Exercice 1 : ( 6,5 pts)
Première partie : Démonstration à rédiger {un vn , à partir d’un certain rang.
Démontrer que si (un ) et (vn ) sont deux suites telles que : lim un=+∞
n→+∞
alors nlim→+∞ v n
=+∞
Nous devons montrer que pour tout A réel aussi grand que l'on veut, il existe un rang, n A , à partir
duquel tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle ] A;+∞[
Soit A>0 , aussi grand que l'on
veut. ►Traduisons les hypothèses :
• il existe un rang n2 tel que si n n2 alors un vn
►Choisissons le plus grand des deux rangs : n A=max { n1, n2 } , nous obtenons:
Si n nA , alors vn un> A donc vn ] A;+∞[ .
►Nous avons trouvé , pour tout A réel aussi grand que l'on veut, un rang, n A , à partir duquel tous les
termes de la suite (vn) appartiennent à l'intervalle ] A;+∞[ .
Par définition, nous pouvons conclure que nlim→+∞ v n
=+∞
Deuxième partie : Connaissance du cours
Recopier et compléter les phrases suivantes :
Soient A et B deux événements d'une même expérience aléatoire, de probabilités non nulles.
• p ( A∪B)≠ p ( A)+ p (B) sauf si A et B sont disjoints (ou incompatibles, c'est à dire A∩B=∅ ) En
effet, p (A∪B)= p ( A)+ p(B)− p (A∩B)
• p ( A∩B)≠ p ( A)× p (B) sauf si A et B sont indépendants (voir définition de l'indépendance)
En effet p (A∩B)=P ( A)× pA (B)
Troisième partie : Vrai-Faux à justifier
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse.
une suite de nombres réels de terme général
est positive et strictement croissante
est monotone et bornée alors elle est
Une suite bornée est une suite à la fois minorée
Si u est croissante, elle est croissante et majorée
Cette suite est positive car , pour tout
donc convergente d'après le cours.
(à vérifier), strictement
Si u est décroissante, elle est décroissante et
minorée donc convergente d'après le cours.
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