I) Loi uniforme directe U(n) 1. Définition 2

iscrètes de probabilités
I)
Loi uniforme directe U(n)
1. Définition
Cette loi se rencontre lorsque les événements ont la même probabilité de réalisation. Soit X la
variable aléatoire prenant les valeurs 1,2,…,n avec la probabilité . Sa loi de probabilité est
x=1,2,…,n
2. Représentation
U(10)
0,1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Fonction de répartition
1
0,1
1
2
3
5
3. Espérance, variance
9
10
II) Loi binomiale
1. Définition
Considérons une épreuve (dite épreuve de Bernoulli) n’ayant que 2 issus possibles :
- l’un appelé « succès » avec une probabilité p de se réaliser
- l’autre appelé « échec » qui a la probabilité q=1-p de se réaliser.
Cette épreuve est répétée n fois, les épreuves successives étant indépendantes (la probabilité des
succès reste donc p à chaque fois). La variable aléatoire X est égale au nombre de succès obtenu au
cours des n épreuves suit alors par définition la loi binomiale de paramètre n et p.
On note :
X peut prendre toutes les valeurs k entières comprises entre 0 et n
En effet, l’événement (X=k) signifie qu’il y a eu k succès au cours des n périodes. Notons S pour
« succès » et E pour « échec » et considérons une éventualité réalisant cet événement.
Par exemple :
Les épreuves étant par hypothèse indépendantes, la probabilité de réaliser cette éventualité est :
Soit
Or il y a
possibilités de réaliser les k succès au cours des n épreuves. Il y a donc en tout
éventualités différentes réalisant l’événement (X=k) et chacune à la proba pk(1-p)n-k de se réaliser.
Exemple :
Un vivier contient 100 truites. 5 d’entre elles pèsent moins que 200gr, les autres plus que
200gr. 3 fois de suite, on va sortir une truite, la peser et la remettre dans le vivier. Soit X le
nombre de truites de plus de 200 gr obtenus à l’issu de ces 3 pesés, déterminez la loi de X.
Solution :
Peser une truite constitue une épreuve avec 2 issus possibles :
o La truite pèse plus de 200gr (p=0,95)
o La truite pèse moins de 200gr (q=1-p=0,05).
Cette épreuve est répétée 3 fois et les épreuves sont indépendantes. Après chaque pesé, on
remet les truites dans le vivier. X est le nombre de truites de plus de 200gr obtenus au cours
de ces 3 épreuves, donc
Remarque : le tirage avec remise a 2 conséquences.
La première ; la proportion de truites de plus de 200gr contenu dans le vivier reste la même
à chaque tirage, ce qui justifie l’indépendance des tirages.
Deuxième remarque ; une même truite peut être pesée plusieurs fois.
2. Représentation graphique de B(10 ; ¼ )
Loi de probabilité :
2010-03-18-4
3. Espérance, variance
a) Variable de Bernoulli
K
P(X=k)
0
q
q=1-p
1
p
E[X]=p
V[X]=p-p2=p(1-p)=p*q
b) Décomposition d’une variable binomiale en somme de variables de Bernoulli
X1,X2,…,Xn : n variables de Bernoulli ayant la même loi que X.
X1+X2+…+Xn est égal au nombre de succès obtenus au cours des n épreuves.
X=X1+X2+…+Xn suit la B(n,p)
B=binomiale
c) Valeurs caractéristiques d’une variable binomiale
E[X] = E[X1+X2+…+Xn]
= E[X1] + …+ E[Xn]
= n*p
De plus, les n variables de Bernoulli sont indépendantes
V(X) = V(X1+…+Xn)
= V(X1)+ … + V(Xn)
=n*p*q
Si X suit la binomiale B(n,p),
son espérance :
sa variance :
son écart-type :
E[X]=np
V(X)=npq
d) La somme de variables aléatoires binomiales indépendantes
Si X1 et X2 sont 2 v.a. indépendantes suivant les lois binomiales
B(n1,p) et B(n2,p), alors X1 + X2 (suit, komeschen Feil) B(n1+n2,p)
III)
Loi de poisson
1. Définition
Définition :
Soit « Lambda » un réel strictement positif, une variable aléatoire discrète X suit la loi de poisson
de paramètre « Lambda » si elle peut prendre toutes les valeurs entières k avec la probabilité
P(X=k)=
X (suit, komeschen Feil) P(« lambda »)
On a:
Exemple
Un employé d’une entreprise de transport contrôle chaque lundi 100 voyageurs. On note X le
nombre de personnes qu’il trouve en situation irrégulière. On admet que X suit la loi de poisson de
paramètre 2 (X komeschen Feil P(2)) Déterminez la loi de X
K
P(X=k)
0
0,1353
1
0,2707
2
0,1804
…
2. Représentation graphique
2010-03-18-5
3. Espérance, variance
Si X (sui, Feil) P(« Lamda »)
E[X]= »lamda »
V[X]= « lamda »
4. Somme de variables aléatoires de poisson indépendantes
9
0,0002
Si X1 et X2 sont 2 var. indep., suivant les lois de Poisson P(« lamda »1) P(« lamda »2), alors X1 +
X2 (komeschen Feil) P(lambda1, Lamda2)
Exemple :
Dans la compagnie de transport, la loi du nombre de fraudeurs parmi 100 voyageurs (suit) P(2) le
lundi et (suit) P(1) le dimanche.
