Électromagnétisme Électrostatique - e
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Électromagnétisme Électrostatique → − But : Exprimer un champ électrique E ou un potentiel électrique V. −−→ PM dq(P) 3 P∈D PM Z 1 dq(P) V(M) = 4πε0 P∈D PM → − E (M) = Relations de Coulomb 1 4πε0 Z La grandeur est calculée au point M en intégrant les contributions des charges élémentaires dq situées en P, qui s'écrivent, selon le type de distribution D : dq = λd` ou dq = σdS ou dq = ρ dτ → − E (M) = Si les N charges sont ponctuelles : −−→ N Pi M 1 P qi 4πε0 i=1 Pi M3 V(M) = N q 1 P i 4πε0 i=1 Pi M La charge n◦ i est située en Pi . Le champ est calculé en M. Rem : Si les charges ne sont ni dans le vide ni dans l'air, il faut remplacer la permittivité ε0 par ε0 εr . → − → − E = − ∇V Dénition de V : ou − → − → E · d ` = −dV Rem : ne pas oublier la constante lors de l'intégration de E ! Z B UAB = VA − VB = − → − → E · d` A Orientation, direction, dépendances Le champ électrique a tendance à fuir les charges positives et à être attiré par les négatives. Il a des anités avec les symétries, ce qui permet souvent de trouver sa direction : → − E appartient aux plans de symétrie et est perpendiculaire aux plans d'antisymétrie. Les invariances de la distribution D de charges se retrouve dans les invariances du champ (principe de Curie) : étudier les invariances par translation selon x, y, z, r et par rotation selon θ, ϕ. Chaque fois qu'on trouve une invariance, le champ ne dépend par de la variable correspondante. Dénition de C (en farad (F)) Q+ = C.(V+ − V− ) = C.U Dipôle : moment dipolaire d'un doublet −→ → − p = q NP L'approximation dipolaire : r d : on est très loin du dipôle : Champ et potentiel → − E = − →)− → → − 1 3(→ p ·− u r ur − p 4πε0 r3 et V= → − → p ·− u r 4πε0 r2 −−→ →. La décroissance de E en 1/r3 est caractéristique du dipôle. Dans le champ : coordonnées sphériques : OM = r− u r Forces → − Action d'un champ E sur une charge q : → − − Actions d'un champ E sur un dipôle → p : Énergie potentielle : resume-emag-enscr1.tex Ep = q V → − → − F =q E −−→ − → → − − F = grad → p ·E − → → − − et M = → p ∧E → − − (charge dans V) ou Ep = −→ p · E (dipôle dans E) 1/7 Savoir-faire Calculer le champ électrique et le potentiel créés par une distribution de charges donnée. Savoir vérier ses résultats physiquement : → − Savoir orienter E : du + vers le −. Le champ électrique fuit les charges +. Il diverge. Le champ électrique respecte les symétries (image dans un miroir). Savoir comparer ses résultats aux classiques. Méthode 1. Faire un dessin en 3D ou en projection. 2. Choisir un système de coordonnées approprié. 3. Chercher les plans de symétrie/antisymétrie de la distribution de charges, qui passent par M, pour en déduire → − la direction de E (M). → − 4. Étudier les invariances de la distribution de charges pour les déduire les dépendances de E . (rotation ou translation selon les trois variables) → − 5. Écrire l'élément de champ électrique d E (M) correctement, en fonction de l'élément de charge dq(P). 6. Bien exprimer l'élément de longueur/surface/volume selon ce qui évolue et la géométrie. Théorème de Gauss → − → − Choisir une surface fermée appropriée (E constant sur la surface ou E ⊥ d S ) Pour cela, il faut susament de symétries dans le système. ZZ → − → − Q Évaluer la charge contenue à l'intérieur de la surface de Gauss E · d S = int ε0 Superposition L'électrostatique est un domaine largement linéaire, on peut ainsi ajouter les contributions au champ de chacune des sources. Ex : le champ créé par deux plans parallèles est égal à la somme des champs créés par chacun des plans, pris seul. Résultats classiques Plan chargé : → − σ → − E =± n 2ε0 Fil inni : → − E = λ − → u r 2πε0 r Charge ponctuelle : → − E = q − → u r 4πε0 r2 Conducteurs Hors l'équilibre : Loi d'Ohm locale : − → − = γ → E → − = ρ→ − v À l'équilibre : Pas de courant macroscopique. Les champs à l'intérieur sont nuls. Les charges se répartissent en surface. resume-emag-enscr1.tex 2/7 Magnétostatique → − But : Exprimer un champ magnétique B . Relations fondamentales → − µ0 B (M) = 4π Relations de Biot et Savart −→ −−→ dC ∧ PM PM3 P∈D Z −→ La grandeur est calculée au point M en intégrant les contributions des courants élémentaires dC situés en P, qui s'écrivent, selon le type de distribution D : − → → − dC = i d ` ou −→ → dC = − s dS ou −→ → dC = − dτ Rem : Si le champ n'est ni dans le vide ni dans l'air, il faut remplacer la perméabilité µ0 par µ0 µr . Orientation, direction, dépendances Le champ magnétique a tendance à s'enrouler autour des lignes de courant, dans le sens déni par la main droite. Il a des anités avec les antisymétries, ce qui permet souvent de trouver sa direction : → − B appartient aux plans d'antisymétrie et est perpendiculaire aux plans de symétrie. Les invariances de la distribution D de charges se retrouve dans les invariances du champ (principe de Curie) : étudier les invariances par translation selon x, y, z, r et par rotation selon θ, ϕ. Chaque fois qu'on trouve une invariance, le champ ne dépend par de la variable correspondante. ZZ I= − → − · d→ S (I en A et en A.m−2 ) S · d` (I en A et S en A.m−1 ) Z I= Dénition de l'inductance L ZZ ΦB = → − → − B · d S = L.I (en henry (H)) ΦB est le ux du champ magnétique à travers le circuit. Loi de Lenz-Faraday e=− dΦB dt induction La force électromotrice (fem) e, tension en volt (V), apparaît dans un circuit soumis à un champ B variable. Dipôle : moment dipolaire d'une boucle → − → − m=i S → − S est le vecteur surface, perpendiculaire à la boucle, dirigé par la main droite (doigts dans le sens du courant, pouce dans le sens du vecteur) L'approximation dipolaire : r d : on est très loin du dipôle. Champ − →)− → → − → − µ0 3(→ m·− u r ur − m E = 4π r3 −−→ →. La décroissance de B en 1/r3 est caractéristique du dipôle. Dans le champ : coordonnées sphériques : OM = r− u r resume-emag-enscr1.tex 3/7 Forces → − → − → − − F = q→ v ∧B Force de Lorentz → − − → → − → − dF = i d ` ∧ B Force de Laplace élémentaire Action d'un champ B sur une charge Action d'un champ B sur une portion de l Moment de force → − − Actions d'un champ B sur un dipôle → m: −−→ −−→ − → dM = OM ∧ dF −−→ − → → − − − → − → − F = grad → m· B et M = → m∧B Énergie potentielle Savoir-faire Calculer le champ magnétique créé par une distribution de courant donnée. → − Calculer le champ magnétique créé par une aimantation M donnée. Savoir vérier ses résultats physiquement : → − Savoir orienter B (main droite). → − Le champ B a des anités avec les antisymétries. Savoir comparer ses résultats aux classiques. Méthode 1. Faire un dessin en 3D ou en projection. 2. Choisir un système de coordonnées approprié. → − 3. Étudier les symétries de la distribution de courants pour en déduire la direction de B . → − 4. Étudier les invariances de la distribution de courants pour les déduire les dépendances de B . (rotation ou translation selon les trois variables) → − 5. Écrire l'élément de champ magnétique d B correctement, en fonction de l'élément de courant. 