Les Nombres Complexes

Les Nombres Complexes
1
Généralités :
n n−1
Proposition 1
X
X
n p n−p
2
n
Soit (a, b) ∈ C , n ∈ N : (a + b) =
a b
et an − bn = (a − b)
ap bn−1−p .
p
p=0
p=0
Définition 1 (Complexe)
Soit z ∈ C : Il existe un unique (a, b) ∈ R2 tel que z = a + ib.
? a est appelée partie réelle de z notée <(z).
? b est appelée partie imaginaire de z notée =(z).
z+z
z−z
Remarque : <(z) =
=(z) =
.
2
2
Proposition 2
Soit (z, z 0 , λ) ∈ C2 × R :
? <(z + z 0 ) = <(z) + <(z 0 ) ? <(λz) = λ <(z)
? =(z + z 0 ) = =(z) + =(z 0 ) ? =(λz) = λ =(z)
.
Définition 2 (Conjuqué)
Soit z ∈ C : On appelle conjugué de z et on note z le complexe <(z) − i =(z).
Proposition 3
Soit(z, z 0 ) ∈ C2 :
?z =z
? z + z0 = z + z0
? −z = z
? zz 0 = zz 0 ? Si z 6= 0,
.
1
1
=
z
z
n
Remarque 1
X
n(n + 1)
? Soit z ∈ C, (m, n) ∈ N2 tel que m > n :
p=
2
p=0
Si z = 1,
m
X
z p = m − n + 1 Si z 6= 1,
p=n
m
X
zp =
p=n
z m+1 − z n
.
z−1
Définition 3 (Affixe)
Soit P un plan affine euclidien muni d’un repère orthonormé direct. À tout complexe z, on associe le
point M de P de coordonnées (<(z), =(z)). z est appelé affixe de M .
2
Forme Trigonométrique :
Définition 4 (Module)
√
Soit z ∈ C : On appelle module de z et on note |z| le réel zz.
Remarque : zz = <(z)2 + =(z)2 .
Proposition 4
Soit (z, z 0 ) ∈ C2 :
? |z| = 0 ssi z = 0
1
1
? Si z 6= 0, =
z
|z|
? | − z| = |z| ? ||z| − |z 0 || 6 |z + z 0 | 6 |z| + |z 0 |
? |z| = |z|
n
n
Remarque 2
X
X
n
? Soit n ∈ N, (z1 , ..., zn ) ∈ C : zp 6
|zp |
p=1 p=1
.
? Soit (z, z 0 ) ∈ C2 : |z + z 0 | = |z| + |z 0 | ssi zz 0 ∈ R+
Pour tout t ∈ R, on note eit = cos(t) + i sin(t) .
Année 2010-2011
1
MA102 : Géométrie et polynômes
Définition 5 (Argument)
Soit z ∈ C : On appelle argument de z tout réel t tel que z = |z| eit (écriture trigonométrique).
Remarque : Tout nombre complexe non nul admet une écriture trigonométrique ;
Soit (r, t) ∈ R2 : Le complexe reit n’est une écriture trigonométrique que si r > 0.

a

Remarque 3 (Calcul d’Argument)
 cos(t) = √ 2
a + b2
? Soit (a, b) ∈ R2 \{0; 0} : Il existe t ∈ R, argument de a + ib : t vérifie
b

 sin(t) = √
2
a + b2
Proposition 5
Soit (r, t, t0 , p) ∈ R3 × Z :
0
0
? eit eit = ei(t+t ) ? e−it =
1
eit
? (reit )p = rp eipt
.
.
Application 1
? Formule de Moivre : Pour tout t ∈ R, n ∈ N, (eit )n = eint (Outil de Factorisation).
eit + e−it
eit − e−it
et sin(t) =
(Pour Linéariser).
? Formule d’Euler : Pour tout t ∈ R, cos(t) =
2
2i
0
t+t0
t − t0
t − t0
i( t+t
0
2
it
it0
)
it
it0
2
e
ei( 2 ) .
? Soit(t, t ) ∈ R : e + e = 2 cos
e − e = 2i sin
2
2
Remarque 4 (Calcul de Sommes)
? L’écriture d’un polynôme trigonométrique sous forme d’une combinaison linéaire d’exponentielles complexes est unique. Pour calculer des sommes trigonométriques, utiliser les exponentielles complexes.
3
Racine nième d’un Complexe :
Définition 6 (Racine nième )
Soit z ∈ C, n ∈ N∗ : On appelle racine nième de z tout complexe z 0 tel que (z 0 )n = z.
Théorème 1 (Racine nième )
n 1
o
t+2kπ
Soit n ∈ N∗ : L’ensemble des racines nièmes est, pour tout z = reit : r n ei( n ) , k ∈ J0; n − 1K .
Tout complexe non nul admet n racines nièmes .
Remarque 5 (Calcul de Racines nième de z)
? Si on connait z sous forme trigonométrique, on applique les formules.
? Sinon, on résout l’équation (a + ib)n = z d’inconnue (a, b) ∈ R2 .
Remarque 6
n 2kπ
o
? Soit n ∈ N∗ : L’ensemble des racines nièmes de l’unité est Un = ei( n ) , k ∈ J0; n − 1K .
? On pose j = e
2iπ
3
. Les racines cubiques de 1 sont {1; j; j 2 } . On a j 3 = 1, j = j 2 .
? Si n > 2, la somme des n racines nièmes de l’unité est nulle .
? Soit z ∈ C, z0 une racine nième de z : L’ensemble des racines nièmes de z est {z0 ω, ω ∈ Un } .
? z n’a qu’une racine 1ere , lui même ; 0 n’a qu’une racine nième .
n−1
Remarque 7
X
? Soit (a, b) ∈ C2 , n ∈ N∗ : On note α une racine nième de -1 : an + bn = (a − αb)
ap (αb)n−1−p .
p=0
Année 2010-2011
2
MA102 : Géométrie et polynômes