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Exercice 1 : ( 6,5 pts)
Première partie : Démonstration à rédiger
{u
n
Démontrer que si (un ) et (vn ) sont deux suites telles que :
alors n
lim
→+∞
vn ,
à partir d’un certain rang.
lim un=+∞
n→+∞
v =+∞
n
Nous devons montrer que pour tout A réel aussi grand que l'on veut, il existe un rang, n A , à partir
duquel tous les termes de la suite
appartiennent à l'intervalle ] A;+∞[
(vn)
Soit A>0 , aussi grand que l'on
veut. ►Traduisons les hypothèses :
• lim un donc il existe un rang n1 tel que si n n1 alors un ] A ;+∞[
• il existe un rang n2 tel que si n n2 alors un vn
►Choisissons le plus grand des deux rangs : n A=max { n1, n2 } , nous obtenons:
Si n nA , alors vn un> A donc vn ] A;+∞[ .
►Nous avons trouvé , pour tout A réel aussi grand que l'on veut, un rang, n A , à partir duquel tous les
termes de la suite (vn) appartiennent à l'intervalle ] A;+∞[ .
n→+∞
Par définition, nous pouvons conclure que n
lim
→+∞
v =+∞
n
Deuxième partie : Connaissance du cours
Recopier et compléter les phrases suivantes :
Soient A et B deux événements d'une même expérience aléatoire, de probabilités non nulles.
• p ( A∪B)≠ p ( A)+ p (B) sauf si A et B sont disjoints (ou incompatibles, c'est à dire A∩B=∅ ) En
effet, p (A∪B)= p ( A)+ p(B)− p (A∩B)
•
p ( A∩B)≠ p ( A)× p (B) sauf si A et B sont indépendants (voir définition de l'indépendance)
En effet p (A∩B)=P ( A)× pA (B)
•
p ( A∩B)≠ p A(B) sauf si p (A)=1
p (A∩B )
En effet p A(B)= p ( A)
Troisième partie : Vrai-Faux à justifier
Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou si elle est fausse en justifiant la réponse.
1 : Soit (un) une suite de nombres réels de terme général un
1. a) Si (un) est positive et strictement croissante
1. b) Si (un) est monotone et bornée alors elle est

lim u 
convergente.
alors n
n
Vrai.
Faux . Contre -exemple :
Une suite bornée est une suite à la fois minorée
1
Soit la suite (un) définie par un=2−
et majorée.
.
n+1
Si u est croissante, elle est croissante et majorée
Cette suite est positive car , pour tout n ∈ℕ ,
donc convergente d'après le cours.
1
un=2−
>0 (à vérifier), strictement
Si u est décroissante, elle est décroissante et
n+1
minorée donc convergente d'après le cours.
croissante car un +1−un>0 (à vérifier) et
convergente vers 2
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2 : Soient (vn) et (wn) deux suites de nombres réels de termes généraux vn et wn
2. a) Si la suite (vn wn ) diverge alors les suites (vn) 2. b) Si pour tout n, vn wn et si (wn) est
divergen
et (wn)
t
décroissante alors ( vn) est majorée
Faux.
On considère les suites (vn) et (wn) définies sur
Vrai : (vn) est majorée par w0.
1
En effet la suite décroissante (wn) est majorée par
ℕ
par
vn=(n+1) et wn=
n +1
son premier terme w0 donc pour tout n ,
Le produit
vn wn=n +1 donc (vn wn) diverge, mais
v w w
(wn) converge vers 0
2
n
n
0
Exercice 2 : ( 6,5 pts). Probabilités . Les questions 1 et 2 sont indépendantes
1. Une urne contient quatre boules rouges et deux boules noires indiscernables au
toucher. On prélève au hasard une boule de l’urne.
Si elle est rouge, on la remet dans l’urne et on prélève au hasard une seconde boule.
Si la première boule est noire, on prélève au hasard une seconde boule dans l’urne sans
remettre la première boule tirée.
a. Faire un arbre ponderé illlustrant l'énoncé
b. Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient rouges ?
c. Calculer la probabilité que la seconde boule tirée soit noire.
d. Calculer la probabilité que la première boule soit rouge sachant que la seconde est noire.
4 4
b) p (R1∩R2)=6 ×
6=
2 2 4
3× 3= 9
c) p (N 2)= p (R1∩N 2)+ p (N 1 ∩N 2) =
p
d)
N2
p(R1∩N 2)
(R1)=
p (N 2)
4 2 2 1 13
× + × =
6 6 6 5 45
4 2
10
6× 6
= 13 = 13
45
2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Une urne contient quatre boules rouges et n boules noires indiscernables au toucher.