Un employé contrôle 100 personnes le dimanche et 100 autres le lundi.
Proba qu’il trouve 2 personnes en situation irrégulière ?
Notons :
X : nombre de fraudeurs sur 100 le lundi
Y : nombre de fraudeurs sur 100 le dimanche
Z : nombre total de fraudeurs sur les 200 contrôlés.
X (suit) P(2), Y (suit) P(1) indépendants
Z = X+Y (suit) P(2+1) = P(3)
-
P(Z=3) = 0,224
=P(X=0) P(Y=2) + P(X=1) P(Y=1) + P(X=2) P(Y=5)
=0,224
5. Approximation d’une loi binominale par une loi de Poisson
Si les 3 conditions suivantes sot vérifiées :
n « grand » (n≥30)
p « petit » (p≤0,1)
et np « pas trop grand » (np≤),
on peut approcher la loi binomiale B(n,p) par la loi de Poisson P(lamda) avec (lamda)=np, ce qui
permet d’écrire :
Les conditions ne sont pas rigides et donc l’intérêt est de remplacer …… et donc de simplifier les
calculs numériques
2010-03-18-6
6. Principaux cas où cette loi s’applique
La loi de poisson s’applique entre autre dans le cadre d’épreuve de Bernoulli au cours desquels la
probabilité p de succès est faible. Elle est donc parfois appelée loi des petites probabilités ou loi des
phénomènes rares. On la rencontre souvent pour des phénomènes accidentels ou des phénomènes de
files d’attentes. On peut retenir les principaux exemples suivants :
- Nombres de pièces défectueuses dans un lot
- Nombre d’erreurs dans une comptabilité
- Nombre de pannes d’un appareil au cours d’une période donnée
- Nombre d’appels téléphoniques reçus au cours d’une période donnée
-
Nombre de personnes arrivant à un guichet au cours d’une période donnée
2010-04-01
B) Loi normale de paramètres m et , ou loi normale généralisée
1. Densité, espérance, écart-type
Une variable aléatoire continue X suit la loi normale d’espérance m et d’écart-type
si elle admet
pour densité la fonction g défini sur R par
X (suit, komeschen Feil) N(m, )
g est une fonction positive. On admet que
On peut démontrer:
2010-04-01-1
2. Variable centrée réduite associée
SI X suit l loi normale d’espérance m et d’écart-type
normale ; komeschen Feil) N(0,1)
(suit la loi
2010-04-01-F1
3. Calculs pratiques
Si X suit N(m,
on pose T=(X-m)/
On sait que T suit n(0,1) et on note
On a alors :
sa fonction de répartition.
2010-04-01-F2
Exercice : Dans les rayons d’unhypermarché, le poids en grammes d’un paquet de sucre est une v.a.
X qui suit une loi normale d’espérance 8 gramme et d’écart-type 8gr. Déterminez la probabilités que
le poids d’un paquet pris au hasard soit compris entre 1000 et 1008 gr, supérieur à 1008 grammes,
compris entre 992 et 1008 gr et ne s’écarte pas de son espérance de plus de 2 écart-types.
X (suit) N(1000 ;8)
p1=P(1000<x<1008)
=
=P(0<T<1)= (1)=0,8413-0,50=0,3413
(cf. table de la v.a. Normale réduite)
p2=p(992<x<1008)
=p(
=p(-8/8 < T < 1) = P(-1 < T < 1)
=
=2
=0,6826
p3=p(X>1008)=p(T>1)
=1-p(T≤)=1-0,8413
=0,1587
p4=p(1000-2*8<x≤1000+2*8)
=p(984<x≤1016)
=p(
=p(-2<T<2)=
(-2)
=
=2*0,9772-1=0,9544
Avec les mêmes données, trouvez les intervalles (1013/1000) dans lequel se trouvent les poids de
99% de paquets de sucre.