6. Bien évaluer l'élément de longueur/surface/volume selon ce qui évolue et la géométrie. Théorème d'Ampère → − → − Choisir un contour approprié (B constant sur le contour ou B ⊥ d ` ) Pour cela, il faut susament de symétries dans le système. Évaluer les courants enlacés par le contour. Attention à l'orientation du contour : si un courant passe selon la règle du tire-bouchon ou de la main droite, on le compte positivement. − → − → B · d ` = ± µ0 Iint (C) I CB = (C) C : contour fermé et orienté ! Résultats classiques − →: Nappe de courant → S = S − u y Fil inni : Solénoïde long (bobine) : resume-emag-enscr1.tex → − µ0 S − B =± u→ x 2 → − µ0 i − → B = u θ 2π r → − N → B = µ0 i − uz ` 4/7 Circuits électriques But : Calculer tension, intensité, puissance. Loi des n÷uds : la somme des intensités qui arrivent à un n÷ud égale la somme des intensités qui repartent. Loi des mailles : la somme des tensions, prises dans le même sens, en suivant une boucle, est nulle. En régime sinusoïdal, on utilise la notation complexe ! La dérivation devient une multiplication par j ω 3 dipôles récepteurs linéaires échés en convention récepteur : Résistor : En convention récepteur u = Ri En sinusoïdal pur U = RI Z=R du dt q = Cu déphasage u/i nul Condensateur : En convention récepteur En sinusoïdal pur i=C I = jCωU En sinusoïdal pur 1 jCω circuit capacitif : u en retard sur i déphasage u/i −90◦ Bobine : En convention récepteur Z= u=L di dt U = jLωI déphasage u/i +90◦ ϕ = Li Z = jLω circuit inductif : i en retard sur u Source (parfaite) de tension u = Cte = E intensité variable Source (parfaite) de courant i = Cte = I0 = Icc tension variable Association en série Z = Z1 + Z2 Association en parallèle Z= resume-emag-enscr1.tex Z1 Z2 Z1 + Z2 5/7 Régime transitoire : 1erordre On essaye de mettre l'équation diérentielle sous la forme ds s e + = dt τ τ τ est la constante de temps du système (ou temps caractéristique ou temps de relaxation). Au bout de τ , le système est à 63% de sa valeur nale. Au bout de 5τ , le système est à 99% de sa valeur nale. Deux types de réponse selon l'état initial et la valeur de e : s E s s(0) 6= 0 e=0 s(0) = 0 e = Cte = E t t Régime transitoire : 2eordre ξ est le facteur d'amortissement. d2 s ds + 2 ξ ω0 + ω0 2 s = ω0 2 e dt2 dt Q est le facteur de qualité : ξ = 1/2Q ω0 est la pulsation propre. Deux types de réponse : s s E E s(0) = 0 s(0) = 0 e=E e=E t t régime pseudopériodique ξ < 1 régime apériodique ξ > 1 Si ξ = 0, le régime est périodique de pulsation ω0 . Si ξ = 1, le régime est critique. ??? Respecter les valeurs initiales et nales ! ??? Si le second membre est constant, annuler les dérivées permet d'obtenir la valeur nale. Savoir déterminer les valeurs nales de grandeurs électriques par un raisonnement simple : Par ex : le condensateur se décharge donc sa tension diminue etc... resume-emag-enscr1.tex 6/7 Régime sinusoïdal Après un régime transitoire assez court, la solution est forcée : elle ressemble au second membre de l'équation diérentielle : s'il est sinusoïdal, elle sera sinusoïdale : s(t) = S0 cos(ω t + ϕ0 ) S0 est la valeur maximale du signal ou amplitude : ϕ0 est la phase à l'origine (càd à t = 0) ; En sinusoïdal : réexe : les complexes ! √ S0 = S 2 où S est la valeur ecace. Φ = ω t + ϕ0 est la phase du signal. s(t) = Re (S0 e j ω t ) S = S0 e j ϕ0 e j ω t Puissance moyenne ϕ : déphasage de u par rapport à i P = UI cos ϕ Réponse en fréquence : on cherche la transmittance entre deux signaux : H(j ω) = S2 S1 Il faut savoir tracer l'allure du module de la transmittance rapidement : comportement pour ω → 0 et +∞, points remarquables (H = 0, H → +∞). Pour cela, il faut connaître les lois d'association d'impédance en série et en parallèle. Le diviseur de tension peut être très utile également. Il faut savoir remplacer les dipôles par leurs équivalents basse et haute fréquence pour prédire rapidement le comportement d'un circuit. Voir circuit RLC série et circuit RLC parallèle pour exemples (à tension imposée, Z → 0 =⇒résonance d'intensité ; Z → +∞ =⇒antirésonance d'intensité.). Rappel sur les complexes : j2 = −1 Z = R + jX = Zejφ R = Re (Z) Z = |Z| resume-emag-enscr1.tex ; ; X = Im (Z) φ = Arg (Z) = Arctan X R 7/7