On prélève successivement et au hasard quatre boules de l’urne en remettant dans l’urne la boule tirée
après chaque tirage.
Soit la variable aléatoire X donnant le nombre de boules rouges tirées au cours de ces quatre
tirages. a. Quelle est la nature de la loi de probabilité suivie par X ? Donner ses paramètres.
L'énoncé décrit un schéma de Bernoulli avec 4 répétitions d'une épreuve de Bernoulli à deux issues , le
4
succès étant « tirer une boule rouge » avec une probabilité p=
, l’échec « tirer une boule noire »
n+4
La variable aléatoire X qui donne le nombre de succès au cours des 4 tirages suit la loi binomiale
B 4 ;
(
4
n+ 4
)
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b. Démontrer que la probabilité qn que l’une au moins des quatre boules tirées soit noire est telle que
4
.
(
)
L'évènement contraire de l'événement « l’une au moins des quatre boules tirées est noire »
qn=1− n +4
4
est l'événement « Les quatre boules tirées sont rouges» dont la probabilité est :
4
4
4
( 4)(n+ 4 )4=(n+ 4 )4
p ( X =4)=
Or pour tout événement A , la probabilité de l'événement contraire est p (A)=1− p (A) donc
(
4
q n=1− n +4
)
4
c. Écrire en langage naturel un algorithme permettant de déterminer le plus petit entier naturel n pour
lequel la probabilité qn est supérieure ou égale à 0,9999 puis utiliser la calculatrice pour déterminer
cet entier.
Un exemple d'algorithme pouvant convenir (il y en a bien d'autres):
Initialisation : N prend la valeur 1
4
(
4
Q prend la valeur 1− N +4
)
Traitement : Tant que Q < 0,9999, faire :
N prend la valeur N+1
4
(
4
Q prend la valeur 1− N +4
Sortie :
Afficher N
)
La calculatrice nous donne N = 36.
Il faut qu'il y ait au moins 36 boules noires dans l'urne pour que la probabilité de l'événement « l’une
au moins des quatre boules tirées est noire » soit proche de 1 (supérieure à 0,9999)
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Exercice 3: ( 7 pts).
u0=3
(un )
définie sur ℕ par
L’objet de cet exercice est d’étudier la suite
{
u =1
n+1
(
2
u +
n
7
un
)
, ∀ n∈ℕ
On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel n, un >0 .
Remarque : cela se démontre par une récurrence immédiate
1. On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞ [ par f ( x )= 2
1
(
7
x+x
).
Étudier les variations de la fonction f et démontrer que la fonction f admet un minimum que l'on précisera.
1
f est une fonction dérivable sur ]0 ; +∞ [ :
f ' (x )=
1−
2(
Sur ]0 ; +∞ [ , 1 >0 ; x2 >0 ;
x +√ 7 >0
2
1 x −7
7
=
x
2
)
donc le signe de f ' (x )
2(
x
2
)
(
= 1 x−√ 7 )(x +√ 7 )
2
2(
x
)
est celui de
x −√ 7
.
2
x −√ 7 0
équivaut à x √ 7 . Nous pouvons donc dresser le tableau de variation de f sur ]0 ; +∞ [.
0
√7
+∞
Justifications et calculs
Le calcul des limites n'était pas demandé.
Signe de f '(x)
–
0
+
Calcul du minimum f (√7)
+∞
+∞
7
1
1 √7× √ 7+7
√ 7
f (√ 7 )= 2 √ 7+ √ 7 =2
Variations de f
7
1 14
=
=
2
√
7
√
7 =√ 7
f (√7 )
x
) (
(
)
( )
Le minimum de f est donc √ 7 atteint pour cette même valeur √ 7 .
Le tableau nous indique que , pour tout x réel strictement positif f (x ) √ 7
En déduire que pour tout entier naturel n, un √ 7 .
Nous avons u0=3>√ 7 et pour tout n ∈ℕ , un+1= f (un) √ 7 , puisque un est un réel strictement positif
donc pour tout entier naturel n, un √7 .
On pouvait rédiger aussi un rapide raisonnement par récurrence en utilisant la croissance de la
fonction f sur [√7;+∞[
u −u
2. a. Soit n un entier naturel quelconque. Étudier le signe de n+1 n .
2
un
1
7
1
7
7 un 7−un
u +
u +
−u =
un+1 −un = 2( n un ) n 2 n 2un −2 2 = 2un − 2 = 2un .
