Les Nombres Complexes

Les Nombres Complexes
1G´ en´ eralit´ es :
Proposition 1
Soit (a, b)∈C2, n ∈N: (a+b)n=
n
X
p=0 n
papbn−pet an−bn= (a−b)
n−1
X
p=0
apbn−1−p.
D´efinition 1 (Complexe)
Soit z∈C: Il existe un unique (a, b)∈R2tel que z=a+ib.
? a est appel´ee partie r´eelle de znot´ee <(z).
? b est appel´ee partie imaginaire de znot´ee =(z).
Remarque :<(z) = z+z
2=(z) = z−z 2.
Proposition 2
Soit (z, z0, λ)∈C2×R:?<(z+z0) = <(z) + <(z0)?<(λz) = λ<(z)
?=(z+z0) = =(z) + =(z0)?=(λz) = λ=(z).
D´efinition 2 (Conjuqu´e)
Soit z∈C: On appelle conjugu´e de zet on note zle complexe <(z)−i=(z).
Proposition 3
Soit(z, z0)∈C2:
? z =z ? −z=z ? z +z0=z+z0
? zz0=zz0?Si z6= 0, 1
z=1 z
.
Remarque 1
?Soit z∈C, (m, n)∈N2tel que m>n:
n
X
p=0
p=n(n+ 1)
2
Si z= 1,
m
X
p=n
zp=m−n+ 1 Si z6= 1,
m
X
p=n
zp=zm+1 −zn
z−1.
D´efinition 3 (Affixe)
Soit Pun plan affine euclidien muni d’un rep`ere orthonorm´e direct. ` A tout complexe z, on associe le
point Mde Pde coordonn´ees (<(z), =(z)). zest appel´e affixe de M.
2Forme Trigonom´ etrique :
D´efinition 4 (Module)
Soit z∈C: On appelle module de zet on note |z|le r´eel √zz.
Remarque :zz =<(z)2+=(z)2.
Proposition 4
Soit (z, z0)∈C2:
?|z|= 0 ssi z= 0 ?| − z|=|z|?||z|−|z0|| 6|z+z0|6|z|+|z0|
?Si z6= 0, 
1
z
=1
|z|?|z|=|z|.
Remarque 2
?Soit n∈N,(z1, ..., zn)∈Cn:
n
X
p=1
zp 6
n
X
p=1 |zp|?Soit (z, z0)∈C2:|z+z0|=|z|+|z0|ssi zz0∈R+
Pour tout t∈R, on note eit = cos(t) + isin(t) .
Ann´ee 2010-2011 1 MA102 : G´eom´etrie et polynˆomes

D´efinition 5 (Argument)
Soit z∈C: On appelle argument de ztout r´eel ttel que z=|z|eit (´ecriture trigonom´etrique).
Remarque : Tout nombre complexe non nul admet une ´ecriture trigonom´etrique ;
Soit (r, t)∈R2: Le complexe reit n’est une ´ecriture trigonom´etrique que si r > 0.
Remarque 3 (Calcul d’Argument)
?Soit (a, b)∈R2\{0; 0}: Il existe t∈R, argument de a+ib :tv´erifie 
cos(t) = a
√a2+b2
sin(t) = b
√a2+b2
.
Proposition 5
Soit (r, t, t0, p)∈R3×Z:?eit eit0= ei(t+t0)?e−it =1
eit ?(reit)p=rpeipt .
Application 1
?Formule de Moivre : Pour tout t∈R,n∈N, (eit)n= eint (Outil de Factorisation).
?Formule d’Euler : Pour tout t∈R, cos(t) = eit + e−it
2et sin(t) = eit −e−it 2i(Pour Lin´eariser).
?Soit(t, t0)∈R2: eit + eit0= 2 cos t−t0
2ei(t+t0
2)eit −eit0= 2isin t−t0
2ei(t+t0
2).
Remarque 4 (Calcul de Sommes)
?L’´ecriture d’un polynˆome trigonom´etrique sous forme d’une combinaison lin´eaire d’exponentielles com-
plexes est unique. Pour calculer des sommes trigonom´etriques, utiliser les exponentielles complexes.
3Racine ni`eme d’un Complexe :
D´efinition 6 (Racine ni`eme )
Soit z∈C,n∈N∗: On appelle racine ni`eme de ztout complexe z0tel que (z0)n=z.
Th´eor`eme 1 (Racine ni`eme )
Soit n∈N∗: L’ensemble des racines ni`emes est, pour tout z=reit :nr1
nei(t+2kπ n), k ∈J0; n−1Ko.
Tout complexe non nul admet nracines ni`emes .
Remarque 5 (Calcul de Racines ni`eme de z)
?Si on connait zsous forme trigonom´etrique, on applique les formules.
?Sinon, on r´esout l’´equation (a+ib)n=zd’inconnue (a, b)∈R2.
Remarque 6
?Soit n∈N∗: L’ensemble des racines ni`emes de l’unit´e est Un=nei(2kπ
n), k ∈J0; n−1Ko.
?On pose j= e2iπ
3. Les racines cubiques de 1 sont {1; j;j2}. On a j3= 1, j=j2.
?Si n>2, la somme des nracines ni`emes de l’unit´e est nulle .
?Soit z∈C,z0une racine ni`eme de z: L’ensemble des racines ni`emes de zest {z0ω, ω ∈Un}.
? z n’a qu’une racine 1ere, lui mˆeme ; 0 n’a qu’une racine ni`eme .
Remarque 7
?Soit (a, b)∈C2,n∈N∗: On note αune racine ni`eme de -1 : an+bn= (a−αb)
n−1
X
p=0
ap(αb)n−1−p.
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