I) Loi uniforme directe U(n) 1. Définition 2

iscrètes de probabilités
I) Loi uniforme directe U(n)
1. Définition
Cette loi se rencontre lorsque les événements ont la même probabilité de réalisation. Soit X la
variable aléatoire prenant les valeurs 1,2,…,n avec la probabilité . Sa loi de probabilité est
x=1,2,…,n
2. Représentation
U(10)
0,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fonction de répartition
1
0,1
1 2 3 5 9 10
3. Espérance, variance

II) Loi binomiale
1. Définition
Considérons une épreuve (dite épreuve de Bernoulli) n’ayant que 2 issus possibles :
- l’un appelé « succès » avec une probabilité p de se réaliser
- l’autre appelé « échec » qui a la probabilité q=1-p de se réaliser.
Cette épreuve est répétée n fois, les épreuves successives étant indépendantes (la probabilité des
succès reste donc p à chaque fois). La variable aléatoire X est égale au nombre de succès obtenu au
cours des n épreuves suit alors par définition la loi binomiale de paramètre n et p.
On note :
X peut prendre toutes les valeurs k entières comprises entre 0 et n
En effet, l’événement (X=k) signifie qu’il y a eu k succès au cours des n périodes. Notons S pour
« succès » et E pour « échec » et considérons une éventualité réalisant cet événement.
Par exemple :
Les épreuves étant par hypothèse indépendantes, la probabilité de réaliser cette éventualité est :
Soit
Or il y a possibilités de réaliser les k succès au cours des n épreuves. Il y a donc en tout
éventualités différentes réalisant l’événement (X=k) et chacune à la proba pk(1-p)n-k de se réaliser.
Exemple :
Un vivier contient 100 truites. 5 d’entre elles pèsent moins que 200gr, les autres plus que
200gr. 3 fois de suite, on va sortir une truite, la peser et la remettre dans le vivier. Soit X le
nombre de truites de plus de 200 gr obtenus à l’issu de ces 3 pesés, déterminez la loi de X.
Solution :
Peser une truite constitue une épreuve avec 2 issus possibles :
oLa truite pèse plus de 200gr (p=0,95)
oLa truite pèse moins de 200gr (q=1-p=0,05).
Cette épreuve est répétée 3 fois et les épreuves sont indépendantes. Après chaque pesé, on
remet les truites dans le vivier. X est le nombre de truites de plus de 200gr obtenus au cours

de ces 3 épreuves, donc
Remarque : le tirage avec remise a 2 conséquences.
La première ; la proportion de truites de plus de 200gr contenu dans le vivier reste la même
à chaque tirage, ce qui justifie l’indépendance des tirages.
Deuxième remarque ; une même truite peut être pesée plusieurs fois.
2. Représentation graphique de B(10 ; ¼ )
Loi de probabilité :
2010-03-18-4
3. Espérance, variance
a) Variable de Bernoulli
K 0 1
P(X=k) q p
q=1-p
E[X]=p
V[X]=p-p2=p(1-p)=p*q
b) Décomposition d’une variable binomiale en somme de variables de Bernoulli
X1,X2,…,Xn : n variables de Bernoulli ayant la même loi que X.
X1+X2+…+Xn est égal au nombre de succès obtenus au cours des n épreuves.
X=X1+X2+…+Xn suit la B(n,p) B=binomiale
c) Valeurs caractéristiques d’une variable binomiale
E[X] = E[X1+X2+…+Xn]
= E[X1] + …+ E[Xn]
= n*p
De plus, les n variables de Bernoulli sont indépendantes
V(X) = V(X1+…+Xn)
= V(X1)+ … + V(Xn)
= n * p * q
Si X suit la binomiale B(n,p), son espérance : E[X]=np
sa variance : V(X)=npq
son écart-type :

d) La somme de variables aléatoires binomiales indépendantes
Si X1 et X2 sont 2 v.a. indépendantes suivant les lois binomiales
B(n1,p) et B(n2,p), alors X1 + X2 (suit, komeschen Feil) B(n1+n2,p)
III) Loi de poisson
1. Définition
Définition :
Soit « Lambda » un réel strictement positif, une variable aléatoire discrète X suit la loi de poisson
de paramètre « Lambda » si elle peut prendre toutes les valeurs entières k avec la probabilité
P(X=k)=
X (suit, komeschen Feil) P(« lambda »)
On a:
Exemple
Un employé d’une entreprise de transport contrôle chaque lundi 100 voyageurs. On note X le
nombre de personnes qu’il trouve en situation irrégulière. On admet que X suit la loi de poisson de
paramètre 2 (X komeschen Feil P(2)) Déterminez la loi de X
K 0 1 2 … 9
P(X=k) 0,1353 0,2707 0,1804 0,0002
2. Représentation graphique
2010-03-18-5
3. Espérance, variance
Si X (sui, Feil) P(« Lamda »)
E[X]= »lamda »
V[X]= « lamda »
4. Somme de variables aléatoires de poisson indépendantes

Si X1 et X2 sont 2 var. indep., suivant les lois de Poisson P(« lamda »1) P(« lamda »2), alors X1 +
X2 (komeschen Feil) P(lambda1, Lamda2)
Exemple :
Dans la compagnie de transport, la loi du nombre de fraudeurs parmi 100 voyageurs (suit) P(2) le
lundi et (suit) P(1) le dimanche.
Un employé contrôle 100 personnes le dimanche et 100 autres le lundi.
Proba qu’il trouve 2 personnes en situation irrégulière ?
Notons : X : nombre de fraudeurs sur 100 le lundi
Y : nombre de fraudeurs sur 100 le dimanche
Z : nombre total de fraudeurs sur les 200 contrôlés.
X (suit) P(2), Y (suit) P(1) indépendants
Z = X+Y (suit) P(2+1) = P(3)
- P(Z=3) = 0,224
-
=P(X=0) P(Y=2) + P(X=1) P(Y=1) + P(X=2) P(Y=5)
=0,224
5. Approximation d’une loi binominale par une loi de Poisson
Si les 3 conditions suivantes sot vérifiées :
n « grand » (n≥30)
p « petit » (p≤0,1)
et np « pas trop grand » (np≤),
on peut approcher la loi binomiale B(n,p) par la loi de Poisson P(lamda) avec (lamda)=np, ce qui
permet d’écrire :
Les conditions ne sont pas rigides et donc l’intérêt est de remplacer …… et donc de simplifier les
calculs numériques
2010-03-18-6
6. Principaux cas où cette loi s’applique
La loi de poisson s’applique entre autre dans le cadre d’épreuve de Bernoulli au cours desquels la
probabilité p de succès est faible. Elle est donc parfois appelée loi des petites probabilités ou loi des
phénomènes rares. On la rencontre souvent pour des phénomènes accidentels ou des phénomènes de
files d’attentes. On peut retenir les principaux exemples suivants :
- Nombres de pièces défectueuses dans un lot
- Nombre d’erreurs dans une comptabilité
- Nombre de pannes d’un appareil au cours d’une période donnée
- Nombre d’appels téléphoniques reçus au cours d’une période donnée