Notes de cours

Modèles des tirages.
3.1 Introduction : Probabilités, modèles de tirages
Ce chapitre présentera quelques exemples de calculs de probabilités.
D’un point de vue théorique la situation la plus simple est la loi dite uniforme, qui décrit la situation
où l’on choisit au hasard parmi un nombre fini de possibilité, avec la même probabilité pour toutes les
possibilités.
Exemples •On lance deux fois de suite une pièce équilibrée, quelle est la probabilité de tomber
les deux fois sur face ?
Comme il y a quatre possibilités (à savoir pile puis pile , pile puis face ,
face puis pile et face puis face ), dont une seule nous convient, la probabilité est
1
4, c’est à dire 25%.
•On tire au hasard 3 cartes dans un jeu de 52 cartes, quelle est la probabilité que ces
trois cartes soient un valet, une dame et un roi de la même “couleur” (on appelle
couleur le fait d’être “trèfle”, “carreau”, “coeur” ou “pique”) ?
On verra dans ce chapitre qu’il y en tout 22100 combinaisons de 3 cartes dans un
jeu de 52 cartes. Comme il n’y a que quatre combinaisons qui nous intéressent (pour
les quatre couleurs), la probabilité est 4
22100 '0,00018. Cette probabilité est donc
d’environ 0,018% (moins d’une chance sur 5000).
Dans le cadre de ce cours, les probabilités seront toutefois avant tout utilisées pour comprendre l’impact
du choix aléatoire d’un échantillon. C’est pourquoi, au lieu du cadre ci-dessus, nous nous focaliserons sur
des modèles appelés modèles de tirage :
On considère une urne contenant Nbilles qui peuvent avoir deux couleurs. On note N1le nombre
de billes blanches (et N2=N−N1le nombre de billes de l’autre couleur). On désignera par p=N1
Nla
proportion de billes blanches dans l’urne, et par q=N2
N= 1 −pla proportion de billes de l’autre couleur.
On choisit un échantillon de nbilles dans l’urne et on s’intéresse à la composition de cet échantillon.
Deux cas sont à considérer :
1) Les tirages sont avec remise (ils sont dits bernouilliens ou non exhaustifs) : après chaque tirage, la
bille est remise dans l’urne avant de procéder au tirage suivant.
2) Les tirages sont sans remises (ou exhaustifs) : après chaque tirage la bille n’est pas remise dans l’urne.
Les modèles de tirages s’appliquent dans des situations concrètes comme des sondages quand on
s’intéresse à l’étude ou à la "représentativité" de plusieurs caractères dans une population donnée. On
peut distinguer deux possibilités :
•Étude d’un seul caractère : modèle de l’urne avec deux couleurs. C’est ce cas simple qu’on étudie
dans ce chapitre.
•Étude de plusieurs caractères : cas de l’urne avec plusieurs couleurs. Ce cas légèrement plus compliqué
ne sera pas abordé dans ce cours.
1

3.2 Quelques notions de combinatoire
3.2.1 Factorielle d’un entier naturel
Pour un entier naturel non nul n, on appelle factorielle de net note n!le produit de tous les entiers
non nuls inférieurs ou égaux à n:
fact(n) = n! = n×(n−1) × ··· × 1
On a ainsi
1! = 1 2! = 2 ×1=2 3!=3×2×1=6 4!=4×3×2×1 = 24 etc
On convient généralement que 0! = 1. Pour ce chapitre, cette convention est nécessaire pour assurer
la généralité des formules indiquées.
3.2.2 Exemple de calculs
Il est fréquent que des simplifications surviennent lors de calculs impliquant des factorielles, comme
dans les exemples suivants :
1. 8!
6! =8×7×6×5···×1 6×5···×1= 8 ×7 = 56.
2. 8!
6!3! =8×7×6×5···×1 6×5···×1×3×2×1=8×7 3×2×1=56 6=28 3.
3. 12!
9!3! =12×11×10 3×2= 2 ×11 ×10 = 220.
3.2.3 Combinaison
Soit Eun ensemble de néléments. Une combinaison (sans répétition) de kéléments est une configu-
ration non ordonnée de kéléments choisis dans E.
Bien entendu, il n’en existe que si 06k6n.
Notation : le nombre de combinaisons de kéléments (choisis parmi les néléments de E) est noté n
k,
ou Ck
n.
Proposition. Si 06k6n, alors
n
k=n! k!(n−k)!
En revanche, si k < 0ou k > n, on a n
k= 0.
3.2.4 Exemples
•Un groupe est constitué de 6 garçons et 8 filles. On choisit au hasard un sous-groupe de 4 individus.
1. Combien de sous-groupes peut-on ainsi constituer ?
Comme on a 14 personnes au total, on calcule 14
4:
14
4=14!
10!4! =14 ×13 ×12 ×11 4×3×2= 7 ×13 ×11 = 1001
Donc on peut constituer 1001 sous-groupes de 4 individus groupes différents.
2

