CALCUL DU JOUR

CALCUL DU JOUR
Choisir un « assez grand » nombre premier N.
Calculer son carré et ajouter 11, on appelle A le nombre obtenu.
Effectuer la division euclidienne de A par 24.
Quel est le reste obtenu ?
Les élèves trouvent tous un reste égal à 12... est-ce un hasard ?
Une étude plus poussée à l'aide d'un tableur donne ce qui suit :
D'où la conjecture :
Pour tout nombre premier N supérieur ou égal à 5, le reste dans la division par
24 de N²+11 est 12.
Démonstrations (trois méthodes différentes) :
Remarquons tout d'abord qu'un nombre premier « assez grand » est
nécessairement impair, on peut donc écrire N sous la forme
N=2k+1
on a alors
A=N2+11=(2k +1)2+11=4k 2+4k +12
il reste donc à prouver que
4k2+4k
est divisible par 24, ce qui revient à
démontrer que
k2+k
est divisible par 6.
de
k2+k=k(k+1)
or l'un des nombres
k
ou
k+1
est pair, on en
déduit que le produit
k2+k
est pair, il ne reste plus qu'à démontrer que ce
nombre est divisible par 3
nous procédons par disjonction des cas : tout entier naturel
k
peut s'écrire
sous l'une des formes
k=3r
ou
k=3r +1
ou
k=3r +2
- si
k=3r
alors
k2+k=(3r )2+3r =9r 2+3r=3(3r2+1)
qui est bien un multiple de 3.
- si
k=3r +1
alors
k2+k=(3r )2+3r =9r 2+3r=3(3r2+1)
qui est bien un multiple de 3.
aucune raison pour que ce nombre soit divisible par 3... catastrophe ?
Non car si
k=3r +1
alors
N=2×(3r +1)+1=6r +3
… qui est un multiple
de 3 et n'est donc pas premier si N est « assez grand ».
- si
k=3r +2
alors
k2+k=(3r +2)2+(3r +2)=9r 2+15r +6
qui est bien un multiple de 3.
Nous avons donc prouvé que pour tout nombre premier N supérieur strictement à
5, le reste dans la division par 24 du nombre N²+11 est égal à 12.
Remarque : le fait que N soit premier n'est pas une condition nécessaire, il suffit
en fait que N soit impair et non multiple de 3 pour que le reste dans la division par
24 de N²+11 soit égal à 12.
N N² A reste mod 24
2 4 15 15
3 9 20 20
5 25 36 12
7 49 60 12
11 121 132 12
13 169 180 12
17 289 300 12
19 361 372 12
23 529 540 12
29 841 852 12
31 961 972 12
37 1369 1380 12
41 1681 1692 12
43 1849 1860 12
47 2209 2220 12
53 2809 2820 12
59 3481 3492 12
61 3721 3732 12
67 4489 4500 12
71 5041 5052 12
73 5329 5340 12
79 6241 6252 12
83 6889 6900 12
89 7921 7932 12
91 8281 8292 12
95 9025 9036 12
101 10201 10212 12

Deuxième méthode, fastidieuse mais très efficace : on procède par disjonction
des cas à partir des congruences modulo 24... il y a donc 24 cas à envisager !
- si
N≡0[24]
alors N est divisible par 24, il n'est donc pas premier
- si
N≡1[24]
alors
N2≡1[24]
(compatibilité des congruences avec les puissances)
donc
N2+11≡12 [24]
(compatibilité des congruences avec l'addition)
le reste dans la division de N²+11 par 24 est donc 12.
- si
N≡2[24]
alors N est pair, il n'est donc pas premier s'il est supérieur à 2
même chose pour tous les restes pairs
- si
N≡3[24]
alors N est divisible par 3, il n'est donc pas premier s'il est
supérieur à 3, et même chose pour les restes multiples de 3
- si
N≡5[24]
alors
N2≡25[24]
(compatibilité des congruences avec les puissances)
mais
25≡1[24]
donc
N2≡1[24]
(transitivité de la congruence)
donc
N2+11≡12 [24]
(compatibilité des congruences avec l'addition)
le reste dans la division de N²+11 par 24 est donc 12.
- si
N≡7[24]
alors
N2≡49[24 ]
(compatibilité des congruences avec les puissances)
mais
49=24×2+1
, donc
49≡1[24]
on en déduit
N2≡1[24]
(transitivité de la congruence)
donc
N2+11≡12 [24]
(compatibilité des congruences avec l'addition)
le reste dans la division de N²+11 par 24 est donc 12.
- si
N≡11 [24]
alors
N2≡121 [24]
(compatibilité avec les puissances)
mais
121=24×5+1
, donc
121≡1[24 ]
on en déduit
N2≡1[24]
(transitivité de la congruence)
donc
N2+11≡12 [24]
(compatibilité avec l'addition)
le reste dans la division de N²+11 par 24 est donc 12.
- si
N≡13 [24]
alors
N2≡169 [24]
(compatibilité avec les puissances)
mais
169=24×7+1
, donc
121≡1[24 ]
on en déduit
N2≡1[24]
(transitivité de la congruence)
donc
N2+11≡12 [24]
(compatibilité avec l'addition)
le reste dans la division de N²+11 par 24 est donc 12.
restent à étudier 13, 17, 19 et 23... c'est un peu long mais facile
Remarque : l'intérêt des congruences est de ramener l'étude d'une infinité de
nombres premier à un nombre fini de cas (même si c'était un grand nombre de
cas...)
Troisième méthode, plus rapide : en observant un tableau plus général, on
constate d'une part que les restes forment un cycle à partir de 24 et d'autre part
que seuls les multiples de 2 et de 3 ne donnent pas un reste égal à 12, et ils ne
sont pas premiers, dès que N est supérieur à 3.
D'où l'idée de procéder par disjonction des cas
en utilisant la division euclidienne de N par 6.
Seuls les nombres de la forme 6k+1 et 6k+5 ne
sont divisibles ni par 2 ni par 3.
- si
N=6k +1
alors
N2+11=(6k +1)2+11
=
36k2+12k +12
=
12k (3k +1)+12
*si k est pair alors
12k (3k +1)
est un
multiple de 24
*si k est impair alors
(3k +1)
est pair et
12k (3k +1)
est encore un multiple de 24,
on en déduit que le reste dans la division par
24 de
N2+11
est égal à 12.
- si
N=6k +5
alors
N2+11=(6k +5)2+11
=
36k2+60k +36
=
12k (3k +5)+24+12
si k est pair alors
12k (3k +5)
est un multiple de 24
si k est impair alors
(3k +5)
est pair et
12k (3k +5)
est encore un
multiple de 24,
on en déduit que le reste dans la division par 24 de
N2+11
est égal à 12.
Nous avons donc prouvé que pour tout nombre premier N supérieur strictement à
5, le reste dans la division par 24 du nombre N²+11 est égal à 12.
N N² A reste mod 24
1 1 12 12
2 4 15 15
3 9 20 20
4 16 27 3
5 25 36 12
6 36 47 23
7 49 60 12
8 64 75 3
9 81 92 20
10 100 111 15
11 121 132 12
12 144 155 11
13 169 180 12
14 196 207 15
15 225 236 20
16 256 267 3
17 289 300 12
18 324 335 23
19 361 372 12
20 400 411 3
21 441 452 20
22 484 495 15
23 529 540 12
24 576 587 11