CALCUL DU JOUR

CALCUL DU JOUR
Choisir un « assez grand » nombre premier N.
Calculer son carré et ajouter 11, on appelle A le nombre obtenu.
Effectuer la division euclidienne de A par 24.
Quel est le reste obtenu ?
Les élèves trouvent tous un reste égal à 12... est-ce un hasard ?
Une étude plus poussée à l'aide d'un tableur donne ce qui suit :
N
N²
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
91
95
101
A
4
9
25
49
121
169
289
361
529
841
961
1369
1681
1849
2209
2809
3481
3721
4489
5041
5329
6241
6889
7921
8281
9025
10201
15
20
36
60
132
180
300
372
540
852
972
1380
1692
1860
2220
2820
3492
3732
4500
5052
5340
6252
6900
7932
8292
9036
10212
reste mod 24
15
20
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
D'où la conjecture :
Pour tout nombre premier N supérieur ou égal à 5, le reste dans la division par
24 de N²+11 est 12.
Démonstrations (trois méthodes différentes) :
Remarquons tout d'abord qu'un nombre premier « assez grand » est
nécessairement impair, on peut donc écrire N sous la forme N =2k+ 1
2
2
2
on a alors A= N +11=(2k +1) +11=4k + 4k +12
2
il reste donc à prouver que 4k + 4k est divisible par 24, ce qui revient à
2
démontrer que k + k est divisible par 6.
2
de k + k =k ( k +1) or l'un des nombres k ou k +1 est pair, on en
2
déduit que le produit k + k est pair, il ne reste plus qu'à démontrer que ce
nombre est divisible par 3
nous procédons par disjonction des cas : tout entier naturel k peut s'écrire
sous l'une des formes k =3r ou k =3r +1 ou k =3r +2
2
2
2
2
- si k =3r alors k + k =(3r ) +3r =9r + 3r=3(3r +1)
qui est bien un multiple de 3.
- si
k =3r +1 alors k 2 + k =(3r )2 +3r=9r 2+ 3r=3(3r 2 +1)
qui est bien un multiple de 3.
aucune raison pour que ce nombre soit divisible par 3... catastrophe ?
Non car si k =3r +1 alors N =2×(3r +1)+ 1=6r +3 … qui est un multiple
de 3 et n'est donc pas premier si N est « assez grand ».
- si
k =3r +2 alors k 2 +k =(3r+ 2)2 +(3r +2)=9r 2+15r +6
qui est bien un multiple de 3.
Nous avons donc prouvé que pour tout nombre premier N supérieur strictement à
5, le reste dans la division par 24 du nombre N²+11 est égal à 12.
Remarque : le fait que N soit premier n'est pas une condition nécessaire, il suffit
en fait que N soit impair et non multiple de 3 pour que le reste dans la division par
24 de N²+11 soit égal à 12.
Deuxième méthode, fastidieuse mais très efficace : on procède par disjonction
des cas à partir des congruences modulo 24... il y a donc 24 cas à envisager !
- si
- si
N ≡0[24] alors N est divisible par 24, il n'est donc pas premier
N ≡1 [24]
2
alors N ≡1 [24] (compatibilité des congruences avec les puissances)
2
donc N +11≡12 [24] (compatibilité des congruences avec l'addition)
- si
N ≡2[24] alors N est pair, il n'est donc pas premier s'il est supérieur à 2
- si
même chose pour tous les restes pairs
N ≡3 [24] alors N est divisible par 3, il n'est donc pas premier s'il est
supérieur à 3, et même chose pour les restes multiples de 3
le reste dans la division de N²+11 par 24 est donc 12.
- si
N ≡5 [24]
2
alors N ≡25[24] (compatibilité des congruences avec les puissances)
2
mais 25≡1[24] donc N ≡1 [24] (transitivité de la congruence)
2
donc N +11≡12 [24] (compatibilité des congruences avec l'addition)
le reste dans la division de N²+11 par 24 est donc 12.
- si
N ≡7[24]
2
alors N ≡49[24 ] (compatibilité des congruences avec les puissances)
mais 49=24×2+1 , donc 49≡1[24]
2
on en déduit N ≡1 [24] (transitivité de la congruence)
2
donc N +11≡12 [24] (compatibilité des congruences avec l'addition)
le reste dans la division de N²+11 par 24 est donc 12.
- si
N ≡11 [ 24]
2
alors N ≡121 [24] (compatibilité avec les puissances)
mais 121=24×5+1 , donc 121≡1[24 ]
2
on en déduit N ≡1 [24] (transitivité de la congruence)
2
donc N +11≡12 [24] (compatibilité avec l'addition)
le reste dans la division de N²+11 par 24 est donc 12.
- si
N ≡13 [ 24]
2
alors N ≡169 [24] (compatibilité avec les puissances)
mais 169=24×7+ 1 , donc 121≡1[24 ]
2
on en déduit N ≡1 [24] (transitivité de la congruence)
2
donc N +11≡12 [24] (compatibilité avec l'addition)
le reste dans la division de N²+11 par 24 est donc 12.
restent à étudier 13, 17, 19 et 23... c'est un peu long mais facile
Remarque : l'intérêt des congruences est de ramener l'étude d'une infinité de
nombres premier à un nombre fini de cas (même si c'était un grand nombre de
cas...)
Troisième méthode, plus rapide : en observant un tableau plus général, on
constate d'une part que les restes forment un cycle à partir de 24 et d'autre part
que seuls les multiples de 2 et de 3 ne donnent pas un reste égal à 12, et ils ne
sont pas premiers, dès que N est supérieur à 3.
N
D'où l'idée de procéder par disjonction des cas
en utilisant la division euclidienne de N par 6.
Seuls les nombres de la forme 6k+1 et 6k+5 ne
sont divisibles ni par 2 ni par 3.
N =6k +1 alors
N +11=(6k +1) 2+11
2
= 36k +12k +12
= 12k (3k +1)+12
*si k est pair alors 12k (3k +1) est un
- si
2
multiple de 24
*si k est impair alors (3k +1) est pair et
12k (3k +1) est encore un multiple de 24,
on en déduit que le reste dans la division par
2
24 de N +11 est égal à 12.
N²
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
A
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400
441
484
529
576
12
15
20
27
36
47
60
75
92
111
132
155
180
207
236
267
300
335
372
411
452
495
540
587
reste mod 24
12
15
20
3
12
23
12
3
20
15
12
11
12
15
20
3
12
23
12
3
20
15
12
11
N =6k +5 alors N 2 +11=(6k +5)2+11
2
= 36k +60k +36
= 12k (3k +5)+24+12
si k est pair alors 12k (3k +5) est un multiple de 24
si k est impair alors (3k +5) est pair et 12k (3k +5) est encore un
- si
multiple de 24,
on en déduit que le reste dans la division par 24 de
N 2 +11 est égal à 12.
Nous avons donc prouvé que pour tout nombre premier N supérieur strictement à
5, le reste dans la division par 24 du nombre N²+11 est égal à 12.