Formule de Cauchy pour les fractions rationnelles

Formule de Cauchy pour les fractions rationnelles
1. Soit
un nombre réel strictement positif, z et w deux nombres complexes.
a. Montrer que, si
z
,
. quand 0 versconverge
1
)( 2
0
ndt
e
z
ez
zI it
int
n
n
n
b. Montrer que, si
w
,
. quand 0 versconverge
1
)( 2
0
ndt
e
w
e
w
wJ it
n
n
n
int
2. On suppose
z
, k entier, f polynôme à coefficients complexes. Montrer que
).f(2
)f(
(C) queet 22
0
2
0
)1(1 zdt
ze ee
zdt
zeeit
itit
k
it
tkik
(Pour la première égalité, on pourra raisonner par récurrence et introduire une somme
géométrique)
On se propose de montrer que la formule ( C ) est valable lorsque f est une fraction rationnelle
dont aucun pôle n'est dans le disque fermé de rayon
centré à l'origine
3.a. Soit w un nombre complexe tel que
w
, Montrer que
0
2
0
dt
we e
it
it
.
b. Calculer
.1 entier, et pour
)(
2
0
kkwdt
ze ekit
it C
c. Quelle est la valeur de
2
0)(P dtee itit
lorsque P est un polynôme?
4. Soit F une fraction rationnelle, ses pôles sont
w w ws1 2
, , .
Les coefficients de
dans la décomposition de F en éléments simples sont
.,,, 21 s
On les appellera
résidus des pôles.
Exprimer
2
0)(F
2
1dtee itit
à l'aide de résidus. Tous les résidus ne figurent pas dans
la formule, préciser les pôles dont les résidus figurent effectivement.
5. Soit F une fraction rationnelle et
un nombre el strictement positif, tous les pôles de
F ont un module strictement plus grand que
. Montrer que,
2
0.
)(F
2
1
)F(, si dt
ze ee
zz it
itit
C
Co
om
mm
me
en
nt
ta
ai
ir
re
e
Dans la partie Formule de Rodrigues (niveau 3), on utilise la question 2. pour majorer les
polynômes de Legendre.
La formule de Cauchy intervient aussi dans le développement de la fonction exponentielle
comme Une fraction de Gauss (niveau 2).
S
So
ol
lu
ut
ti
io
on
n
1.a. En utilisant
 
z
e
z
tit 11,2,0
, on obtient
.
1
)( 2
0
z
dt
z
zI n
n
n
L'expression à droite de l'inégalité est une suite géométrique qui converge vers 0.
b. On peut conclure encore en minorant
.1par 1 w
e
wit
2. Pour k nul, introduisons, comme l'indique l'énoncé, une somme géométrique dans
l'intégrale :
).(2
1
1
1
1
2
0
12
2
0
2
0
zIdt
e
z
e
z
e
z
e
z
e
z
dt
e
z
dt
ze e
n
it
n
it
n
ititit
it
it
it
Comme n est arbitraire et que In(z) converge vers 0, on obtient bien
.2
2
0
dt
ze e
it
it
On raisonne ensuite par récurrence en utilisant, pour tout
k1,
.
0
)( 2
0
2
0
2
0
2
0
)1(1
dt
ze e
zdtedt
ze zzee
dt
zeeit
iktk
iktk
it
itiktk
it
tkik
La formule ( C ) pour les polynômes se déduit immédiatement des précédentes grâce à la
linéarité de l'intégrale.
3.a. On décompose :
it
nit
n
itn
n
itit
it
it
it
it
e
w
e
w
e
w
e
w
e
w
e
w
w
e
we e
11
1)1(
1
2
2
donc,
).(
2
0wJdt
we en
it
it
La suite Jn(w) converge vers 0 sans changer de valeur, elle est donc nulle et l'intégrale aussi.
b. La fonction complexe
kit
it
we e)(
de la variable réelle t est la dérivée de
,
))(1( 11
kit weki
comme l'exponentielle complexe est 2 périodique, cette primitive l'est aussi ce qui entraîne
la nullité de l'intégrale.
4. Les éléments simples qui forment la décomposition de F sont les suivants :
un polynôme, les termes en
i
wX1
, les termes en
.1pour
)(X 1
k
wk
i
D'après la question 3., après multiplication et intégration, ne subsistent plus que les intégrales
des
i
iwX
pour les wi de module strictement plus petit que
.
D'après la question 2.a., l'intégrale proposée est égale à la somme des résidus des pôles de
module strictement plus petit que
.
5. Soit F une fraction dont les pôles sont de module strictement plus grand que
, posons
.pour
XF
G
z
z
Le seul pôle de cette fraction dont le module est plus petit que
est z. De plus, le résidu en z
est F(z). La formule découle alors de la question 4.
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