2
Or, pour tout entier naturel n, un √7 donc u n 7 puisque la fonction carré respecte l'ordre sur les
positifs.
2
Donc 7−u n 0 et un+ 1−un 0 (puisque le dénominateur 2 un est strictement positif) La
suite (un) est donc décroissante.
b. Pourquoi peut-on en déduire que la suite (un ) est convergente ?
La suite (un ) est décroissante et minorée par √ 7 donc elle converge vers une limite L √ 7
1
7
u = u+
n+1 2
n u
c. On déduit de la relation «
» que la limite L de cette suite est telle que L= 2 (L+ L
n
(
)
1
Déterminer L.
Résolvons l'équation L=
1
7
(
L
+
2
L ), sachant que L
√7
Page 4 sur 6
7
).
Cette équation équivaut à
L
7
2
=
qui équivaut à L =7 . On exclut la solution négative – √ 7 et on peut
2 2L
donc conclure que L=√ 7 .
1 (un − √ 7 )2
u
3. Démontrer que pour tout entier naturel n, un+1 − √7 = 2
n.
Pour tout entier naturel n :
1
7
1
u − 7= u +
− 7=
u
n+1
√ 2 n
un √ 2 n
(
)
+
7
√ 7 un2 +7−2un √ 7 (un−√ 7 )2
2un −2 2 =
2un
2un
=
d 0=1
4. On définit la suite (dn ) par
{
d
n+1
= 1 d 2 , ∀ n∈ℕ
2 n
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un − √ 7 d n
.
Nous devons démontrer par récurrence que la proposition Pn : « un − √ 7 d n . » est vraie pour tout
entier naturel n .
• Initialisation : La proposition est-elle vraie au départ ?
P0 : « u0 − √7 d 0 » c'est à dire « 3 −√7 1 »; P0 est vraie car 3−√7≈0,35<1 .
•
Hérédité : La proposition se transmet-elle d'un rang à l'autre ?
Montrons que si la proposition est vraie pour un rang n donné alors elle est vraie au rang suivant.
Supposons que, pour un entier naturel n donné, un − √ 7 d n , montrons que, alors, un+1 − √ 7 d n +1
Hypothèse de récurrence : un − √ 7 d n , on a même 0 un − √ 7 d n puisque un
On en déduit en appliquant la fonction carré croissante sur les positifs :
0 (un − √ 7 ) (d n ) puis on divise par 2 un strictement positif
2
2
0 (un − √ 7 ) (d n )
2un
d 2un
d
n +1
1
n+1 <d
d
− √7
<1 donc
or un √ 7 >1 donc
n+1
(multiplication par n+1 >0 )
un
un
un
2
On obtient
u
n+1
√7
2
Finalement un+1 − √7 d n +1 . La proposition est bien héréditaire.
•
Conclusion :
La proposition « un − √7 d n » est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc, d'après l'axiome de
récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel n.
b. Voici un algorithme :
Variables : n et p sont des entiers naturels , d est un réel.
Entrée : Demander à l’utilisateur la valeur de p.
Initialisations : Affecter à d la valeur 1.
Affecter à n la valeur 0
−p
Traitement : Tant que d >10
.
Affecter à d la valeur 0,5 d
2
Affecter à n la valeur n + 1.
Sortie : Afficher n.
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En entrant la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre 5. Quelle inégalité peut-on en déduire pour d 5 ?
−9
On peut en déduire d 5 10
−9
Justifier que u5 est une valeur approchée de √7 à 10
−9
0 u5 − √ 7d 5 10
près.
; u5 est donc bien une valeur approchée de
√
7 à 10
−9
près.
La convergence de la suite (un) vers sa limite √ 7 est donc très rapide !
☺Un peu d'histoire.
Cet exercice est un grand classique et date de très longtemps :
Voir sur le livre une approche historique de cet exercice :
Méthode de Héron page 56
Une illustration géométrique :
Chez les mathématiciens grecs, extraire la racine carré de A c'est trouver le
côté d' un carré dont l'aire soit A. En prenant un rectangle de côté arbitraire
X et de même aire A, il est nécessaire que l'autre côté ait pour
longueur
A
X
. Mais ce rectangle n'est pas carré (en général). Pour le
rendre de plus en plus carré , il suffit de prendre un rectangle dont la
longueur est la moyenne arithmétique des deux côtés précédents soit
1
A
et dont l'aire reste A.
2 X+X
En réitérant indéfiniment le processus, on transforme petit à petit le
rectangle en carré de même aire A et le coté obtenu donne très
rapidement une bonne approximation de √ A
(
)
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_H%C3%A9ron
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