On cherche a tel que :
P(1000-a<X<1000+a)=0,99



Donc : a/8 = 2,57
 a=20,6
Il y a 99 chances sur 100 que le poids d’un paquet soit compris entre (1000-20,6=979,4) et
(1000+20,6=1020,6)gr
4. Probabilité de quelques intervalles centrés sur l’espérance
Si X suit N(m, ), il y a environ :
- 68 ne s’éloigne pas de plus de 1 écart-type
- 95 chances ur 100 que X ne s’éloigne pas de son espérance de plus de 2 écart-types
- Plus de 99 chances sur 100 que X ne s’éloigne pas de son espérance de plus de 3 écart-types
5. Opérations sur les variables aléatoires normales
a) Fonction affine d’une variable normale
a et b étant 2 réels et X une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètre (m, , ), la
variable Y=aX+b suit la loi normale d’espérance (am+b) [Y=aX+b (feil)N(am+b,|a|, ]
b) Somme et différences de variables aléatoires normales indépendantes
SI X1 (feil) N(m1, , 1),…,Xn (feil) N(mn, , n) et si elles sont indépendantes 2 à 2, alors :
X1+X2+…+Xn (suit) N(m1+m2+…+mn,
X1-X2 (suit) N(m1-m2,
)
)
Ex. : On transporte des paquets de … dans un carton qui pèse 30kg. Le poids d’un paquet en
grammes suit la loi normale d’espérance 1000gr et d’écart-type 100gr [Feil N(1000,100)]. Les
poiuds des paquets sont indépendants. La livraison des lots se fait par un monte de charge qui ne
fonctionne pas quand le poids du lot dépasse 35 kg. Chercher la proba qu’un lot ne puisse pas être
livré.
Notons X1,… X500 les poids (en g) des paquets d’un lot et Y le poids (g) d’un lot. Pour tout i, Xi
suit la loin normale (1000,100). Comme les X sont indépendants, X1+…+X500 (Feil)N(
,
Soit X1+…+X500(Feil)N(500'000,1000
)
Or Y = 30’000+X1+…+X500
Donc Y (suit) N(530'000,1000 )
Un lot ne peut pas être livré s’il réalise l’événement (Y>535'000)
P(Y>535'000)=11,25% des lots ne peuvent pas être livrés
c) Situations ou s’applique la loi normale
De façon générale, c’est lorsque les valeurs prises par une v.a. X résultent d’un très grand nombre
de causes aléatoires qui s’ajoutent dont les variations sont petites mutuellement indépendantes et
dont aucune ne domine. Dans ce cas, la variable de X suit la loi de Gauss.
La loi normale peut être une bonne approximation de la loi binomiale et/ou la loi de poisson.
IV)
Approximations par une loi normale
A) Approximation d’une loi binomiale
1) Conditions d’approximation
Si la variable aléatoire discrète X suit la loi binomiale de paramètre (n,p) [X(Feil)B(n,p)] et l’une
des conditions suivantes est réalisée
- n « grand » (n≥30) et p et q voisins de 0,5
- ou np > 15 et nq >15
- ou npq>10
on peut approcher la loi de X par la loi normale de paramètres : np et
X(Feil) B(n,p)
X* (Feil) N(np,
)
2) Calcul de P(x=k) avec k entier
a) 1ière méthode : utilisation de la densité de X* de la variable continue
g désigne la densité de X*, P(x=k)=
2010-04-01-3
Exemple : X (suit) B(35 ;0,45)
X* (suit) N(15,75 ; 2,94)
P(X=10)=
P(X*=10)=
b) 2ième méthode : fonction de répartition de X*
T=
P(X=10)=P(10-0,5<X*<10+0,5)
=p(
=
3) Calcul de P(a≤X≤b) a et b entiers
P(a≤x≤b) = P(a-0,5<x*<b+0,5)
B) Approximation d’une loi de Poisson
1. Conditions
Si la v.a. discrète suit la loi de Poisson P(λ) et si λ est « grand » (>10), on peut approcher la loi de X
par la loi normale de paramètre λ et
.
2. Calculs pratiques
Un magasin propose par téléphone un cadeau aux couples qui se rendent au magasin. L’opération
dure 25 jours à raison de 200 appels par jour. Le nombre de couples qui se déplacent est une v.a. qui
suit la loi de poisson de paramètre 5. Quel est le nombre minimum de cadeau à prévoir pour avoir
plus de 90% de chances pour ne pas en rompre.
Xi est le nombre de couples contacté le iième jour qui vont chercher leur cadeau.
X est le nombre total de couples qui se déplacent les 25 jours.
n est le nombre de cadeaux à prévoir
On a donc : X= X1 + …+ X25. Pour tout i, Xi (suit) P(5), Xi indépendants, donc
X(suit)P(25*5)=P(125)
Comme 125 est « grand »
X* (suit) N(125,
P(X≤n)>0,90

)