Formule de Cauchy pour les fractions rationnelles
1. Soit
un nombre réel strictement positif, z et w deux nombres complexes.
a. Montrer que, si
,
. quand 0 versconverge
1
)( 2
0
ndt
e
z
ez
zI it
int
n
n
n
b. Montrer que, si
,
. quand 0 versconverge
1
)( 2
0
ndt
e
w
e
w
wJ it
n
n
n
int
2. On suppose
, k entier, f polynôme à coefficients complexes. Montrer que
).f(2
)f(
(C) queet 22
0
2
0
)1(1 zdt
ze ee
zdt
zeeit
itit
k
it
tkik
(Pour la première égalité, on pourra raisonner par récurrence et introduire une somme
géométrique)
On se propose de montrer que la formule ( C ) est valable lorsque f est une fraction rationnelle
dont aucun pôle n'est dans le disque fermé de rayon
centré à l'origine
3.a. Soit w un nombre complexe tel que
, Montrer que
.
b. Calculer
.1 entier, et pour
)(
2
0
kkwdt
ze ekit
it C
c. Quelle est la valeur de
lorsque P est un polynôme?
4. Soit F une fraction rationnelle, ses pôles sont
Les coefficients de
dans la décomposition de F en éléments simples sont
On les appellera
résidus des pôles.
Exprimer
à l'aide de résidus. Tous les résidus ne figurent pas dans
la formule, préciser les pôles dont les résidus figurent effectivement.
5. Soit F une fraction rationnelle et
un nombre réel strictement positif, tous les pôles de
F ont un module strictement plus grand que
. Montrer que,
2
0.
)(F
2
1
)F(, si dt
ze ee
zz it
itit