2. Combien de tels sous-groupes ne comportent que des garçons ?
Les quatre personnes doivent alors être choisies parmi les 6 garçons.
6
4=6!
4!2! =6×5 2×1= 15
Propriétés (Proposées à titre d’exercice).
1) n
0=n n= 1
2) n
k=n n−k3) n k=n−1 k+n−1 k−1
4) Formule du binôme (a+b)n=Pn
k=0 Ck
nakbn−k.
Application. Le triangle de Pascal
L’égalité n
k=n−1 k+n−1
k−1permet de trouver rapidement les combinaisons n kpour les petites valeurs
de ngrâce au tableau suivant dit Triangle de Pascal.
k0 1 2 3 4 5 6 ···
n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
.
.
.
3.3 Tirage avec remise : Modèle binômial
Dans ce cas on désigne par p=N1
Nla proportion de billes blanches et par q=N2 N= 1 −pla
proportion de billes non blanches dans l’urne. On désigne par Xla variable aléatoire égale au nombre
de billes blanches dans l’échantillon et par [X=k]l’évènement “dans l’échantillon, il y a exactement k
billes blanches”. La probabilité de cet évènement est notée P[X=k].
On a le résultat suivant :
Proposition.
1) Dans un tirage de nbilles avec remise, la probabilité que le nombre de boules blanches tirées soit k
est donnée par la formule
P[X=k] = n
kpkqn−k.
La loi de la variable Xest appelée loi binômiale de paramètres net pet sera notée B(n;p).
2) La moyenne, la variance et l’écart type de la variable Xsont
m(X) = np V ar(X) = npq =np(1 −p)σ(X) = √npq .
Remarque. L’avantage de la formule binômiale est qu’elle fait intervenir la proportion pet la taille
de l’échantillon, mais pas le nombre total Nde billes dans l’urne (c’est à dire la taille de la population
globale).
3

Exemple.
Dans une population, la proportion des fumeurs est de 35%. On choisit (avec remise) au hasard un
échantillon de 16 personnes et on appelle Xla variable égale au nombre de fumeurs dans l’échantillon.
Calculons la probabilité d’avoir entre 4 et 7 fumeurs dans l’échantillon.
On a X=B(16; 0,35). Donc
P[4 6X67] = P[X= 4] + P[X= 5] + P[X= 6] + P[X= 7] =
7
X
k=4 16
k(0,35)k(1 −0,35)16−k
'0,155 + 0,201 + 0,198 + 0,152 '0,707
3.4 Tirage sans remise : Modèle hypergéométrique
Reprenons la même composition de l’urne, avec la seule différence que les tirages se font maintenant
sans remise (ce qui est plus réaliste).
On note Xla variable aléatoire égale au nombre de billes blanches dans l’échantillon. On peut calculer :
Proposition.
1) Dans un tirage de nbilles sans remise, la probabilité d’avoir exactement kbilles blanches est donnée
par la formule
P[X=k] = N1
k×N−N1 n−k
N
n
La loi de la variable Xest appelée loi hypergéométrique de paramètres N,N1et net sera notée H(N;N1;n).
2) La moyenne, la variance et l’écart type de la variable Xsont
m(X) = np, V ar(X) = npq ×N−n
N−1=np(1 −p)N−n N−1, σ(X) = √npqrN−n N−1.
Remarques.
1) L’inconvénient de la loi hypergéométrique est de faire intervenir la taille de la population globale
qui est en générale très grande et souvent inconnue pour des problèmes concrets en sciences humaines.
2) Le coefficient parasite qN−n
N−1s’appelle le coefficient d’exhaustivité. On démontre que si ce coefficient
est proche de 1, et si la taille de l’urne est assez grande, alors les lois de probabilité de la loi binômiale et
hypergéométrique sont très voisines. Auquel cas, on pourra alors utiliser les formules binômiales même si
le tirage est sans remise.
Exemple.
Dans une population de 1000 individus, la proportion des fumeurs est de 35%.On choisit (sans remise)
au hasard un échantillon de 16 personnes et on désigne par Xla variable égale au nombre de fumeurs
dans l’échantillon. Calculons la probabilité d’avoir entre 4 et 7 fumeurs dans l’échantillon :
P[4 6X67] = P[X= 4] + P[X= 5] + P[X= 6] + P[X= 7] =
7
X
k=4 350
k×650 16−k
1000
16 '0,711
Par comparaison, le cas “avec remise” donnait la probabilité 0,707, ce qui est extrêmement proche.
Cela était attendu car le coefficient d’exhaustivité vaut 0,992.
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