
Si
en
élémentaire) :
puissances
cas contraire. Dans chaque cas,
e(S)
de
groupe
Sylow d’un groupe G t nous
.
on a,
pm
dans
G/P .Si gP ~1 ,
alors
m
relation
ep(G)
h e P.. Nous avons,
et dire que
avec
gP~
h~"~ ~
Nous
en
trivial),
dans le
d’après
1
est
évidente). Sinon,
n’est pas exceptionnel signifie
pour
précisément qu’il
existe
h
=
P
1 ~
la relation
où
calculons (gh)p
le lemme 3 :
déduisons tout de suite, par récurrence
cas
tionnel).
+
p > 2
n’est pas
un
sur lp
nombre do Fermat
(le
(il n’y
a
=
1
étant
pas d’élément excep-
Si maintenant
est
p
un
nombre de
Supposons d’abord
pas
être
voit
exceptionnels, puisque les puissances
précédemment
comme
=
que
il
=
Mais
nous
(X -
1)r , où
alors
tel que
Dans tous les cas,
Désignons
II
au problème de
(S )
existe,
pour
résultats de
nombre premier
tel que
G
q
soit d’ordre
gP.
on
1,
m +
pour démontrer
ne
Nous avons,
minimal annulé par
l’opérateur associé à
p 3 . Par définition,
donc
e*p(G) e*p(G/P1)
en
+
est
g
il existe
et les relations :
1,
résultant par récurrence
sur
t
.
P
Burnside.
chaque entier positif k ,
résoluble d’exposant
au plus égal à s
THÉORÈME. - (Sn)
pas, et
l’énoncé suivant :
groupe
Parmi les
peuvent
ne
ne
2m - 1 .Si
[1 2(lp(G) + 1)1)
par
les éléments decommutent
..
nous avons
e*p(G) lp(G) , ep(G)
Applications
~
g
polynôme
(p - 1)pm-1 2pm-1,puisque
r
môme la relation
l’exposant de G est
2 . Sinon l’ exposant de G est m , et,
faut démontrer que toutes les puissances
=
que le
savons
de
que
commutent pas dans. G . Soit
d’après le lemme 3 ~
(S )
2m . Alors tous
=
Supposons maintenant
e*(G) 2m + 1
e*(G) 2m , nous
5*
F8rmat, démontrons
HALL
qui
n
divisant
n .
entier
peut-être engendré
et HIGMAN,
est vrai pourvu
un
que
nous
(S )
par
s .
n
tel que tout
éléments ait
un
ordre
signalerons le théorème suivant :
soit vrai pour
chaque puisssance de
qu’un classe
morphismes de groupes,
a qu’un nombre fini de
engendrés
.
Soient
et
Ci
qui
et à
Si
C
Désignons
deux classes de groupes.
C2
G
des groupes
de groupes
éléments.
k
par
(finis),ou,
plus précisément? de types d’isoa la propriété de Burnside si~ pour tout entier
k ~ il n’y
groupes de C (aux isomorphismes près) qui peuvent être
C
Disons
ont
un
sous-groupe normal
N
propriété
de
la classe
C 1 C2
par
G/N appartienne
tel que
à
Ci
C2 .
LEMME 4. -
ont le
et C2
Burnside, il
en
est de
môme de
Cl C~ .
G
Soit
un
générateurs,
Schreier
N
groupe,
G~
l’ordre de
est
G/N
E
N
C
majoré
par
e
un
C? .
Si
entier
n(k) . D’après un
peut-être engendré
les sous-groupes des groupes libres, N
k’ = 1 + n(k)(k - 1 ) éléments. Son ordre est donc majoré par
et celui de G par n(k) n’(k’) .
sur
COROLLAIRE. - Si
C , ... ~ Cr sont
de mme de
C,
Burnside, il
en
est
introduction
de
parenthèses9
En
ce
qui
Il suffit donc
... ~
où le
C3s
n . Si ce
théorème
entier
par
n’ (k’ ) ,
propriété de
calculé après
produit est
d’une manière quelconque.
les
remarquer que
nombre est
1, rien
à
(Ci1 C z~ C33 c
droite.
Démontrons maintenant le théorème par récurrence
miers de
un
k
des classes ayant toutes la
parenthèses, on peut
d’introduire les parenthèses à
concerne
G/N~ a
G 9 donc
sur
1 z C3)
3
le nombre do facteurs
démontrer. Sinon
n
a au
moins
un
fac-
premier impair, soit p . Posons n = ~ p f m non divisible par p . La
p-longueur d’un groupe résoluble d’exposant n est au plus 2e . Ainsi, si l’on
note
C la classe des groupes résolubles d’exposant n .
teur
avec
(4e
d’après
(S ) .
+
1)
facteurs.
la récurrence. Il
C
~
en
a
la
propriété
do Burnside par
est donc de même de
G ,
ce
hypothèso,
et
C
m
qui constitue l’énoncé
.
20-10
BIBLIOGRAPHIE
[1]
HALL (Philip) and HIGMAN (Graham). - On the p-length of p-soluble groups
and reduction theorems for Burnside’s problem, Proc. London math. Soc.,
Series 3, t. 6, 1958, p. 1-42.
[2]
ZASSENHAUS
(Hans). - The theory
of groups. 2nd edition. -
Vandenhoeck and Ruprecht ; New York, Chelsea, 1958.
Göttingen,